知识讲解（A）.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 集合及集合的表示 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．‎ ‎2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．‎ ‎3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．‎ ‎【要点梳理】‎ 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.‎ 要点一、集合的有关概念 ‎1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.‎ ‎2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.‎ ‎3．关于集合的元素的特征 ‎(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.‎ ‎(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.‎ ‎(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.‎ ‎4．元素与集合的关系：‎ ‎(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA ‎(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作 ‎5．集合的分类 ‎(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.‎ ‎(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.‎ ‎(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.‎ ‎6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+‎ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二、集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.‎ ‎1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.‎ ‎2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.‎ ‎4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1，2，3，4‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：集合的概念及元素的性质 例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？‎ ‎(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.‎ 答案：(4)、（5）‎ 解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.‎ ‎“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.‎ 点评：‎ ‎(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.‎ ‎(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.‎ ‎(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.‎ ‎ 答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。‎ 解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.‎ ‎(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；‎ ‎(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；‎ ‎(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.‎ ‎(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.‎ ‎(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.‎ 例2．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？‎ 答案：是 解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.‎ 点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.‎ ‎（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设 ‎(1)若aZ，则是否有aS？‎ ‎(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？‎ 答案：aS 是 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；‎ ‎(2)x1，x2S，则 ‎∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z ‎∴x1·x2S.‎ 类型二：元素与集合的关系 例3.用符号“”或“”填空．‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.‎ ‎(1) ‎ ‎(2)令，则 令，则 ‎(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，‎ ‎∴‎ 点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 用符号“”或“”填空 ‎（1）若,则 ；-2 .‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎（2）若则 ；-2 .‎ 答案：‎ ‎（1）， （2），‎ 类型三：集合中元素性质的应用 例4.定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 D. 18‎ 答案： D 解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.‎ 点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 6‎ 答案：D 解析：，且，，‎ z的取值有：0，2，4‎ 故，‎ 集合的所有元素之和为：0+2+4=6.‎ ‎■高清课程：集合的表示及运算 例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.‎ 答案：0，1‎ 解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：‎ 当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.‎ 当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.‎ 例6.已知集合，若，求实数的值及集合.‎ 答案：，.‎ 解析：（1）若则.‎ 所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.‎ ‎（2）若，则或，‎ 当时，满足题意；‎ 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.‎ 综上，，集合.‎ 点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知集合，，求实数的值 答案： ‎ 解析：当，即时，，与集合的概念矛盾，故舍去 当即时，不满足题意舍去，故.‎ 类型四：集合的表示方法 例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合：‎ ‎(1)方程的所有实数根组成的集合；‎ ‎(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.‎ 答案：（1）；（2）。‎ 解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件 因此，用描述法表示为；‎ 方程有两个实数根 因此，用列举法表示为.‎ ‎(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15