浙教版九年级数学下第1章解直角三角形单元试卷(教师用).docx

‎【易错题解析】浙教版九年级数学下册 第一章 解直角三角形 单元测试卷 一、单选题（共10题；共30分）‎ ‎1.在 RtΔABC 中， ‎∠C=90‎ °, ‎∠B=40‎ °，AB=5，则BC的长为(   ) ‎ A. 5tan40°                             B. 5cos40°                             C. 5sin40°                             D. ‎‎5‎cos‎40‎‎°‎ ‎【答案】B ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴cosB= BCAB ， ∵AB=5，∠B=40°， ∴BC=AB·cosB=5cos40°. 故答案为：B. 【分析】根据余弦函数的定义得出cosB=BCAB，故BC=AB·cosB=5cos40°.‎ ‎2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=‎3‎‎5‎ ， 则tanB的值为（   ） ‎ A. ‎4‎‎3‎                                         B. ‎4‎‎5‎                                         C. ‎5‎‎4‎                                         D. ‎3‎‎4‎  ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA=‎3‎‎5‎， ∴sinA=BCAB=‎3‎‎5‎， 设AB=5x，BC=3x， ∴AC=4x， ∴tanB =ACBC=‎4‎‎3‎. 故答案为：A. 【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可得出答案.‎ ‎3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（ 　 ） ‎ A. ‎4‎‎3‎                                          B. ‎3‎‎5‎                                          C. ‎3‎‎4‎                                          D. ‎‎4‎‎5‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4， 根据正切的定义知： tanB=ba‎=‎‎4‎‎3‎. 故选A.‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.如图所示,热气球探测器在A点处,点B为楼顶,点C为楼底,AD为水平线,EF为经过点A的铅垂线,则下列说法正确的有(   )‎ ‎ ‎ ‎①∠1为仰角;  ②∠2为仰角;  ③∠3为俯角; ④∠4为俯角.‎ A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 ‎【答案】B ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【解答】解：正确的说法是 ②∠2为仰角， ③∠3为俯角； 故答案为：B ‎【分析】根据仰角与俯角的定义，视线在水平线上方，由视线和水平线所形成的夹角就是仰角；视线在水平线下方，由视线和水平线所形成的夹角就是俯角；根据定义即可一一判定。‎ ‎5.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=‎3‎‎5‎ ， 则∠C的正弦值等于（　　） ‎ A. ‎5‎‎6‎                                    B. ‎2‎‎3‎                                    C. ‎3‎‎13‎‎13‎                                    D. ‎‎2‎‎13‎‎13‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC， ∵sinB=‎3‎‎5‎ ， ∴ADAB=‎3‎‎5‎ ， ∵AB=5， ∴AD=3， ∴BD=AB‎2‎-AD‎2‎=4， ∵BC=6， ∴CD=2， ∴AC=AD‎2‎+CD‎2‎=‎13‎ ， ∴sinC=ADAC=‎3‎‎13‎=‎3‎‎13‎‎13‎ ， 故选C． ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可．‎ ‎6.如图，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东70°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（   ）‎ ‎ ‎ A. 95°                                       B. 85°                                       C. 60°                                       D. 40°‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵C岛在A岛的南偏东15°方向， ∴∠FAC=15°， ∵C岛在B岛的北偏东70°方向， ∴∠CBD=∠BCE=70°， ∵FA∥CE， ∴∠FAC+∠ACB+∠BCE=180°， ∴15°+∠ACB+70°=180°， ∴∠ACB=95°， 故选A． 【分析】根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解．‎ ‎7.等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（　　） ‎ A. ‎5‎‎18‎                                       B. ‎5‎‎16‎                                       C. ‎13‎‎15‎                                       D. ‎‎12‎‎13‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm， 作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴BD=CD=‎1‎‎2‎BC=5， 在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5， ∴AD=‎13‎‎2‎‎-‎‎5‎‎2‎=12， ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴tanB=ADAB=‎12‎‎13‎ ． 故选D． 【分析】先画出几何图形，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=‎1‎‎2‎BC=5，则利用勾股定理可计算出AD=12，然后根据正弦的定义求解．‎ ‎8.（2017•益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（   ） ‎ A. hsinα                                  B. hcosα                                  C. htanα                                  D. h•cosα ‎【答案】B ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD， 在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= CDBC ， ∴BC= CDcos∠BCD = hcosα ， 故选：B． 