人教A版数学必修5同步辅导与检测单元评估验收(一).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 单元评估验收(一)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在△ABC中，acos＝bcos，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角或直角三角形 解析：原式可化为asin A＝bsin B，由正弦定理知a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．‎ 答案：B ‎2．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝(　　)‎ A．30°或150° B．60°或120°‎ C．60° D．30°‎ 解析：由正弦定理＝得，sin A＝sin B＝‎ sin 45°＝，又因为b＞a，故A＝30°.‎ 答案：D ‎3．在△ABC中，若a＝ b，A＝2B，则cos B等于(　　)‎ A. B. C. D. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：由正弦定理得＝，所以a＝ b可化为 ＝.‎ 又A＝2B，所以＝，‎ 所以cos B＝.‎ 答案：B ‎4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝‎120 m，由此可得河宽为(精确到‎1 cm)(　　)‎ A．‎170 m B．‎‎98 m C．‎95 m D．‎‎86 m 解析：在△ABC中，AB＝120，‎ ‎∠CAB＝45°，‎ ‎∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝＝40.‎ 设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，‎ 所以h＝BC·sin∠CBA＝40×sin 75°≈95(m)．‎ 答案：C ‎5．在△ABC中，已知cos Acos B＞sin Asin B，则△ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由cos Acos B＞sin Asin B，得cos A·cos B－‎ sin Asin B＝cos (A＋B)＞0，‎ 所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C为钝角．‎ 答案：C ‎6．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)‎ A．2 B. C．2或 D．以上都不对 解析：因为a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以5＝15＋c2－2×c×.‎ 化简得c2－‎3 c＋10＝0，‎ 即(c－2)(c－)＝0，‎ 所以c＝2或c＝.‎ 答案：C ‎7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，0)‎ C. D. 解析：由正弦定理得：‎ a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)，‎ 因为即 所以k＞.‎ 答案：D 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎8．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)‎ A. B. C. D．9 解析：设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，‎ 所以x2＝9，所以x＝3.‎ 设cos θ＝，则sin θ＝.‎ 所以2R＝＝＝.‎ 答案：B ‎9．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.‎ 答案：B ‎10．如果△A1B‎1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B‎2C2的三个内角的正弦值，则(　　)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A．△A1B‎1C1和△A2B‎2C2都是锐角三角形 B．△A1B‎1C1和△A2B‎2C2都是钝角三角形 C．△A1B‎1C1是钝角三角形，△A2B‎2C2是锐角三角形 D．△A1B‎1C1是锐角三角形，△A2B‎2C2是钝角三角形 解析：△A1B‎1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B‎1C1是锐角三角形，由 得 那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和是π矛盾．若△A2B‎2C2是直角三角形，设A2＝，则sin A2＝1＝cos A1，所以A1在(0，π)范围内无值，所以△A2B2是钝角三角形．‎ 答案：D ‎11．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)‎ A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：A中，因为＝，‎ 所以sin B＝＝1，‎ 所以B＝90°，即只有一解；‎ B中，因为sin C＝＝，且c＞b，所以C＞B，故有两解；‎ C中，因为A＝90°，a＝5，c＝2，‎ 所以b＝＝＝，‎ 即有解，故A、B、C都不正确，用排除法应选D.‎ 答案：D ‎12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设BC＝a，则BM＝MC＝.‎ 在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，‎ 即72＝a2＋42－2××4×cos∠AMB①‎ 在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC 即62＝42＋a2＋2×4××cos∠AMB②‎ ‎①＋②得72＋62＝42＋42＋a2，‎ 所以a＝.‎ 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知△ABC中，‎3a2－2ab＋3b2－‎3c2＝0，则cos C＝________．.‎ 解析：由‎3a2－2ab＋3b2－‎3c2＝0，‎ 得c2＝a2＋b2－ab.‎ 根据余弦定理，得 cos C＝＝＝，‎ 所以cos C＝.‎ 答案： ‎14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝‎2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．‎ 解析：由已知条件和正弦定理得：‎3a＝5b，且b＋c＝‎2a，‎ 则a＝，c＝‎2a－b＝，cos C＝＝－，‎ 又0＜C＜π，因此角C＝.‎ 答案： ‎15．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．‎ 解析：由已知a＝3，b＝5，c＝7，‎ 所以cos C＝＝－，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以sin C＝，‎ 所以R＝＝.‎ 答案： ‎16．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶‎1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.‎ 解析：如图所示，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝‎1 km.‎ 由正弦定理得 ＝，‎ 所以BC＝·sin 15°＝ (km)．‎ 设C到直线AB的距离为d，‎ 则d＝BC·sin 75°＝·＝ (km)．‎ 答案： 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎17．(本小题满分10分)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B＝3，bsin A＝4.‎ ‎(1)求边长a；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.‎ 解：(1)由题意得：＝，‎ 由正弦定理得：＝，‎ 所以＝，‎ cos2B＝sin2B＝(1－cos2B)，‎ 即cos2B＝，‎ 由题意知：a2cos2B＝9，‎ 所以a2＝25，得a＝5.‎ ‎(2)因为S＝bcsin A＝‎2c，‎ 所以，由S＝10得c＝5，‎ 应用余弦定理得：‎ b＝＝2.‎ 故△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2(5＋)．‎ ‎18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cos B＝.‎ ‎(1)若b＝4，求sin A的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．‎ 解：(1)因为cos B＝>0，0