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2019 学年第一学期期中考试高三数学参考答案
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B C B B B C
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本小题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11.36 8 12.
33 153 ,22
13.15,64 14. 1
3
22
15.32 23+ 16. 2 17. 2
3
p
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分 14 分)
（Ⅰ）由定义 13cos ,sin22aa==········································1 分
25 5cos ,sin55bb=- = ···································2 分
2 34cos 2 2cos 1 ,sin 2 2sin cos55bb bbb\= -== =-·········4 分
cos(2 ) cos 2 cos sin 2 sinb ababa\-= +
31 4 3 3 43
52 5 2 10
-=×-× = ·······················7 分
（Ⅱ）由 13cos ,sin22aa==可知 2,3 kkZpap= +Î
() 2sin( ) 2sin( 2 ) 2sin( )33fx x x k xp ppa p p p=+=++=+········9 分
∴最小正周期
222T pp
w p===·······································11 分
求单调递减区间：
322,232kx kkZpppp p p+ £ + £ +Î
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∴ ()f x 单调递减区间为
172, 2 ,66kkkZéù+ +Îêúêúëû························14 分
19.(本题满分 15 分)
（Ⅰ）证明 ∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 BDEF 为矩形，
∴BF⊥BD，
又∵AC⊥BF，AC，BD 为平面 ABCD 内两条相交直线，
∴BF⊥平面 ABCD. ························································6 分
（Ⅱ）解 假设二面角 C－BG－D 的大小可以为 60°，
由（Ⅰ）知 BF⊥平面 ABCD，以 A 为原点，分别以 AB，AD 为 x 轴，y 轴建立空间直角坐
标系，如图所示，不妨设 AB＝AD＝2，BF＝h(h>0)，
则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，EF 的中点 G(1，1，h)，
BG→ ＝(－1，1，h)，BC→＝(0，2，0).
设平面 BCG 的法向量为 n＝(x，y，z)，···································9 分
则
BG→ ·n＝0，
BC→·n＝0，
即
－x＋y＋hz＝0，
2y＝0， 取 n＝(h，0，1).
由于 AC⊥BF，AC⊥BD，
∴AC⊥平面 BDG，平面 BDG 的法向量为AC→＝(2，2，0). ·················12 分
由题意得 cos 60°＝
n·AC→
|n|·|AC→|
＝ 2h
h2＋1· 4＋4
，
解得 h＝1，此时BF
BC＝1
2.
∴当BF
BC＝1
2时，二面角 C－BG－D 的大小为 60°. ··························15 分
20.(本题满分 15 分)
（Ⅰ）∵{}na 是等比数列，设其公比为 q
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又 3
46 13 13()8()aa qaa aa+= + = +
32
1(8)(1)0qqa\- + =
2
110 0qa ，+> > 3 80 2qq，\-= =
又 1 1a =
12n
na -\= ·························································2 分
2
11()nnnnnb SS + ++× = ×
即 2
11()()nnnnnnS S SS+++× - = ×
即 2
1
11 1 11
1nnSS nnnn+
-= =-++
111
111111 11111nnnSn SnSn S+-
\ - = - = - = ××× = - =+-
1n
nS n\=+
···························································5 分
∴当 2n ³ 时， 1 2
11
1nnn
nnbSS nnnn-
-=- = - =+ +
························6 分
又经检验， 1 2
11
211b ==+
，也符合该式
∴ 2
1
nb nn= +
··························································7分
（Ⅱ） 1
1= (1) 2n n
nn
nc nab -=+
··············································8 分
012 1
123= 222 2n n
nT -\+++×××+ ①
123 1
123 1=222 2 2 2
n
nn
T nn
-
-\+++×××++ ②
① - ②可得
012 1 1
111 1 1=222 22 2 2 2 2
n
nn nn
T nn
--+++×××+- =- -
012 1 2 1
111 1 1=4222 2 2 2 2n nn n n
nnT ---+++×××+- =- - ·······················11 分
21 1
14(1)422 2nn nn n
nnTcll-- -\+ =- - +-×
由韦达定理， 1222M
yyym+==··········································2 分
2l 分别交C 于 A , B 两点， 2l\ 不平行于 x 轴， 0m¹
又 21ll ^
设 2
12:1lx ymm=- + + , D 33(, )x y
联立 2l 与C 方程，得 2 4840yymm+--=，且 0D >
N 为QD 中点
由韦达定理， 03 2
2N
yyy m
+==- ········································4 分
∴ 124MNyy mm-= +³
当 1m 时取到等号
∴ M Nyy- 的最小值为 4 ················································6 分
（Ⅱ）当 1l 不经过点Q 时, 2ABQM= 等价于QA QB^ ，即 1QA QBkk× =- ·······8 分
设 1 :25lxmym=++, A 11(, )x y , B 22(, )x y
由（Ⅰ）联立方程可得韦达定理， 124y ym+= ， 12 820yy m= --··········10 分
又 10 10
22
0110 10
4=
44
QA
yy yyk yyx xyy
--==-+-
，同理
20
4
QBk yy= +
·················12 分
1020
16 1()()QA QBkk yyyy\× = =-++
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2
12 0 1 2 0()160yy y y y y\+ +++=
代入整理得 2
004( 2) 4 0my y-+ -=
要使该式恒成立，则 0
2
0
20
40
y
y
ì -=ïí -=ïî
，解得 0 2y = ， 0 1x = ···················14 分
又经检验，当 1l 经过点Q 时， 2ABQM= 仍然成立
∴存在 0 2y = 使得 2ABQM= 恒成立，即证毕·························15 分
22.（本题满分 15 分）
（Ⅰ) 当 1a =- 时, 2() lnf xxxbx=+-
∴
2121'( ) 2 x bxfx xbxx
- +=+ -= (0)x > ·······························1 分
∵ 1x , 2x 为 ()f x 的两个不同极值点
∴ 1x , 2x 为方程 2210xbx-+=的两不等正根
∴ 2
1121bx x=+， 2
2221bx x=+
且由韦达定理 12
1
2xx = ·················································2 分
22
12 111222( ) ( ) (ln ) (ln )f x fx xxbx xxbx+=+-++-
22
12 1 2ln 2xx x x= ---····································4 分
12 12ln 2 2 ln 2 3xx xx++
()hm 在 (0,1) 单调递增
() (1)0hm h ，证毕··········································15 分
由开始时所给分析可知，所需证明结论已经证明完毕
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