新教材人教版高一数学上册单元测试题含答案全套
人教版高中数学必修第一册
第一章测试题
集合与常用逻辑用语
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．设集合 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】集合 ， ， ．
2． 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】由 不能推得 ，反之由 可推得 ，
所以 是 的必要不充分条件．
{ }1,2,3,4,5A = { }2 1,B y y x x A= = − ∈ A B
{2,4} {1,3,5}
{2,4,7,9} {1,2,3,4,5,7,9}
{ }1,2,3,4,5A = { } { }2 1, 1,3,5,7,9B y y x x A= = − ∈ = { }1,3,5A B =
1x > 4x >
1x > 4x > 4x > 1x >
1x > 4x >3．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵集合 ， ，且 ，
∴ ，因此 ．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．任何一个集合必有两个以上的子集 B．空集是任何集合的子集
C．空集没有子集 D．空集是任何集合的真子集
【答案】B
【解析】空集只有一个子集，故 A 错；B 正确；
空集是本身的子集，故 C 错；
空集不能是空集的真子集，故 D 错．
5．已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合 ，
所以满足 且 ， 的点有 ， ， ， ， ， ，
， ， 共 个．
6．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，故 A 错，B 对，
显然 ，所以 C 不对，而 ，所以 D 也不对，故本题选 B．
7．命题“存在实数 ，使 ”的否定是（ ）
{ 1,3}A = − 2{2, }B a= { 1,2,3,9}A B = − a
1± 3± 1− 3
{ 1,3}A = − 2{2, }B a= { 1,2,3,9}A B = −
2 9a = 3a = ±
( ){ }2 2, 3, ,A x y x y x y= + ≤ ∈ ∈Z Z A
9 8 5 4
( ){ }2 2, 3, ,A x y x y x y= + ≤ ∈ ∈Z Z
2 2 3x y+ ≤ x∈Z y∈Z ( 1, 1)− − ( 1,0)− ( 1,1)− (0, 1)− (0,0) (0,1)
(1, 1)− (1,0) (1,1) 9
3a = { }2A x x= ≥
a A∉ a A∈ { }a A= { }a a∉
3 2> a A∈
{ }a A≠ { }a a∈
x 1x >A．对任意实数 ，都有 B．对任意实数 ，都有
C．不存在实数 ，使 D．存在实数 ，
【答案】B
【解析】命题“存在实数 ，使 ”的否定是“对任意实数 ，都有 ”．
8．集合 中的 不能取的值的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 ，且 且 ，
故集合 中的 不能取的值的个数是 个．
9．下列集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于 A 选项， ，不是空集，
对于 B 选项， 没有实数根，故为空集，
对于 C 选项，显然不是空集，
对于 D 选项，集合为 ，故不是空集．
10．下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】对于 A， ， 表示点集， ， 表示数集，故不是同一集合；
x 1x > x 1x ≤
x 1x ≤ x 1x ≤
x 1x > x 1x ≤
{ }22, 4,0x x− − x
2 3 4 5
2
2
2 0
4 0 2
2 4
x
x
x x
x
− ≠
− ≠ ⇒ ≠
− ≠
−
2x ≠ − 1x ≠ −
{ }22, 4,0x x− − x 3
{ }0| 2x x + = { }2 1 0,x x x+ = ∈R
{ }1|x x < ( ){ }2 2, , ,x y y x x y= − ∈R
2x = −
2 1 0x + =
{(0,0)}
{(3,2)}M = {3,2}N = {2,3}M = {3,2}N =
{2,3}M = { 2, 3}N x y= = = {(2,3)}M = {(5,4)}N =
{(3,2)}M = M {3,2}N = N对于 B， ， ，根据集合的无序性，集合 表示同一集合；
对于 C，集合 的元素是数，集合 的元素是等式；
对于 D， ，集合 的元素是点 ， ，
集合 的元素是点 ，集合 不表示同一集合．
11．学校先举办了一次田径运动会，某班共有 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有
名同学参赛，两次运动会都参赛的有 人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为参加田径运动会的有 名同学，参加球类运动会的有 名同学，两次运动会都参加的有
人，
所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为 ．
12．已知集合 ， ．若 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
当 为空集时， ；
当 不为空集时， ，
综上所述得 ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．集合 ，则 集合的子集的个数为 个．
【答案】
【解析】由已知，集合 的子集个数为 ．
{2,3}M = {3,2}N = ,M N
M N
{(2,3)}M = M (2,3) {(5,4)}N =
N (5,4) ,M N
8 12
3
20 17 14 23
8 12 3
8 12 3 17+ − =
{ }| 2 5A x x= − ≤ ≤ { }| 1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ − B A⊆
m
3m ≥ 2 3m≤ ≤ 2m ≥ 3m ≤
{ }| 1 2 1B x m x m= + ≤ ≤ −
B 2 1 1 2m m m− < + ⇒ <
B
2
2 1 5 2 3
1 2
m
m m
m
≥
− ≤ ⇒ ≤ ≤
+ ≥ −
3m ≤
2{ }1,A = A
4
A 22 4=14．命题“ ”是命题“ ”的 （“充分不必要，必要不充分，充要，既不
充分也不必要”）条件．
【答案】必要不充分
【解析】 的解为 或 ，
所以当“ ”成立时，则“ ”未必成立；
若“ ”，则“ ”成立，
故命题“ ”是命题“ ”的必要不充分条件．
15．命题“ ， ”的否定是 ．
【答案】 ，
【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“ ， ”的否定是
“ ， ”．
16．设全集 是实数集 ， ， ，
则图中阴影部分所表示的集合是 ．
【答案】
【解析】由 图可知，阴影部分为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
2 2 0x x− − = 1x = −
2 2 0x x− − = 1x = − 2x =
2 2 0x x− − = 1x = −
1x = − 2 2 0x x− − =
2 2 0x x− − = 1x = −
x∀ ∈R 23 2 1 0x x− + >
0x∃ ∈R 2
0 03 2 1 0x x− + ≤
x∀ ∈R 23 2 1 0x x− + >
0x∃ ∈R 2
0 03 2 1 0x x− + ≤
U R { }2 2M x x x= < − >或 { }1 3N x x= < <
{ }1 2x x< ≤
Venn ( )UN M
{ }2 2M x x x= < − >或 { }2 2U M x x−= ≤ ≤
( ) { }1 2UN M x x= < ≤ 17．（10 分）已知集合 ，且 ，求 的取值集合．
【答案】 ．
【解析】∵ ，∴ 或 ，即 或 ．
当 时， ；当 时， ；
当 时， 不满足互异性，
∴ 的取值集合为 ．
18．（12 分）已知集合 ， ，若 ，求实数 ， 的值．
【答案】 或 ．
【解析】由已知 ，得① ，解得 或 ，
当 时，集合 不满足互异性，
当 时，集合 ，集合 ，符合题意；
② ，解得 （舍）或 ，
当 时，集合 ，集合 符合题意，
{ }21, 2, 4M m m= + + 5 M∈ m
{ }1,3
{ }25 1, 2, 4m m∈ + + 2 5m + = 2 4 5m + = 3m = 1m = ±
3m = { }1,5,13M = 1m = { }1,3,5M =
1m = − { }1,1,5M =
m
{ , ,2}A a b= 2{2, ,2 }B b a= A B= a b
0
1
a
b
=
=
1
4
1
2
a
b
=
=
A B= 2
2a a
b b
=
=
0
0
a
b
=
=
0
1
a
b
=
=
0
0
a
b
=
=
{0,0,2}A =
0
1
a
b
=
=
{0,1,2}A = {2,1,0}B =
2
2
a b
b a
=
=
0
0
a
b
=
=
1
4
1
2
a
b
=
=
1
4
1
2
a
b
=
=
1 1{ , ,2}4 2A = 1 1{2, , }4 2B =
{ }1,3综上所述，可得 或 ．
