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专题类型突破
专题五 二次函数综合题
类型一 线段、周长问题
(2018·宜宾中考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点M，使点M到点A，B的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设点S是直线l的一点，是否存在点S，使的SB－SA最大，若存在，求出点S的坐标．
【分析】 (1)设顶点式y＝a(x－2)2，将点(4，1)代入即可求a的值，得出抛物线的解析式；
(2)联立直线AB与抛物线解析式得到点A与点B的坐标，设出点M的坐标为(0，m)，利用等式MA2＝MB2，求出点M的坐标；
(3)利用最短线段思想，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．求出直线AB′解析式后，联立直线l得出点P坐标；
(4)由最短线段思想可知，当S，A，B三点共线时，SB－SA取得最大值．
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【自主解答】
1．(2018·广西中考)如图，抛物线y＝ax2－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
(3)试求出AM＋AN的最小值．
类型二 图形面积问题
(2018·菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
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【分析】 (1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式；
(2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；
(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【自主解答】
2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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类型三 抛物线上架构的三角形问题
(2018·怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在数轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】 (1)设交点式y＝a(x＋1)(x－3)，展开得到－2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C(0，3)，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1，4)，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于点M，利用两点之间线段最短可判断此时MB＋MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
(3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线PC的解析式，当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
②因为△ACM是以AC为底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分类讨论点M在x轴、y轴时的两种情况，进而求出点M的坐标即可．
【自主解答】
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是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(直角三角形)的问题：首先弄清题意(如等腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．
3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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类型四 抛物线上架构的四边形问题
(2018·齐齐哈尔中考)综合与探究
如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；
(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为 ；
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式；
(2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；
(3)①由已知，注意相似三角形的分类讨论．
②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．
【自主解答】
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解答存在性问题的一般思路
解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．
4．(2017·天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
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参考答案
类型一
【例1】 (1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.
∵该抛物线经过点(4，1)，
∴1＝4a，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1.
(2)存在．
联立解得或
∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4，1)．
设点M的坐标为(0，m)，
∴MA2＝(0－1)2＋(m－)2，
MB2＝(0－4)2＋(m－1)2.
∵点M到A，B的距离相等，
∴MA2＝MB2，
即(0－1)2＋(m－)2＝(0－4)2＋(m－1)2，
∴m＝，∴点M的坐标为(0，)．
(3)存在．
如图，作点B关于直线l的对称点B′，连接
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AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．
∵点B(4，1)，直线l为y＝－1，
∴点B′的坐标为(4，－3)．
设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(1，)，B′(4，－3)代入y＝kx＋b得
解得
∴直线AB′的解析式为y＝－x＋.
当y＝－1时，有－x＋＝－1，
解得x＝，
∴点P的坐标为(，－1)．
(4)存在．
点S和点A，B在同一条直线上时，SB－SA最大．
∵点S在直线l上，
∴设点S的坐标为(n，－1)，代入y＝x得n＝－4，
∴点S的坐标为(－4，－1)．
变式训练
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1．解：(1)把A(－3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－5ax＋c得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.
∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B(3，0)．
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x＝3时，y＝－×9＋×3＋4＝5，
∴D点坐标为(3，5)．
(2)在Rt△OBC中，BC＝＝＝5.
设M(0，m)，则BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1.
∵∠MCN＝∠OCB，
∴当＝时，△CMN∽△COB，
则∠CMN＝∠COB＝90°，
即＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)．
当＝时，△CMN∽△CBO，
则∠CNM＝∠COB＝90°，
即＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)．
综上所述，M点的坐标为(0，)或(0，)．
(3)如图，连接DN，AD.
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∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO.
∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC.
∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM＝DN，
∴AM＋AN＝DN＋AN，
而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，N，D共线时取等号)，
∵AD＝＝，
∴AM＋AN的最小值为.
类型二
【例2】 (1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5经过点B(－5，0)和点C(1，0)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x－5.
(2)∵抛物线y＝x2＋4x－5交y轴于点A，
∴A点坐标为(0，－5)．
又∵点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标为5.
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如图，过点E作EF⊥DA，交DA的延长线于点F，
∴EF＝5＋|－5|＝10.
