山西大学附中2019-2020高一上学期期中考试数学（Word版带答案）.docx

山大附中 2019~2020 学年第一学期期中考试 高一年级数学试题 考查时间：90 分钟 考查内容：必修 1 第一章、第二章部分 一．选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有 一个选项符合题目要求） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A． B． C． D． 3．已知 ，则 a，b，c 的大小关系（ ） A． B． C． D． 4．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 5．若 是偶函数，且对任意 且 ，都有 ，则 下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 6．若函数 在 上的值域为 ，则 在 上的值域为（ ） A． B． C． D． { }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 2 1xB y y= = + A B = ∅ ( ]1,3 ( ]0,3 ( )1,+∞ 1 2( ) ( 0)x x x− = − ≥ 1 6 2 3 ( 0)x x x= ≤ 33 4 4 1 ( 0)x xx −  = >   1 33 ( 0)x x x − = − ≠ 3 2 1 2 1= 0.3 log 22a b c−  = =   ， ， a c b> > c b a> > b a c> > 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + ( )2,+∞ 3 ,2  +∞   ( ),1−∞ 3, 2  −∞   ( )f x 1 2,x x (0, )+∞ 1 2x x≠ 1 2 3( ) ( ) ( )2 3 4f f f> − > 1 3 2( ) ( ) ( )2 4 3f f f> − > 3 1 2( ) ( ) ( )4 2 3f f f> − > 3 2 1( ) ( ) ( )4 3 2f f f− > > ( ) 3 1f x ax bx= + + [ ],m n [ ]2,4 ( ) 3 2g x ax bx= + − [ ],n m− − [ ]4, 2− − [ ]6, 3− − [ ]1,1− [ ]5, 3− −7．已知函数 且 ）是增函数，那么函数 的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D．5 9．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 10．奇函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．函数 的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标 是_____. 12．函数 的定义域为__________（结果用区间表示）. ( 0xy a a−= > 1a ≠ 1( ) log 1af x x = + ( ) ( ) 1 , 02 2 , 0 x xf x f x x   ≥ =    + { }| 3x x > { }| 8x x > { | 2 8}x x− < < ( )f x ( ),0−∞ ( )1 0f − = ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( , 0) (2, )−∞ +∞ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ,0) (1,2)−∞  ( , 1) (1,2)−∞ −  ( ) ( )2 11 2 log 1 xf x x = − + +13．已知函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 . 14．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取 值范围为_____． 15．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ； ②对 于定义域上的任意 ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理 想函数”.下列四个函数中： ① ，② ，③ ，④ ， 能被称为“理想函数”的有_____________（填相应的序号）. 三．解答题（本题共 4 大题，共 40 分） 16.求值： （1） （2）已知 ，且 ,求 17．已知 是二次函数，且满足 . x 21 52 ( 1)( ) 2 4 log ( 1)a a x x xf x x x − + −    1 33 ( 0)x x x − = − ≠ 1 2 ( 0)x x x− = − ≥ 1 6 2 3x x= 1 3 3 1 ( 0)x xx − = ≠所以选 C 【点睛】 本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。 3．已知 ，则 a，b，c 的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数的单调性与 1 作比较可以得出 a 与 b 的大小关系，通过对数函数的图像性 质可以得到 ，得到最终的结果. 【详解】 由指数函数和对数函数图像可知： ， 则 的大小关系是： . 故选：D． 【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求函数 的定义域，再由复合函数的内外函数同增异减的性质判断 3 2 1 2 1= 0.3 log 22a b c−  = =   ， ， a b c> > a c b> > c b a> > b a c> > 0c < 3 2 1 2 1 (0,1), 0.3 1, log 2 02a b c− = ∈ = > = > 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + ( )2,+∞ 3 ,2  +∞   ( ),1−∞ 3, 2  −∞   2 1 3 log ( 3 2)y x x= − +单调区间 【详解】 因为 ，所以 ，解得 或 令 ，因为 的图像开口向上，对称轴方程为 ， 所以内函数 在 上单调递增， 外函数 单调递减， 所以由复合函数单调性的性质可知函数 的单调递减区间为 故选 A. 【点睛】 本题考查复合函数的单调性，解题的关键是掌握复合函数单调性同增异减的方法，属于 一般题。 5．