【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD= CDBC 知BC= CDcos∠BCD = hcosα ．‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=‎3‎‎5‎ ， 则BC的长是（　　）  ‎ A. 4cm                                    B. 6cm                                    C. 8cm                                    D. 10cm ‎【答案】A ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD， ∴BD=AD， ∴CD+BD=8， ∵cos∠BDC= CDBD‎=‎‎3‎‎5‎， ∴ CD‎8-CD‎=‎‎3‎‎5‎， 解得：CD=3，BD=5， ∴BC=4． 故选A． 【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=CDBD‎=‎‎3‎‎5‎，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．‎ ‎10.（2017•广元）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= ‎2‎ ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（   ） ‎ A. ①②③                                B. ②③④                                C. ①③④                                D. ①②④‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴ AEBC = AFCF ， ∵AE= ‎1‎‎2‎ AD= ‎1‎‎2‎ BC， ∴ AFCF = ‎1‎‎2‎ ， ∴CF=2AF，故④正确； ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE= ‎1‎‎2‎ BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF=DC，故③正确； 设AE=a，AB=b，则AD=2a， 由△BAE∽△ADC，有 ba = ‎2ab ，即b= ‎2‎ a， ∴tan∠CAD= DCAD = b‎2a = ‎2‎‎2‎ ．故②不正确； 正确的有①③④， 故答案为：C． 【分析】只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断②的正误，于是得到四个结论中正确结论.‎ 二、填空题（共10题；共30分）‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是________.   ‎ ‎【答案】‎3‎‎4‎ ‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的中线, ∴AB=2CD=4， 则sinB=ACAB‎=‎‎3‎‎4‎ 故答案为：‎3‎‎4‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线长是斜边的一半，可得AB=2CD=4；而sin B的值为∠B所对的边AC与斜边AB长的比值。‎ ‎12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于________． ‎ ‎【答案】2：3 ‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系 ‎ ‎【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边， ∴sinA= ac ，sinB= bc ， ∵sinA：sinB=2：3， ∴ ac ： bc =2：3， ∴a：b=2：3． 故答案为2：3． 【分析】根据正弦的定义得到sinA= ac ，sinB= bc ，再由sinA：sinB=2：3得到 ac ： bc =2：3，然后利用比例性质化简即可．‎ ‎13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，tanA=2，则BC=________． ‎ ‎【答案】10 ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵tanA= BCAC ， ∴BC=AC•tanA=5×2=10． 故答案是：10． 【分析】根据已知条件tanA=2=BCAC可求BC的长。‎ ‎14.（2016•西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为________‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5） ‎ ‎【答案】60 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ∴BD= ADtan‎56‎‎∘‎ ，CD= ADtan‎45‎‎∘‎ ， ∴ ADtan‎56‎‎∘‎ + ADtan‎45‎‎∘‎ =100， 解得，AD≈60， 故答案为：60． 【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎15.（2016•黔南州）为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划处如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出________个这样的停车位．（取 ‎2‎ =1.4，结果保留整数） ‎ ‎【答案】19 ‎ ‎【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图， ∵CE=2，DE=5，且∠BCE=∠CBE=∠ABD=∠ADB=45°， ∴BE=CE=2，BD=DE﹣BE=3， ∴BC=2÷sin45°=2 ‎2‎ ，AB=（5﹣2）×sin45°=（5﹣2）× ‎2‎‎2‎ = ‎3‎‎2‎‎2‎ ， 设至多可划x个车位，依题意可列不等式 2 ‎2‎ x+ ‎3‎‎2‎‎2‎ ≤56， 将 ‎2‎ =1.4代入不等式，化简整理得，28x≤539， 解得x≤19 ‎1‎‎4‎ ，因为是正整数，所以x=19， ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以这个路段最多可以划出19个这样的停车位． 故答案为：19． 【分析】如图，根据三角函数可求BC，AB，设至多可划x个车位，依题意可列不等式2 ‎2‎ x+（5﹣2）× ‎2‎‎2‎ ≤56，解不等式即可求解．考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．‎ ‎16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA=________.  ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎1‎‎2‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：由图可计算得到tanA=‎2‎‎4‎‎1‎‎2‎． 故答案是‎1‎‎2‎． 【分析】锐角三角函数的定义．‎ ‎17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ‎3‎‎5‎ ，则BC=________． ‎ ‎【答案】6 ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：sinA=CB：AB=CB：10= ‎3‎‎5‎ ， CB=6． 故答案为：6． 【分析】根据正弦定义：对边：斜边=正弦可得答案．‎ ‎18.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为________ 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，‎2‎≈1.414，‎3‎ ， 1.732） ‎ ‎【答案】137 ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设AD=xm， 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=ADCD ， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=ADBD ， ∴x=‎3‎‎3‎（x+100）， ∴x=50（‎3‎+1）≈137， 即山高AD为137米． 故答案为137． 【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=‎3‎‎3‎（x+100），解得x=50（‎3‎+1），再进行近似计算即可．‎ ‎19.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=100m，则河宽AB为________m（结果保留根号）． ‎ ‎【答案】50 ‎3‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=30°， ∴AD=CD=100m， 在Rt△ABD中， AB=AD•sin∠ADB=100× ‎3‎‎2‎ =50 ‎3‎ （m）． 故答案是：50 ‎3‎ ． 【分析】根据解直角三角形中正切的定义，得到AB=AD•sin∠ADB的值.‎ ‎20.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km ， 某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎________km ． ​ ‎ ‎【答案】2 ​ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【解答】如图，过点A作AD⊥OB于D. 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km ， ∴AD= OA=2km ． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴BD=AD=2km ， ∴AB= AD=2 km ． 即该船航行的距离（即AB的长）为2 km ． 故答案为2 km ． 【分析】过点A作AD⊥OB于D.先解Rt△AOD ， 得出AD= OA=2km ， 再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km ， 则AB= AD=2 km ． ​‎ 三、解答题（共10题；共60分）‎ ‎21.（2016•丹东）计算：4sin60°+|3﹣ ‎12‎ |﹣（ ‎1‎‎2‎ ）﹣1+（π﹣2016）0 ． ‎ ‎【答案】解：4sin60°+|3﹣ ‎12‎ |﹣（ ‎1‎‎2‎ ）﹣1+（π﹣2016）0 =4× ‎3‎‎2‎ +2 ‎3‎ ﹣3﹣2+1 ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=2 ‎3‎ +2 ‎3‎ ﹣4 =4 ‎3‎ ﹣4 ‎ ‎【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣ ‎12‎ |﹣（ ‎1‎‎2‎ ）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p= ‎1‎ap （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．‎ ‎22.如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100  米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）． ‎ ‎【答案】解：∵AB=100米，α=37°， ∴BC=AB•sinα=100sin37°， ∵AD=CE=1.5米， ∴BE=BC+CE=100×sin37°+1.5≈100×0.60+1.5=61.5（米）， 答：风筝离地面的高度BE为：61.5米 ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】根据正弦函数的定义，由BC=AB•sinα得出BC的长，根据矩形的性质得出AD=CE，根据线段的和差即可得出答案。‎ ‎23.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： ‎6‎ ≈2.449，结果保留整数） ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：作PC⊥AB交于C点， 由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）． 在Rt△APC中，PC=PA•cos∠APC=40 ‎3‎ （海里）． 在Rt△PCB中，PB= PCcos∠BPC‎=‎40‎‎3‎cos45°‎=40‎‎6‎ ≈98（海里）． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里． ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．‎ ‎24.如图，小明到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200 m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平夹角∠β=42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）‎ ‎【答案】解：如图，‎ 在Rt 中，斜边AB=200米，∠α=16°，‎ ‎（m），‎ 在Rt 中，斜边BD=200米，∠β=42°，‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=186（米）．‎ 答：缆车垂直上升了186米．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【分析】在Rt △ABC 中，利用正弦函数的定义由BC=AB·sinα得出BC的长，在Rt △BDF 中，利用正弦函数的定义由DF=BD·sinβ得出BC的长，根据线段的和差即可得出答案。‎ ‎25.我校的北大门是由相同菱形框架组成的伸缩电动推拉门，如图是大门关闭时的示意图，此时 菱形的边长为0.5m，锐角都是50°.