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2019届初三数学中考复习 圆的相关证明及计算 专题训练题
1. 若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( )
A．3 B．9 C．2 D．3
2. 如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
3. 如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是( )
A．12π B．24π C．6π D．36π
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4. 如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )
A．288° B．144° C．216° D．120°
5. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果圆锥形帽子的底面半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是( )
A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2
6. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为__________．
7. 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于______．
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8. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD，弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是_________．
9. 在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是
10. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为
11. 如图，用一个半径为30 cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为 cm.
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别于与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.
(1) 求证：DF是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为2，BC＝2，求DF的长．
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13. 如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积
14. 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.
(1) 求证：BC是⊙O的切线；
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(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
15. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F.
(1) 求证：DE是⊙O的切线；
(2) 若OF＝2，求AC的长度．
16. 如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E
(1) 求证：BD＝BE；
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(2) 若DE＝2，BD＝，求CE的长．
17. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1) 求证：PO平分∠APC；
(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，
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过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.
(1) 求证：DE⊥AC；
(2) 若AB＝10，AE＝8，求BF的长．
19. 现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm，小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．
参考答案：
1---5 DBBAA
6. ＋
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7. 5π
8. 4π
9. 2π
10. 3
11. 10
12.
(1) 证明：连接OD，如解图，
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
(2) 解：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝DC＝，
∴AD＝＝＝，
∵DF⊥AC，∴△ADC∽△DFC，
∴＝，∴＝，∴DF＝.
13. 解：在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝π(OA2－OC2)＝π×(652－152)＝1000π(cm2)
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14. (1) 证明：连接OB，如解图所示，
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，＝＝，∴∠BOE＝∠BAD，∠OBE＋∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠BAD，∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；
(2) 解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝＝10，
∵S△OBC＝OC·BE＝OB·BC，
∴BE＝＝＝4.8，
∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6.
15.
图①
(1) 证明：如解图①，连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴＝，∴∠DAO＝∠DAC，
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∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
图②
(2) 解：如解图②，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，
∵∠DFO＝∠ACB＝90°，
∴△DFO∽△BCA，
∴＝＝，即＝，
∴AC＝4.
16. (1) 证明：设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°－2α，
∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，
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∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，
∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，
∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；
(2) 解：设AD交⊙O于点F，
CE＝x，则AC＝2x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴FE＝FD＝1，
∵BD＝，∴BF＝2，
∵∠BAD＋∠D＝90°，∠D＋∠FBD＝90°，
∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tanα＝＝，
∴AB＝＝＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知(2x)2＋(x＋)2＝(2)2，
∴解得x＝－(舍去)或x＝，∴CE＝.
17. 证明：(1) 如解图，连接OB，
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∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA＝OB，∴PO平分∠APC；
(2) ∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－30°＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.
18. 解：(1) 如解图，连接OD、AD，
∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AB中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；
(1) ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODE∽△AEF，∴＝＝，设BF＝x，AE＝8，∴＝，解得：x＝，经检验x＝是原分式方程的根，且符合题意，∴BF＝
19. 解：∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴圆锥展开图的圆心角＝×180°＝90°，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°
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