若 是偶函数，且对任意 ∈ 且 ，都有 ，则 下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由于对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ，可得函数 f（x）在（0，+∞） 上单调递减，即可得出． 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + 2 3 2 0x x− + > 1x < 2x > 2 3 2t x x= − + 2 3 2y x x= − + 3 2x = 2 3 2t x x= − + ( )2,+∞ 1 3 logy t= 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + ( )2,+∞ ( )f x 1 2,x x (0, )+∞ 1 2x x≠ ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 1 2 3( ) ( ) ( )2 3 4f f f> − > 1 3 2( ) ( ) ( )2 4 3f f f> − > 3 1 2( ) ( ) ( )4 2 3f f f> − > 3 2 1( ) ( ) ( )4 3 2f f f− > > ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − 1a ≠ 1( ) log 1af x x = + ( 0xy a a−= > 1a ≠ a ( ) logaf x x= 1( ) log 1af x x = + xy a−= 1( )xy a = 1 1a > 0 1a∴ < < ( ) logaf x x= ( ) logaf xx = − 1( ) log 1af x x = + ( ) logaf xx = − 1( ) log 1af x x = +本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察． 8．已知函数 ，则 （） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】 ， ， ， 故选 A. 【点睛】 本题考查分段函数和对数运算，属于中档题. 9．不等式 的解集为（ ） A． B． C． ，或 D． 【答案】A 【解析】 ( ) ( ) 1 , 02 2 , 0 x xf x f x x   ≥ =    + ∴ = = = =       14 3 2 16 0x x+− ⋅ − > { }| 3x x > { }| 8x x > { 8x x }2x < − { | 2 8}x x− < ( )2 2 6 2 16 0x x− ⋅ − > ( )( )2 2 2 8 0x x+ − > 2 2 0x + > 2 8 0x − > 32 2 , 3x x> > ( )f x ( ),0−∞ ( )1 0f − = ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( , 0) (2, )−∞ +∞ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ,0) (1,2)−∞  ( , 1) (1,2)−∞ −  ( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )1f x 1, 1 0,0 1, 1x x x x< − − < < < < > ( ) 0x f x⋅ < ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( ) ( )1 1 0f f= − − = 1x < − 0 1x< < ( ) 0f x > 1 0x− < < 1x > ( ) 0f x < 1x < − 1x > ( ) 0x f x⋅ < 1 1x − < − 1 1x − > 0x < 2x > ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( 1) ( 1) 0x f x− −   + ≠ 1 2 0 1 0 1 1 x x x  − ≥  + >  + ≠ 0 1 0 x x x ≤ ∴ > −  ≠ 1 0x∴− < < ( )1,0− ( )1,0− x【分析】 根据条件可得函数是周期为 的函数，，然后利用周期性即可得到答案。 【详解】 因为 ， 所以 即函数的周期是 4，所以 又因为 ，所以 故为-2. 【点睛】 本题考查函数的周期性，解题的关节是求出函数的周期，属于一般题。 14．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取 值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 因为函数 是 上的增函数，所以当 ，时 是增函数，当 ， 也是增函数，且 ，从而可得答案。 4 1( 2) ( )f x f x + = − ( ) ( ) ( ) ( )14 2 2 2f x f x f xf x + = + + = − =+ 21 52 ( 1)( ) 2 4 log ( 1)a a x x xf x x x − + − ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 1 2log log 12 1 2 1 x x xg x −  = = − + +  ( )0,x∈ +∞ ( )21 0,12 1x − ∈+所以 所以函数 的值域为 （2）方程有实根，即 有实根 构造函数 则 因为函数 在 上单调递减，而 在 上单调递增 所以复合函数 是 上的单调递减函数 所以 在 上最小值为 ，最大值为 即 ，所以当 时，方程有实根 【点睛】 本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方 程根的个数的问题，关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题， 通过求解值域得到结果. ( )2 21 ,0l g 2 1o x  − ∈ −∞ +  ( )g x ( ),0−∞ ( )m f x x= − ( ) ( ) ( )2log 2 1xh x f x x x= − = + − ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1log 2 1 log 2 log log 2 12 x x x x xxh −+= + − = = + 2 1xy −= + R 2logy x= ( )0, ∞+ ( ) ( )2log 2 1xh x −= + R ( )h x [ ]0,1 ( ) ( )1 2 2 2 31 log 2 1 log log 3 12h −= + = = − ( ) ( )0 20 log 2 1 1h −= + = ( ) [ ]2log 3 1,1h x −∈ [ ]2log 3 1,1m∈ −