19．（12 分）设集合 ， ．
（1）若 ，试判定集合 与 的关系；
（2）若 ，求实数 的取值集合．
【答案】（1） 是 的真子集；（2） ．
【解析】（1） ， ，∴ 是 的真子集．
（2）当 时，满足 ，此时 ；
当 时， ，集合 ，
又 ，得 或 ，解得 或 ．
综上，实数 的取值集合为 ．
20．（12 分）已知全集 ，集合 ， ．求：
（1） ， ， ；
（2） ， ；
（3）设集合 且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1） ，∵ ， ， ．
0
1
a
b
=
=
1
4
1
2
a
b
=
=
{ }2 8 15 0A x x x= − + = { }1 0B x ax= − =
1
5a = A B
B A⊆ a
B A 1 10, ,3 5
{3,5}A = {5}B = B A
B = ∅ B A⊆ 0a =
B ≠ ∅ 0a ≠ 1B a
=
B A⊆ 1 3a
= 1 5a
= 1
3a = 1
5
a 1 10, ,3 5
{ }6U x x= ∈ 或
{ }4 5U x x xM N = < ≥ 或
2 1 1a a− < + 2a < N = ∅ N M⊆
2 1 1a a− ≥ + 2a ≥ N ≠ ∅ N M⊆ 1 5a + ≥ 2 1 2a − ≤ −
4a ≥
a { }2 4a a a< ≥或
2 4 3y x x= − + { }| 0A x x a= ≤ ≤
x A∈ 1− a
a x A∈ 3
a
2a ≥
2 24 3 ( 2) 1y x x x= − + = − − 2x = 1−
x A∈ 1− 2 A∈ 2a ≥
2( 2) 1y x= − − 2x =
x A∈ 3即 时，二次函数的最大值为 ，
，即为 ，令 ，解得 或 ，
由图像可知，当 或 时，二次函数的最大值不等于 ，不符合充分条件，
则 ，即 可取的整数值为 ， ， ， ， 任意一个．
第一册第二章测试题
一元二次函数、方程和不等式
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．如果 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
x A∈ 3
x A∈ 0 x a≤ ≤ 2 4 3 3x x− + = 0x = 4x =
4x > 0x < 3
0 4a≤ ≤ a 0 1 2 3 4
0a b< <
1 1
a b
< 2 2a b<
3 3a b< 2 2ac bc = − 2 2a b>
0c = 2 2ac bc=
4t a b= + 2 4s a b= + + t s
t s> t s≥ t s< t s≤
( )224 4 2 0t s b b b− = − − = − − ≤ t s≤
{ | 1 2}A x x= − < < 2{ | 2 0}B x x x= + ≤ A B =
{ |0 2}x x< < { |0 2}x x≤ <
{ | 1 0}x x− < < { | 1 0}x x− < ≤
{ | 1 2}A x x= − < < 2{ | 2 0} { | 2 0}B x x x x x= + ≤ = − ≤ ≤
A B = { | 1 0}x x− < ≤
0x y+ < 0y >
2 2y x xy> > 2 2x y xy> > −
2 2x xy y< − < 2 2x xy y> − >
0x y+ 0x y∴ < − <
2x xy∴ > − 2xy y< − 2 2x xy y> − >
0a > c ax b c− < + < { | 2 1}x x− < < : :a b cA． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵不等式 的解为 ，
，且 ，解得 ， ，
则 ，故选 B．
6．若关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ， ，即 ，
故一元二次方程 的解为 ， ，
则 ， ，解得 ．
故答案为 D．
7．若 有负值，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 有负值，所以必须满足二次函数的图象与 轴有两个不同的交点，
， ，即 或 ，故选 A．
8．某商场中秋前 30 天月饼销售总量 与时间 的关系大致满足 ，
则该商场前 t 天平均售出[如前 天的平均售出为 ]的月饼最少为（ ）
1: 2: 3 2:1: 3 3:1: 2 3: 2:1
c ax b c− < + < b c c bxa a
+ −− < <
2b c
a
+− = − 1c b
a
− =
2
ab = 3
2c a=
3: : : : 2:1:32 2
aa b c a a= =
x 2 3ax − < 5 1
3 3x x
− < 2a < − 2 2a− < < 2a ≠ ± 1 3a< <
2 1y x ax= − + x
2( ) 4 0Δ a= − − > 2 4a > 2a > 2a < −
( )f t 3(0 )0t t< ≤ 2( ) 10 16f t t t= + +
10 (10)
10
fA． B． C． D．
【答案】A
【解析】平均销售量 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，即平均销售量的最小值为 ．故选 A．
9．已知 ， ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，
所以 ．
因为不等式 恒成立，所以 ，
整理得 ，解得 ，即 ．
10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的关系为 ，生
产 件所需成本为 （元），其中 元，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设该厂每天获得的利润为 元，
则 ， ，
根据题意知， ，解得 ，
18 27 20 16
2( ) 10 16 16 10 18f t t ty tt t t
+ += = = + + ≥
16t t
= 4t = 18
0m > 0xy > 2x y+ = 2 4m
x y
+ ≥ m
2m ≥ 2m ≥
0 2m< ≤ 0 2m< ≤
0m > 0xy > 2x y+ =
2 1 2 1 2 1( ) 2 (2 2 2)2 2 2
m m mx yx y m m mx y x y y x
+ = + + = + + + ≥ + +
2 4m
x y
+ ≥ ( )1 2 2 2 42 m m+ + ≥
( 3 2)( 2) 0m m+ − ≥ 2m ≥ 2m ≥
x P 160 2P x= −
x C 500 30C x= + x
20 30x≤ ≤ 20 45x≤ ≤
15 30x≤ ≤ 15 45x≤ ≤
y
2(160 2 ) (500 30 ) 2 130 500y x x x x x= − ⋅ − + = − + − (0 80)x< <
22 130 500 1300x x− + − ≥ 20 45x≤ ≤所以当 时，每天获得的利润不少于 元，故选 B．
11．若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
， ，解得 ，
， 的最大值是 ．
故选 B．
12．若 ，且 ， 的最小值为 ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由基本不等式得
，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
由题意可得 ，即 ，解得 ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
20 45x≤ ≤ 1300
,x y 2 2 1x y xy+ + = x y+
6 2 3
3
4 2
3
( )22 2 1 1x y xy x y xy+ + = ⇒ + − =
2
2
x yxy
+ ≤ ( ) 2
2 12
x yx y
+ ∴ + − ≤
( )23 14 x y+ ≤
2 23 33 3x y∴− ≤ + ≤ x y∴ + 2 33
0, 0x y> > 2 1 1x y
+ = 2x y+ a 2 7m m a+ <
m
8 1m− < < 1 8m m> < −或
8 1m m> < −或 1 8m− < <
2 1 4 42 ( 2 ) 4 2 4 8y x y xx y x yx y x y x y
+ = + + = + + ≥ ⋅ + =
4 ( , 0)y x x yx y
= > 2x y=
2x y+ 8
2 7 8m m+ < 2 7 8 0m m+ − < 8 1m− <
1 22x x
− <
2 0
2 1 0
x
x
− >
− >
2 0
2 1 0
x
x
− <
− <
1 22 x< <
1 22x x
− < 3 0x y xy+ − = x y+
4
3
1 13 0 3x y xy x y
+ − = ⇒ + =
1 1
1 1 4( ) 2 2 23 3 3 3
y x y xx yx y x y x y x y
+ ∴ + = + = + + ≥ + ⋅ =
2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ( ) 11 4a a− ≤
2b a
a b
+ ≥
2
a b ab
+ ≥
a b 0 2a b< < < a b−【答案】2
【解析】①因为 ，
所以 成立，所以①正确．
②因为 ，所以②正确．
③当 a，b 同号时有 ，当 a，b 异号时， ，所以③错误．
④ab＜0 时， 不成立．