求大门的宽（结果精确到0.01，参考数据：sin25°≈0.422 6，cos25°≈0.906 3）.‎ ‎【答案】解：如图，取其中一个菱形ABCD ．‎ ‎ 根据题意，得∠BAD=50°，AB=0.5米． ∵在菱形ABCD中，AC⊥BD ， ∠BAO=25°， ∴在Rt△ABO中，BO=sin∠BAO•AB=sin25°×0.5 =0.2113（米）． ∴大门的宽是：0.2113×30≈6.34（米）． 答：大门的宽大约是6.34米． ‎ ‎【考点】菱形的性质，解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【分析】由菱形对角线的性质知AC⊥BD，从而在Rt△ABO中根据三角函数知识求出BO的长，大门的长也就得以求出。‎ ‎26.如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB＝4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．(参考数据:sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50， ‎3‎ ≈1.73)‎ ‎【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 在Rt△BDC中，由tan∠BCD= BDCD ，‎ ‎∴BD=CDtan27°=0．5CD．‎ 在Rt△ADC中，由tan∠ACD= ‎ADCD ‎∴AD=CD•tan60°= ‎3‎ CD．‎ ‎∵AD+BD= ‎3‎ CD+0．5CD=4，‎ ‎∴CD= ‎4‎‎3‎‎+0.5‎ ．‎ 在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，‎ ‎∴∠CAD=30°，‎ ‎∴AC=2CD= ‎8‎‎3‎‎+0.5‎ ≈3．6．‎ ‎∴灯塔C与观测点A的距离为3．6km．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，在Rt△BDC中，根据正切函数的定义，由tan∠BCD=BDCD,得出BD=CDtan27°=0．5CD，在Rt△ADC中，根据正切函数的定义，由tan∠ACD=ADCD得出AD=CD•tan60°= ‎3‎CD．根据AD+BD=4列出方程，求解得出CD的长，在Rt△ADC中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AC的长。‎ ‎27.小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，36°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan36°≈0.73．‎ ‎【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 设AD为xm，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=36°． 在Rt△ADB中，∠ABD=45°， ∴DB=xm．在Rt△ADC中，∠ACD=36°， ∴tan∠ACD= ADCD ， ∴ xx+100‎ =0.73， 解得：x≈270.4．‎ 答：热气球离地面的高度约为270.4m．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，根据题意可得出△ADB是等腰直角三角形，可得出DB=AD=x，则DC=x+100，再在Rt△ADC中，利用锐角三角形函数的定义，可求出AD的长。‎ ‎28.如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， ‎3‎ ≈1.7）‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB ， 交BA的延长线于点D ， ‎ 则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，‎ 设AD=x ， 则BD=BA+AD=1000+x ， ‎ 在Rt△ACD中，CD= ADtan∠ACD  = xtan‎30‎‎0‎  = ‎3‎x  ‎ 在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，‎ ‎∴325+x= ‎3‎x  •tan68°‎ 解得：x≈100米，‎ ‎∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【分析】利用锐角三角函数解直角三角形，做CD⊥AB，垂足为点D，因为海平面与AC的夹角为‎30°‎，所以∠CAD=‎60°‎，即DC=‎3‎ AD，设AD=x，在Rt△BCD中，BD=1000+x，因为∠BCD=‎68°‎，用∠BCD的正切可求出x的值，即AD的值.‎ ‎29.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 ‎3‎ =1.732， ‎21‎ =4.583） ‎ ‎【答案】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D． 在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm， ∴BC=3cm． 当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm． 在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°， ∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm． 在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm， ∴BD= = cm， ∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3， ∵ =1.732， =4.583， ∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5． 故移动的距离即CC′的长约为5cm． ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2 ‎3‎ cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD= ‎21‎ cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．‎ ‎30.（2014•葫芦岛）油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向． ‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）求∠PBA； （2）求A，B间的距离； （3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号） ‎ ‎【答案】解：如图：（1）∵∠BPA=15°×2=30°， ∠BAP=75°﹣15°=60°， ∴∠PBA=180°﹣30°﹣60°=90°； （2）AB=APsin30°=12×‎1‎‎2‎=6km； （3）过B作BC⊥AP， BC=AB•sin60°=6×‎3‎‎2‎=3‎3‎． ​ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据方向角进行解答； （2）利用三角函数解答； （3）作出AP上的垂线解答．‎ 第 18 页 共 18 页 ‎ ‎ ‎ ‎