第二节 与圆有关的位置关系
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2018·湘西州中考)已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
2．(2019·改编题)设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( )
A．d＝3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3
3．(2019·改编题)如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
4．(2018·深圳中考)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是( )
A．3 B．3
C．6 D．6
5．(2018·重庆中考A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( )
A．4 B．2 C．3 D．2.5
6．(2018·台州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝________度．
7．(2018·连云港中考)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝__________．
8．(2018·
湖州中考)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．
9．(2018·娄底中考)如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝______．
10．(2019·改编题)已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，∠BAC＝∠CAD.
(1)求证：AD⊥EF；
(2)若∠B＝30°，AB＝12，求AD的长．
11．(2018·常德中考)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于点E.
(1)求证：EA是⊙O的切线；
(2)求证：BD＝CF]
12．(2018·重庆中考B卷)如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是( )
A．2 B. C. D.
13．(2018·无锡中考)如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的⊙O与边AB，CD分别交于点E，点F，给出下列说法：(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心；(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心；(3)BC与⊙O相切．其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14．(2018·泸州中考)在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )
A．3 B．2 C. D.
15．(2018·南京中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为________．
16．(2019·原创题)如图所示，在Rt△ABC中，以斜边AB为直径作⊙O，延长BC至点D，恰好使得AD＝AB，过点C作CE⊥AD，延长DA交⊙O于点F.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AB＝10，CE＋EA＝4，求AF的长度．
17．(2018·宜宾中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线上一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E.
(1)求证：EC为⊙O的切线；
(2)设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．
18．(2019·创新题)阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝.
例如：求点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离．
解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，
∴点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为d＝＝.
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为__________；
问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－x＋b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.B 3.C 4.D 5.A
6．26 7.44° 8.70° 9.1
10．(1)证明：如图，连接OC.
∵EF是过点C的⊙O的切线，∴OC⊥EF，
∴∠OCA＋∠ACD＝90°.
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠BAC＝∠CAD，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，
∴AD⊥EF.
(2)解：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°.
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC＝∠B＋∠OCB＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，∴AC＝AB＝6.
又∵∠ACD＝30°，∴AD＝AC，
∴AD＝3.
11．证明：(1)如图，连接OA.
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°.
∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，
∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，
∴EA是⊙O的切线．
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°.
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°.
∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAF.
在△BAD和△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF.
【拔高训练】
12．B 13.C 14.D
15．4
16．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.
∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，
∴∠OCB＝∠ADB，∴OC∥AD.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
(2)解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，
则∠OCE＝∠CEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形OCEH是矩形，
∴OC＝EH，OH＝CE.
设AH＝x.
∵CE＋AE＝4，OC＝5，
∴AE＝5－x，OH＝4－(5－x)＝x－1.
在Rt△AOH中，由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，
即x2＋(x－1)2＝52，
解得x1＝4，x2＝－3(不符合题意，舍去)，
∴AH＝4.
∵OH⊥AF，
∴AH＝FH＝AF，
∴AF＝2AH＝2×4＝8.
17．(1)证明：∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝90°.
∵BC＝CD，
∴点C是BD的中点．
又∵点O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠CED＝90°，∴OC⊥CE.
又∵点C在⊙O上，
∴EC为⊙O的切线．
(2)解：如图，连接AC.
∵AB是直径，点F在⊙O上，
∴∠AFB＝∠PFE＝∠CEA＝90°.
∵∠EPF＝∠EPA，∴△PEF∽△PAE，
∴PE2＝PF·PA.
∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，
又∵∠CPF＝∠CPA，∴△PCF∽△PAC，
∴PC2＝PF·PA，∴PE＝PC.
在Rt△PEF中，sin∠PEF＝＝.
【培优训练】
18．解：问题1：4
提示：直线方程整理得3x＋4y－5＝0，
故A＝3，B＝4，C＝－5，
∴点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为
d＝＝4.
问题2：直线y＝－x＋b整理得3x＋4y－4b＝0，
故A＝3，B＝4，C＝－4b.
∵⊙C与直线相切，∴点C到直线的距离等于半径，
即＝1，
整理得|10－4b|＝5，解得b＝或b＝.
问题3：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵在3x＋4y＋5＝0中，A＝3，B＝4，C＝5，
∴圆心C(2，1)到直线AB的距离
CD＝＝3，
∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝4，最小距离为3－1＝2，
∴S△ABP的最大值为×2×4＝4，
最小值为×2×2＝2.
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