其中恒成立的个数是 2 个．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10 分）已知不等式 的解集为 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若集合 是集合 的子集，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时，由 ，得 ，解得 ，
所以 ．
（2）因为 ，可得 ，
又因为集合 是集合 的子集，
所以可得 ，(当 时不符合题意，舍去)，所以 ，
综上所述 ．
18．（12 分）已知函数 ．
2 2 2 2 2 22( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 0a b c ab bc ca a b b c c a+ + − + + = − + − + − ≥
2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + +
( ) 2
2 1 1 11 2 4 4a a a a a − = − + = − − + ≤
2a b
b a
+ ≥ 2a b
b a
+ ≤ −
2
a b ab
+ ≥
( )2 1 0x a x a− + + ≤ A
2a = A
A { }4 1x x− ≤ ≤ a
{ }1 2A x x= ≤ ≤ 4 1a− ≤ ≤
2a = 2 3 2 0x x− + ≤ ( )( )1 2 0x x− − ≤ 1 2x≤ ≤
{ }1 2A x x= ≤ ≤
( )2 1 0x a x a− + + ≤ ( )( )1 0x x a− − ≤
A { }4 1x x− ≤ ≤
1a ≤ 1a > { }1A x a x= ≤ ≤
4 1a− ≤ ≤
2( )f x x x m= − +（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ， 的解集为 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）最小值为 ．
【解析】（1）当 时，不等式 ，即为 ，
可得 ，
即不等式 的解集为 ．
（2）由题 的根即为 ， ，故 ， ，故 ， 同为正，
则 ，
当且仅当 ， 等号成立，所以 的最小值为 ．
19．（12 分）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的最小值．
【答案】（1） ， ；（2）12．
【解析】（1）由题意知： ，解得 ， ．
（2）由（1）知 ， ，
∴ ， ，
2m = − ( ) 0f x >
0m > ( ) 0f x < ( , )a b 1 4
a b
+
{ }2 1x x x> < −或 9
2m = - 0f x >（ ） 2 2 0x x− − >
( )( )2 1 0x x− + >
( ) 0f x > { }2 1x x x> < −或
( ) 0f x = a b 1a b+ = 0ab m= > a b
1 4
a b
+ = 1 4 4( ) 5 5 2 4 9a ba ba b b a
+ + = + + ≥ + =
1
3a = 2
3b = 1 4
a b
+ 9
x 2 3 2 0ax x− + < { }1A x x b= < <
a b，
9( ) (2 ) ( )( )f x a b x x Aa b x
= + − ∈−
1a = 2b =
31
21
0
b a
b a
a
+ =
× =
>
1a = 2b =
1a = 2b =
{ }1 2A x x= < < ( ) ( )94 1 2f x x xx
= + < 9 94 2 4 2 6 12x xx x
+ ≥ ⋅ = × =
94x x
= 3
2x = 3
2x A= ∈ ( )f x
x ( ) ( )22 1f x x ax a= − + ∈R
3a = ( ) 0f x ≥
( ) 0f x ≥ ( )0,x∈ +∞ a
1| 12x x x ≤ ≥ 或 2 2
3a = ( ) 22 3 1f x x x= − +
( ) 0f x ≥ 22 3 1 ( 1)(2 1) 0x x x x− + = − − ≥ 1x ≥ 1
2x ≤
( ) 0f x ≥ 1| 12x x x ≤ ≥ 或
( ) 22 1 0f x x ax= − + ≥ ( )0,x∈ +∞ 12a x x
≤ +
1 12 2 2 2 2x xx x
+ ≥ ⋅ = 12x x
= 2
2x =
2 2a ≤ a 2 2
x
m 0m ≥ 3 1
kx m
= − + k
y m（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大．
【解析】（1）由题意可知，当 时， （万件），
所以 ，所以 ，所以 ，
每件产品的销售价格为 （万元），
所以年利润 ，
所以 ，其中 ．
（2）因为 时， ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 （万元）时， （万元）．
所以厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大．
22．（12 分）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为
的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排 宽的绿化，绿化造价为 200
元/ ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/ ．设矩形的长为 ．
（1）设总造价 （元）表示为长度 的函数；
1628 1y mm
= − −+
0m = 1x =
1 3 k= − 2k = 23 1x m
= − +
8 161.5 x
x
+×
8 16 161.5 8 16 4 8 28 1
xy x x m x m mx m
+= × × − − − = + − = − − +
1628 1y mm
= − −+ 0m ≥
0m ≥ 116 81 mm
+ + ≥+ 71
16 mm
+ ≥+
28 7 21y ≤ − = 16 11 mm
= ++ 3m = max 21y =
2200 m 2 m
2m 2m ( )mx
y ( )mx（2）当 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．
【答案】（1） ， ；（2）当 时，
总造价最低为 元．
【解析】（1）由矩形的长为 ，则矩形的宽为 ，
则中间区域的长为 ，宽为 ，则定义域为 ，
则 ，
整理得 ， ．
（2） ，
当且仅当 时取等号，即 ，
所以当 时，总造价最低为 元．
第一册第三章测试题
函数的概念与性质
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
( )mx
20018400 400y x x
= + + (4,50)x∈ 10 2x =
18400 8000 2+
( )mx 200 (m)x
( )4 mx − 200 4(m)x
− (4,50)x∈
200 200100 ( 4) 4 200 200 ( 4) 4y x xx x
= × − − + − − −
20018400 400y x x
= + + (4,50)x∈
200 2002 20 2x xx x
+ ≥ ⋅ =
200x x
= 10 2 (4,50)x = ∈
10 2x = 18400 8000 2+
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【解析】对于 A，∵ 的定义域为 ， 的定义域为 ，
两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．
对于 B，∵ 的定义域 ， 的定义域为 ，
∴两个函数不是同一个函数．
对于 C，∵ 的定义域为 且 ， 的定义域为 且 ，
对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．
对于 D， 的定义域是 ， 的定义域是 ，
定义域不相同，∴不是同一个函数．
2．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
y x= 33( | |)y x= 2( )y x= | |y x=
xy x
= 0y x=
2
1
1
xy x
+= −
1
1y x
= −
y x= R 3 3( | |)y x= R
2( )y x= [0, )+∞ | |y x= R
xy x
= R 0x ≠ 0y x= R 0x ≠
2
1
1
xy x
+= − 1x ≠ ± 1
1y x
= − 1x ≠
2 3
2
xy x
−= −
3 ,2
+∞
3 ,2 (2, )2
+∞
3 ,2 (2, )2
+∞ ( ,2) (2, )−∞ +∞【解析】要使原式有意义只需 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ．
3．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ 满足 ，
解得 ，∴ 的定义域为 ．
4．函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 是奇函数，排除 B，C，
当 时， ，∴ ，图象在 轴的下方．故选 A．
5．已知 是 上的偶函数，且当 时, ，则当 时， （ ）
2 3 0
2 0
x
x
− ≥
− ≠
3
2x ≥ 2x ≠
3 ,2 (2, )2
+∞
( )f x [ 1,4]− (2 1)f x −
50, 2
[ 7,3]− 1 ,22
− [ 1,4]−
( )f x [ 1,4]− (2 1)f x − 1 2 1 4x− ≤ − ≤
50 2x≤ ≤ (2 1)f x − 50, 2
2 1xy x
−=
2 1xy x
−=
1
2x = 2 1 0x − <
2 1 0xy x
−= < x
( )f x R 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x =A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是 上的偶函数，∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ 时， 的解析式是 ．
6．函数 ，则 的最大值和最小值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由题意得，当 时， ；
当 时， ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ．
7．若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 为奇函数，∴ ，
当 时， ，∴ ，
又 时， ，∴ ．
8．若 ， 均是定义在 上的函数，则“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
( 1)x x− − ( 1)x x − ( 1)x x− + ( 1)x x +
( )f x R ( ) ( )f x f x− =
0x < 0x− > ( ) (1 ) ( )f x x x f x− = − + =
0x < ( )f x ( ) (1 )f x x x= − +
2 6, [1,2]( )
7, [ 1,1)
x xf x
x x
+ ∈= + ∈ − ( )f x
10 6 10 8 8 6 10 7
1 2x≤ ≤ 7 ( ) 10f x≤ ≤
1 1x− ≤ < 6 ( ) 8f x≤ <
( )f x 10 6
2
2
2 , 0( )
, 0
x x xf x
x ax x
− ≥= − + 2 2( ) ( ) ( 2 ) 2f x f x x x x x= − − = − + = − −
0x < 2( )f x x ax= − + 2a = −
( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x⋅【答案】A
【 解 析 】 若 和 都 是 偶 函 数 ， 则 ，
，即 是偶函数，充分性成立；
当 时， 是偶函数，
但是 和 都不是偶函数，必要性不成立，
∴“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的充分而不必要条件，
∴故选 A．
9．已知 的定义域为 ， 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ．
10．定义在 上的偶函数 满足，对任意的 ， ，有
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 对任意的 ， 恒成立，
( )f x ( )g x ( ) ( ), ( ) ( )f x f x g x g x− = − =
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x− ⋅ − = ⋅ ( ) ( )g x f x⋅
( ) , ( ) 2f x x g x x= = ( ) ( )g x f x⋅
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x ( ) ( )g x f x⋅
( 1)f x + [ 2,3)− ( 2)f x −
[ 2,3)− [ 1,4)− [0,5) [1,6)
( 1)f x + [ 2,3)− 2 3x− ≤ < 1 1 4x− ≤ + <
( )f x [ 1,4)− 1 2 4x− ≤ − < 1 6x≤ <
( 2)f x − [1,6)
R ( )f x 1x 2 1 2[0, )( )x x x∈ +∞ ≠
2 1
2 1
( ) ( ) 0f x f x
x x
−
( )f x 2x < − ( ) 0f x < 2 0x− < < ( ) 0f x >
( ) 0xf x < ( 2,0) (2, )− +∞
( )
2 5, 1
, 1
x ax x
f x a xx
− − − ≤= >
R a
[ 3,0)− ( , 2]−∞ − [ 3, 2]− − ( ,0)−∞
1x ≤ 2( ) 5f x x ax= − − −
12
a− ≥ 2a ≤ −
1x > ( ) af x x
= 0a < ( )f x R
1 5a a− − − ≤ 3a ≥ −
[ 3, 2]a∈ − −
( ) 2
2
, 0 ( )
, 0
x x xf x a
x ax x
+ ≥= ∈ − > ( ) (0) (2 )f a f f a> >
(2 ) ( ) (0)f a f a f> > (2 ) (0) ( )f a f f a> >
( ) 2
2
, 0 ( )
, 0
x x xf x a
x ax x
+ ≥= ∈ − >
( )f x ( )g x [ (2)]g f =
1
(2) 3f = (3) 1g = [ (2)] 1g f =
( )f x ( ,0)x∈ −∞ ( ) (1 )f x x x= −
(3)f =
12
( ,0)x∈ −∞ ( ) (1 )f x x x= −
( 3) ( 3) (1 3) 12f − = − × + = −
( )f x (3) ( 3) 12f f= − − =
2( ) 5 6f x x x= − − ( )f x
[6, )+∞
2( ) 5 6f x x x= − − 2 5 6 0x x− − ≥ 1x ≤ − 6x ≥
{ | 1x x ≤ − 6}x ≥由题即求函数 在定义域内的增区间，
由二次函数的性质可得函数 在定义域内的增区间为 ．
16．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函数：
，在下列命题正确的是 ．
① ；
②当 时， ；
③函数 的定义域为 ，值域为 ；
④函数 是增函数，奇函数．
【答案】①②③
【解析】 表示数 的小数部分，则 ，①正确，
当 时， ，②正确，
函数 的定义域为 ，值域为 ，③正确，
当 时， ；当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
则 ，即有 不为增函数，
由 ， ，可得 ，即有 不为奇函数，④错误．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10 分）已知 ．
2 5 6y x x= − −
2 5 6y x x= − − [6, )+∞
[ ]x x [3.14] 3= [ 1.6] 2− = −
( ) [ ]f x x x= −
( 0.8) 0.2f − =
1 2x≤ < ( ) 1f x x= −
( )f x R [0,1)
( )f x
( ) [ ]f x x x= − x ( 0.8) ( 1 0.2) 0.2f f− = − + =
1 2x≤ < ( ) [ ] 1f x x x x= − = −
( )f x R [0,1)
0 1x≤ < ( ) [ ]f x x x x= − = 1 2x≤ < ( ) 1f x x= −
0.5x = (0.5) 0.5f = 1.5x = (1.5) 0.5f =
(0.5) (1.5)f f= ( )f x
( 1.5) 0.5f − = (1.5) 0.5f = ( 1.5) (1.5)f f− = ( )f x
2
( 1), 2 0
( ) 2 1, 0 2
1, 2
f x x
f x x x
x x
+ − < <
= + ≤ a
3
2f −
3
2a = 5a =
0 2a< < ( ) 2 1 4f a a= + = 3
2a = 0 2a< <
2a ≥ 2( ) 1 4f a a= − = 5a = 5a = −
3
2a = 5a =
3 3 1 1 1 1( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 1 22 2 2 2 2 2f f f f f− = − + = − = − + = = × + =
2
1( ) 2
1
f x x
x
= − +
−
{ }2 2A x m x m= − < <
( )f x D
x D∈ x A∈ m
{ }1 2 1D x x x= < ≤ < −或 1, 2
−∞ −
( )f x 2
2 0
1 0
x
x
− ≥
− >
1x < − 1 2x< ≤
( )f x { }1 2 1D x x x= < ≤ < −或
x D∈ x A∈ A D⊆
A = ∅ 2 2m m− ≥ 2m ≤ −②当 时， 或 ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
19．（12 分）已知函数 ．
（1）在图中给定的直角坐标系内画出 的图象；
（2）写出 的单调递增区间．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）
．
（2） 的单调递增区间是 ．
20．（12 分）函数 ．
（1）证明函数的奇偶性；
（2）判断函数在 上单调性，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．
A ≠ ∅ 2
2 1
m
m
> −
≤ −
2
2 1
2 2
m
m
m
> −
− ≥
≤
12 2m− < ≤ −
m 1, 2
−∞ −
( ) 25 , [ 1,2]
2 3, (2,4]
x xf x
x x
− ∈ −= − ∈
( )f x
( )f x
[ 1,0) (2,4]−
( )f x [ 1,0) (2,4]−
2( )f x x−=
( ,0)−∞【解析】（1）函数 为偶函数，∵ 的定义域为 ，
，即函数 为偶函数．
（2）函数 在 上单调递增，
证明如下：任取 ， 且 ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，故 ， ，
∴ ，即 ，则函数 在 上单调递增．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）用函数单调性的定义证明： 在 上是增函数；
（2）若 在 上的值域是 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）任取 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ 在 上是增函数．
（2）由（1）可知， 在 上为增函数，
( )f x 2
2
1( )f x x x
−= = { | 0}x x ≠
2 2
1 1( ) ( )( )f x f xx x
− = = =− ( )f x
( )f x ( ,0)−∞
1x 2 ( ,0)x ∈ −∞ 1 2x x<
2 2
2 1 2 1 2 1
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 ( )( )( ) ( ) x x x x x xf x f x x x x x x x
− − +− = − = =
1x 2 ( ,0)x ∈ −∞ 1 2x x< 2 1 0x x− > 2 1 0x x+ <
2 1 2 1
2 2
1 2
( )( ) 0x x x x
x x
− + < 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x ( ,0)−∞
1 1( ) ( 0)f x xa x
= − >
( )f x (0, )+∞
( )f x 1 ,22
1 ,22
a
2
5a =
1 2 0x x> > 1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( ) x xf x f x a x a x x x
−− = − − + =
1 2 0x x> > 1 2 0x x− > 1 2 0x x >
1 2( ) ( ) 0f x f x− > 1 2( ) ( )f x f x> ( )f x (0, )+∞
( )f x 1 ,22
∴ 且 ，解得 ．
22．（12 分）已知函数 ．
（1）画出 的图象；
（2）写出 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；
（3）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1）由分段函数的画法可得 的图象．
（2）单调区间： ， ， ， 在 ， 递增，在 递减．
（3）函数 有两个不同的两点即为 有两个实根，
由图象可得当 或 时， 与 有两个交点，
则 的范围是 ．
第一册第四章测试题
指数函数与对数函数
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
1 1 1( ) 22 2f a
= − = 1 1(2) 22f a
= − = 2
5a =
( ) 23 , [ 1,2]
3, (2,4]
x xf x
x x
− ∈ −= − ∈
( )f x
( )f x
( )y a f x= − a
( 1,1] [2,3)−
( )f x
[ 1,0]− [0,2] [2,4] ( )f x [ 1,0]− [2,4] [0,2]
( )y a f x= − ( )f x a=
1 1a− < ≤ 2 3a≤ < ( )y f x= y a=
a ( 1,1] [2,3)− 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．化简 的值得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ．
2．若函数 是指数函数，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】函数 是指数函数，
∴ ，解得 ．
3．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数 有意义，满足 ，
1
2 3
2 2
1 log 5 log 1027
− − + −
10− 8− 10 8
1
2 13 6 3
2 2 2
1 log 5 log 10 3 log 9 1 827 10
−
× 5 − + − = + = − =
( ) ( )2 2 2 xf x a a a= − − ⋅ a
1− 3 3 1− 2
( ) ( )2 2 2 xf x a a a= − − ⋅
2 2 2 1
0
1
a a
a
a
− − =
>
≠
3a =
2( ) 4 log (6 2 )f x x x= + + −
{ }| 3x x > { }| 4 3x x− < <
{ }| 4x x > − { }| 4 3x x− ≤ <
2( ) 4 log (6 2 )f x x x= + + − 4 0
6 2 0
x
x
+ ≥
− >解得 ，即函数的定义域为 ．
4．已知函数 ，则 的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，函数 ，令 ，则 ，
所以函数 的图象过定点 ．
5．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ， ，所以
．
6．在同一直角坐标系中， 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 的图象为过点 的递增的指数函数图象，故排除选项 C，D， 的
图象为过点 的递减的函数图象，故排除选项 A．
7．函数 的单调递增区间是（ ）
{ }| 4 3x x− ≤ < { }| 4 3x x− ≤ <
2( ) 3( 0)xf x a a−= + ≠ ( )f x
(0,4) (2,4) (0,3) (4,3)
2( ) 3( 0)xf x a a−= + ≠ 2x = 0(2) 3 4f a= + =
( )f x (2,4)
3log 7a = 1.12b = 3.10.8c =
b a c< < a c b< < c b a< < c a b< <
3 3 3log 7 (log 3,log 9)a = ∈ (1,2)a∈ 1.12 2b = > 3.1 00.8 0.8 1c = < =
c a b< <
2xy = 2log ( )y x= −
2xy = (0,1) 2log ( )y x= −
( 1,0)−
2lg( 2)y x x= + −A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 或 ，
∵ 在 单调递增，而 是增函数，
由复合函数同增异减的法则可得，函数 的单调递增区间是 ．
8．若函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知 在 上单调，
因此 在 上的最值在区间端点处取得，
由其最大值与最小值之和为 可得 ，
即 ，化简得 ，解得 ．
9．设函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【 解 析 】 ∵ ，
．
10．若函数 是幂函数，且其图象过点 ，则函数 的单调增区
间为（ ）
1, 2
−∞ −
1 ,2
− +∞
( ), 2−∞ − ( )1,+∞
2 2 0x x+ − > 2x < − 1x >
2 2u x x= + − ( )1,+∞ lgy u=
2lg( 2)y x x= + − ( )1,+∞
( ) log ( 2)x
af x a x= + + [0,1] a a
1
6
1
3
1
2 3
( ) log ( 2)x
af x a x= + + [0,1]
( ) log ( 2)x
af x a x= + + [0,1]
a (0) (1)f f a+ =
1 log og2 l 3a aa a+ ++ = log 6 1a
= − 1
6a =
2
1
1 log (2 ), 1
( )
2 , 1x
x x
f x
x−
+ − 1x > ( )g x (1, )+∞
3 2( ) 2 2f x x x x= + − −
3 2 2 2 0x x x+ − − = 0.05
1.25 1.375 1.42 1.5
3 2( ) 2 2f x x x x= + − − 1.40625,( 1.4375)
3 2 2 2 0x x x+ − − = 0.05 1.42
, 0( )
ln , 0
xe xf x
x x
≤= >
( ) ( ) 2g x f x x a= + − ( )g x 2 a
[ )1,− +∞ [ )1,+∞ 1 ,02
−
1, 2
−∞
( )y f x= 2y a x= − 2 1a ≤ 1
2a ≤ ( )y f x=有两个不同的交点，所以 有两个零点．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ， ，
∴ ．
14．若 ，则函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，令 ， ，
则 ，
由二次函数的性质可知，当 时， ；当 时， ，
故所求值域为 ．
15．已知关于 的函数 在 上时减函数，则 的取值范围是 ．
【答案】
2y a x= − ( ) ( ) 2g x f x x a= + −
3 4 6x y= = 2 1
x y
+ =
2
3 4 6x y= = 3log 6 x= 4log 6 y=
6 6 6
3 4
2 1 2 1 2log 3 log 4 log 36 2log 6 log 6x y
+ = + = + = =
{ | 2 3}A x x= − ≤ ≤ 14 2 ( )x xy x A+= − ∈
[ 1,48]−
2 3x− ≤ ≤ 1 2 84
x≤ ≤ 2x t= 1 84 t≤ ≤
2 22 ( 1) 1y t t t= − = − −
1t = min 1y = − 8t = max 48y =
[ 1,48]−
x log (2 )ay ax= − (0,1) a
(1,2]【解析】∵关于 的函数 在 上是单调递减的函数，而函数 在 上
是单调递减的函数，
∴ 且函数 在 上大于零，故有 ，解得 ．
16．若关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实数 的值为 ．
【答案】
【解析】令 ，则由题意可得函数 与函数 的图象有三个公共点，画
出函数 的图象如图所示，
结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10 分）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）原式 ．
（2）原式 ．
18．（12 分）已知函数 （ 且 ）的图象过的 ．
x log (2 )ay ax= − (0,1) 2t ax= − (0,1)
1a > t (0,1) 2 0
1
a
a
− ≥
> 1 2a< ≤
x 2 2 2 0x x m− − − = m
3
2( ) 2 2f x x x= − − ( )y f x= y m=
2( ) 2 2f x x x= − −
3m =
10 22 0.53 12 2 2 (0.01)5 4
−
− + −
( )2
1 lg1log 4 12 lg lg5 2 120
+ − + −
16
15
3
4
−
12 21 2 1 1 161 0.1 14 3 6 10 15
− × − = + × − = + − =
1
1 1 320lg 1 2 14 5 4 4
= + + = − + = −
( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( 2,16)−（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵函数 （ 且 ）的图象过点 ，
∴ ，∴ ，即 ．
（2）∵ 为减函数， ，
∴ ，解得 ．
19．（12 分）函数 （ 且 ）的图象经过点 和 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）函数 ，求函数 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，所以 ．
（2）设 ， ，则 ，即 ，
所以当 ，即 时， ．
20．（12 分）已知函数 的定义域为 ．
（1）求 ；
( )f x
(2 5) (3 3)f m f m+ < + m
1( ) 4xf x = 2m <
( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( 2,16)−
2 16a− = 1
4a = 1( ) 4xf x =
1( ) 4xf x = (2 5) (3 3)f m f m+ < +
( ) logaf x b x= + 0a > 1a ≠ (8,2) (1, 1)−
( )f x
2( ) ( ) ( )g x f x f x= − ( )g x
2( ) 1 logf x x= − + 1
4
−
log 8 2
log 1 1
a
a
b
b
+ =
+ = −
2
1
a
b
=
= − 2( ) 1 logf x x= − +
21 logt x= − + t ∈R 2( )g t t t= − 21 1( ) ( )2 4g t t= − −
1
2t = 2 2x = min
1 1( ) ( )2 4g x g= = −
1( ) 2 lg(3 )3
xf x x= − + − M
M
2 5 3 3m m+ > + 2m
1 2x− < ≤ ( 1,2]M = −
1 2 2( ) 4 2 2 (2 ) 2 2 2 (2 1) 1x x x x xg x += − + = − ⋅ + = − +
( 1,2]x∈ − 12 ,42
x ∈
2 1x = 0x = min( ) 1g x =
2 4x = 2x = max( ) 10g x =
( )g x [1,10]
( ) x xf x a ta−= − 0a > 1a ≠ R
t
(1) 0f < 2( ) ( 1) 0f kx x f x− + − ≥ x∈R k
[ 3,1]−
(0) 1 0f t= − = 1t = ( ) x xf x a a−= −
( ) ( )x xf x a a f x−− = − = − t 1
(1) 0f < 1 0a a
− < 0 1a< <
( ) x xf x a a−= − 2( ) ( 1) 0f kx x f x− + − ≥ 2( ) (1 )f kx x f x− ≥ −
2 1kx x x− ≤ − x∈R故 对任意 恒成立，
∴ ，解得 ，
综上可知，实数 的取值范围为 ．
22．（12 分）函数 是实数集 上的奇函数，当 时， ．
（1）求 的值和函数 的表达式；
（2）求证：方程 在区间 上有唯一解．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数 是实数集 上的奇函数，所以 ，
因为当 时， ，所以 ，
所以 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而 ，
∴ ．
（2）因为 ，所以方程 在区间 上有解 ，
易知 在区间 上为增函数，
由零点存在性定理可知，方程 在区间 上有唯一解．
2 ( 1) 1 0x k x− + + ≥ x∈R
2( 1) 4 0Δ k= + − ≤ 3 1k− ≤ ≤
k [ 3,1]−
( )f x R 0x > 2( ) log 3f x x x= + −
( 1)f − ( )f x
( ) 0f x = (0, )+∞
( 1) 2f − =
2
2
log ( ) 3, 0
( ) 0, 0
log 3, 0
x x x
f x x
x x x
− − + +
( )f x R ( 1) (1)f f− = −
0x > 2( ) log 3f x x x= + − 2(1) log 1 1 3 2f = + − = −
( 1) (1) 2f f− = − =
0x = ( 0) (0)f f− = − (0) 0f =
0x < 0x− > 2 2( ) log ( ) ( ) 3 log ( ) 3f x x x x x− = − + − − = − − −
2( ) log ( ) 3f x x x− = − − − 2( ) log ( ) 3f x x x= − − + +
2
2
log ( ) 3, 0
( ) 0, 0
log 3, 0
x x x
f x x
x x x
− − + +
2(2) log 2 2 3 0f = + − = ( ) 0f x = (0, )+∞ 2x =
2( ) log 3f x x x= + − (0, )+∞
( ) 0f x = (0, )+∞第一册第五章测试题
三角函数
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．如果 ，那么与 终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据终边相同的角相差 的整数倍，故与角 有相同的终边的角为 ，
所以 ，表示为 ．
2．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，
则转过的角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转 弧度．
3． （ ）
21α = − ° α
{ | 360 21 , }k kβ β = ⋅ °+ ° ∈Z { | 360 21 , }k kβ β = ⋅ °− ° ∈Z
{ | 180 21 , }k kβ β = ⋅ °+ ° ∈Z { | 180 21 , }k kβ β = ⋅ °− ° ∈Z
360° α 360 ( }k kα⋅ °+ ∈Z
21α = − ° 360 21 ( )k k⋅ °− ° ∈Z
π
3
π
6
π
3
− π
6
−
π
6
sin300° =A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ．
4．下列不等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由正弦函数的性质和诱导公式，可得 ，
所以 A 不正确．
由 ， ，根据余弦函数的单调性，可得
，所以 ，所以 B 正确．
由 ， ，
因为 ，所以 C 不正确．
，所以 D 不正确．
5．已知 ，则 的值为（ ）
1
2
1
2
− 3
2
− 3
2
3sin300 sin(360 60 ) sin60 2
° = °− ° = − ° = −
π πsin( ) sin18 10
− > 23 17cos( π) cos( π)5 4
− < −
π πcos( ) sin( )4 4
− < − 7 2tan π tan( )π5 5
< −
π π πsin( ) sin sin18 18 10
− = − <
23π 23 3πcos( ) cos π cos5 5 5
− = = 17π 17π πcos( ) cos cos4 4 4
− = =
3π πcos cos5 4
< 23π 17πcos( ) cos( )5 4
− < −
π π 2cos( ) cos4 4 2
− = = π π 2sin( ) sin4 4 2
− = − = −
π πcos( ) sin( )4 4
− > −
7π 2π 2πtan tan tan( )5 5 5
= > −
πcos( ) 13
α + = − πsin(2 )6
α +A． B． 或 C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ， ，
解得 ， ，
所以 ，则 ．
6．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，
则 ，由于 ，
则
．
7．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
1− 3− 1 3
3
− 1
πcos( ) 13
α + = − π 2 π π3 kα + = + ( )k ∈Z
2π 2 π3 kα = + ( )k ∈Z
π 3π2 4 π ( )6 2k kα + = + ∈Z π 3πsin(2 ) sin(4 π ) 16 2kα + = + = −
4sin cos 3
θ θ− = 3( π,π)4
θ ∈ sin(π ) cos(π )θ θ− − − =
2
3
− 2
3
4
3
− 4
3
4 16sin cos 1 2sin cos3 9
θ θ θ θ− = ⇒ − =
72sin cos 09
θ θ = − < 3( π,π)4
θ ∈
sin(π ) cos(π ) sin cosθ θ θ θ− − − = +
2 2(sin cos ) 1 2sin cos 3
θ θ θ θ= − + = − + = −
π 1sin( )6 3
α − = πcos( )3
α +
2 3
3
− 2 3
3
1
3
1
3
−【解析】由题得 ．
8．在函数① ，② ，③ ，④ 中，最小正周期
为 的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】B
【解析】函数 的最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，
所以最小正周期为 的函数有①③④．
9． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得
．
10．函数 的定义域是（ ）
A． B．
π π π π 1cos( ) cos[( ) ] sin( )3 6 2 6 3
α α α+ = − + = − − = −
cos | 2 |y x= πtan(2 )4y x= − πcos(2 )6y x= + | cos |y x=
π
cos | 2 |y x= π
πtan(2 )4y x= − π
2
πcos(2 )4y x= − π
| cos |y x= π
π
2 2cos15 sin1952 2
°− °
3
2
1
2
3
2
− 1
2
−
2 2 2 2cos15 sin195 cos15 sin(180 15 )2 2 2 2
°− ° = °− °+ °
2 2 3cos15 sin15 cos(45 15 ) cos302 2 2
= °+ ° = °− ° = ° =
( ) 4sin cos 1f x x x= −
π π[2 π ,2 π ]( )6 3k k k+ + ∈Z π π[ π , π ]( )6 3k k k+ + ∈ZC． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
11．已知函数 ，若 是 图象的一条对称轴的方程，则
下列说法正确的是（ ）
A． 的图象的一个对称中心 B． 在 上是减函数
C． 的图象过点 D． 的最大值是
【答案】A
【解析】∵ 是 图象的一条对称轴的方程，
∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
图象的对称中心为 ，故 A 正确，
由于 A 的正负未知，所以不能判断 的单调性和最值，故 B，D 错误，
，故 C 错误．
12．函数 （其中 ， ）的图象如图所示，为了得到 的
π 5π[2 π ,2 π ]( )12 12k k k+ + ∈Z π 5π[ π , π ]( )12 12k k k+ + ∈Z
( ) 4sin cos 1f x x x= − 4sin cos 1 0x x − ≥
2sin 2 1 0x − ≥ π 5π[ π , π ]( )12 12k k k+ + ∈Z
π( ) sin(2 )( 0,| | )2f x A x Aϕ ϕ= + ≠ < 2π
3x = ( )f x
( )f x 5π( ,0)12 ( )f x π π[ , ]3 6
−
( )f x 1(0, )2 ( )f x A
2π
3x = ( )f x
2π π2 π( )3 2 k kϕ× + = + ∈Z
π| | 2
ϕ < π
6
ϕ = π( ) sin(2 )6f x A x= +
( )f x π π( ,0)( )2 12
k k− ∈Z
( )f x
1(0) 2 2
Af = ≠
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > π| | 2
ϕ < ( ) sin3g x x=图象，只需将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】C
【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图像的形状，故 ，
又函数的图象的第二个点是 ，∴ ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以只需将函数 的图形要向右平移 个单位，即可得到 的图象．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．一个扇形的半径为 ，弧长是半径的 倍，则扇形的面积等于 ．
【答案】
【解析】设扇形的半径、弧长、面积分别为 ， ， ，
由题意可知 ，所以 ．
( )f x
π
4
π
4
π
12
π
12
3ω =
π( ,0)4
π3 π4
ϕ× + = π
4
ϕ =
π( ) sin(3 )4f x A x= + π π( ) sin3 sin[3( ) ]12 4g x A x A x= = − +
( )f x π
12 ( )g x
2 cm π
3
2π cm3
r l S
π 2π
3 3l r= = 1 1 2π π22 2 3 3S lr= = × × =14．设 是第三象限角，且 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
又 ， 是第三象限角，所以易得 ．
15 ． （ 其 中 ， 为 常 数 ， ）， 若 ， 则
．
【答案】
【解析】由于 的最小正周期为 ，
若 ，则 ，
则
．
16．将函数 图象向左平移 个单位后得到函数 的
图象，若函数 在区间 上单调递减，且函数 的最大负零点在区间
上，则 的取值范围 ．
α tan 2α =
πsin( )cos(π )2
3πsin( )2
α α
α
− +
=
+
5
5
−
πsin( )cos(π ) cos ( cos )2 cos3π cossin( )2
α α α α ααα
− + −= =−+
tan 2α = α 5cos 5
α = −
( ) tan sin 42
xf x a b x= − + a b 0ab ≠ (3) 5f =
(2016π 3)f − =
3
( ) tan sin 42
xf x a b x= − + 2π
3(3) tan sin3 4 52f a b= − + = 3tan sin3 12a b− =
3(2016π 3) ( 3) tan( ) sin( 3) 42f f a b− = − = − − − +
3( tan sin3) 4 1 4 32a b= − − + = − + =
( ) cos2f x x= π(0 )2
ϕ ϕ< < ( )g x
( )g x π π[ , ]6 6
− ( )g x
π( ,0)6
− ϕ【答案】
【解析】将函数 图象向左平移 个单位得到函数 图象，
若函数 在区间 上单调递减，则 ，得 ①，
，则 ，
求得 ，
根据函数 的最大负零点在区间 上，∴ ，
求得 ②，由①②求得 的取值范围为 ．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10 分）计算（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1）原式 ．
π π( , ]4 3
( ) cos2f x x= π(0 )2
ϕ ϕ< < ( ) cos(2 2 )g x x ϕ= +
( )g x π π[ , ]6 6
−
π 2 03
π 2 π3
ϕ
ϕ
− + ≥
+ ≤
π π
6 3
ϕ≤ ≤
( ) cos(2 2 ) 0g x x ϕ= + = π2 2 π ( )2x k kϕ+ = + ∈Z
π π ( )2 4
kx kϕ= + − ∈Z
( )g x π( ,0)6
− π π 06 4
ϕ− < − <
π 5π
4 12
ϕ< < ϕ π π( , ]4 3
sin60sin90 cos270 2cos45 3 tan30cos30
°° °− − °+ °°
11π 8π 17πsin cos( ) tan6 3 4
+ −
cos15 cos75°+ °
2− 1− 6
2
3
2 320 2 3 22 33
2
= − − ⋅ + ⋅ = −（2）原式 ．
（3）原式 ．
18 ．（ 12 分 ） 已 知 角 的 顶 点 与 原 点 重 合 ， 始 边 与 轴 的 非 负 半 轴 重 合 ， 它 的 终 边 过 点
．
（1）求 的值；
（2）若角 满足 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）由角 的终边过点 ，得 ，
所以 ．
（2）由角 的终边过点 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 或 ．
19．（12 分）已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值及函数 的定义域；
1 1( ) 1 12 2
= − + − ⋅ = −
2 2 6sin75 cos75 2( sin75 cos75 ) 2 sin1202 2 2
= °+ ° = °+ ° = ° =
α O x
3 4( , )5 5P − −
sin( π)α +
β 5sin( ) 13
α β+ = cosβ
4
5
56cos 65
β = − 16cos 65
β =
α 3 4( , )5 5P − − 4sin 5
α = −
4sin( π) sin 5
α α+ = − =
α 3 4( , )5 5P − − 3cos 5
α = −
5sin( ) 13
α β+ = 12cos( ) 13
α β+ = ±
( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + +
56cos 65
β = − 16cos 65
β =
π( ) tan( )( 0)4f x xω ω= + > π
2
ω ( )f x（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ，定义域为 且 ， ；（2） ．
【解析】（1）由 ，可得 ，
由 ，得定义域为 且 ， ．
（ 2 ） 因 为 ， 即 ， ， 解 得 ，
．
20．（12 分）已知函数 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的最小正周期及对称轴方程；
（3）当 时，求 的单调递增区间．
【答案】（1） ， ；（2） ，对称轴方程为 ；（3） 和
．
【解析】（1）函数 ，
则 ， ．
( ) 32f
α = tan 2α
2ω = x∈R π π
2 8
kx ≠ + k ∈Z 4
3
π π
2ω = 2ω =
π π2 π4 2x k+ ≠ + x∈R π π
2 8
kx ≠ + k ∈Z
( ) 32f
α = πtan( ) 34
α + = tan 1 31 tan
α
α
+ =−
1tan 2
α =
2
2tan 1 4tan 2 11 tan 31 4
αα α= = =− −
2( ) cos sin cosf x x x x= +
(0)f π( )4f
( )f x
[0,π]x∈ ( )f x
(0) 1f = π( ) 14f = πT = π π ( )2 8
kx k= + ∈Z π[0, ]8
5π[ ,π]8
2 1 cos2 sin 2 2 π 1( ) cos sin cos sin(2 )2 2 2 4 2
x xf x x x x x
+= + = + = + +
2 π 1 1 1(0) sin(0 ) 12 4 2 2 2f = + + = + = π 2 π π 1 1 1( ) sin( ) 14 2 2 4 2 2 2f = + + = + =（2）由于 ，所以函数的最小正周期 ，
令 ，解得 ，
所以函数的对称轴方程为 ．
（3）令 ，
解得 ，
由于 ，所以当 或 时，函数的单调递增区间为 和 ．
21．（12 分）已知电流 与时间 的关系式为 ．
（ 1 ） 如 图 是 在 一 个 周 期 内 的 图 象 ， 根 据 图 中 数 据 求
的解析式；
（2）如果 在任意一段 秒（包含 秒）的时间内，电流 都能取得最大值和最
小值，那么 的最小正整数值是多少？
【答案】（1） ；（2）943．
【解析】（1）由图可知 ，设 ， ，
2 π 1( ) sin(2 )2 4 2f x x= + + 2π π2T = =
π π2 π ( )4 2x k k+ = + ∈Z π π ( )2 8
kx k= + ∈Z
π π ( )2 8
kx k= + ∈Z
π π π2 π 2 2 π ( )2 4 2k x k k− + ≤ + ≤ + ∈Z
3π ππ π ( )8 8k x k k− ≤ ≤ + ∈Z
[0,π]x∈ 0k = 1 π[0, ]8
5π[ ,π]8
I t sin( )I A tω ϕ= +
πsin( )( 0, 0,| | )2I A t Aω ϕ ω ϕ= + > > <
sin( )I A tω ϕ= +
t 1
150
1
150 sin( )I A tω ϕ= +
ω
π300sin(150π )6I = +
300A = 1
1
900t = − 2
1
180t =则周期 ，
∴ ， 时， ，
即 ，而 ，∴ ，故 ．
（2）依题意，周期 ，即 ，∴ ，
又 ，故最小正周期 ．
22．（12 分）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的
图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象．
（1）写出函数 的解析式；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求实数 和正整数 ，使得 在 上恰有 个零点．
【答案】（1） ；（2） ；（3）当 或 时， ，当
时， ．
【解析】（1）把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
得 到 函 数 的 图 象 ， 再 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数
的图象，
故函数 的解析式为 ．
1 2
1 1 12( ) 2( )180 900 75T t t= − = + =
2π 150πT
ω = = 1
900t = − 0I =
1sin[150π ( ) ] 0900
ϕ⋅ − + = π| | 2
ϕ < π
6
ϕ = π300sin(150π )6I = +
1
150T ≤ 2π 1 ( 0)150
ωω ≤ < 300π 942ω ≥ >
ω ∈ *N 943ω =
siny x= 1
2
π
6
( )f x
( )f x
π π[ , ]6 12x∈ − 2 ( ) ( ) 1 0f x mf x− − ≤ m
a n ( ) ( )F x f x a= − [0, π]n 2019
π( ) sin(2 )3f x x= + 0m ≥ 1a = 1a = − 2019n = 3
2a =
2019n =
siny x= 1
2
sin 2y x= π
6
π π( ) sin[2( )] sin(2 )6 3f x x x= + = +
( )f x π( ) sin(2 )3f x x= +（2）若对于任意 ，则 ，所以 ，
又 由 恒 成 立 ， 令 ， 则 恒 成 立 ， 则
， ，解得 ．
（3）因为 在 上恰有 个零点，
故函数 的图象与 在 上有 个交点，
当 时， ，
①当 或 时，函数 的图象与 在 上无交点；
②当 或 时，函数 的图象与 在 上仅有一个交点，
此时要使得函数 的图象与 在 上有 个交点，则 ；
③当 或 时，函数 的图象与 在 上 个交点，此时要使得函数
的图象与 在 上的交点个数，不能是 个；
④当 时，函数 的图象与 在 上 个交点，此时要使得函数 的图象与
在 上有 个交点，则 ，
综上可得，当 或 时， ，当 时， ．
π π[ , ]6 12x∈ − π π2 [0, ]3 2x + ∈ π( ) sin(2 ) [0,1]3f x x= + ∈
2 ( ) ( ) 1 0f x mf x− − ≤ ( ) [0,1]t f x= ∈ 2( ) 1 0g t t mt= − − ≤
(0) 1 0g = − ≤ (1) 0g m= − ≤ 0m ≥
( ) ( )F x f x a= − [0, π]n 2019
( )f x y a= [0, π]n 2019
[0,π]x∈ π π 7π2 [ , ]3 3 3x + ∈
1a > 1a < − ( )f x y a= [0, π]n
1a = 1a = − ( )f x y a= [0,π]
( )f x y a= [0, π]n 2019 2019n =
31 2a− < < 3 12 a< < ( )f x y a= [0,π] 2
( )f x y a= [0, π]n 2019
3
2a = ( )f x y a= [0,π] 3 ( )f x y a=
[0, π]n 2019 1009n =
1a = 1a = − 2019n = 3
2a = 1009n =
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