设点D的坐标为(a，－5)，
∴a2＋4a－5＝－5，
∴a1＝0，a2＝－4，
∴点D的坐标为(－4，－5)，
∴AD＝|－4|＝4，
∴S△ADE＝AD·EF＝×4×10＝20.
(3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，且该直线经过点B(－5，0)和点A(0，－5)，
∴解得
∴直线AB的解析式为y＝－x－5.
如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，交直线AB于点M.
设P(x，x2＋4x－5)，则M(x，－x－5)，
∴S△ABP＝S△PMB＋S△PMA
＝[(－x－5)－(x2＋4x－5)]×5
＝－(x2＋5x)＝－(x＋)2＋，
∴当x＝－时，S△ABP最大，最大值为.
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将x＝－代入y＝x2＋4x－5得y＝－，
∴P点的坐标为(－，－)．
变式训练
2．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1.
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0.
∴C(－6，1)．
设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，
由解得
则直线AB的解析式是y＝－x＋1.
设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)，EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m.
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF
＝AC·(EF＋PF)＝AC·PE
＝×6×(－m2－3m)
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＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.
又∵－6＜m＜0，
则当m＝－时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P的坐标是(－，－)．
(3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)，此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，
则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°.
同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，如图△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.
可求AB＝9，AC＝6，CP＝3，
①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)，
由＝，得＝，解得t1＝－4.
②当△CQ2P∽△ABC，设Q2(t2，1)，
由＝，得＝，解得t2＝3.
综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)或Q2(3，1)．
类型三
【例3】 (1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
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即y＝ax2－2ax－3a，
∴－2a＝2，解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0，3)．
设直线AC的解析式为y＝px＋q，
把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1，4)．
如图，作B点关于y轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y轴于M.
∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小．
∵BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小．
易得直线DB′的解析式为y＝x＋3.
当x＝0时，y＝x＋3＝3，∴点M的坐标为(0，3)．
(3)①存在．
如图，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P.
∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，∴直线PC的解析式可设为
y＝－x＋b，
把C(0，3)代入得b＝3，
∴直线PC的解析式为y＝－x＋3.
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解方程组得或
则此时P点坐标为(，)．
如图，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P′，
直线P′A的解析式可设为
y＝－x＋b1，
把A(－1，0)代入得＋b1＝0，解得b1＝－，
∴直线PC的解析式为y＝－x－.
解方程组得或
则此时P′点坐标为(，－)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．
②存在．
当点M在x轴上时，设点M的坐标为(n，0)，
∵MA2＝MB2，即[n－(－1)]2＝n2＋(0－3)2，
∴n＝4，∴此时点M的坐标为(4，0)．
当点M在y轴上时，设点M的坐标为(0，a)，
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∵MA2＝MB2，即[0－(－1)]2＋(a－0)2＝(3－a)2，
∴a＝，∴此时点M的坐标为(0，)．
综上所述，符合条件的点M的坐标为(4，0)或(0，)．
变式训练
3．解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.
∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.
又∵tan∠ABC＝2，
∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．
把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得
解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.
如图，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)，
则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，
由PE＝DE得－m2－m＋2＝
(－2m＋2)，
解得m＝±1.
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又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)．
②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，
设M(－1，y)，
∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，
BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.
分三种情况：
(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，
∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，
∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；
(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，
∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，
∴M(－1，－1)．
(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，
∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．
综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．
类型四
【例4】 (1)将A(－4，0)代入y＝x＋c得c＝4，
将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c得b＝－3，
∴抛物线解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)
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如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小．
∵抛物线对称轴直线x＝－，∴CC′＝3.
由勾股定理可得OC′＝5，
∴CE＋OE的最小值为5.
(3)①当△CNP∽△AMP时，
∠CNP＝90°，则NC关于抛物线对称轴对称，
∴NC＝NP＝3，
∴△CPN的面积为.
当△CNP∽△MAP时，
由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP＝90°.
如图，过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为(a，0)，
∴EP＝EC＝－a，
则N为(a，－a2－3a＋4)，MP＝－a2－3a＋4－(－2a)＝－a2－a＋4，
∴P(a，－a2－a＋4)，
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代入y＝x＋4，
解得a＝－2或a＝0(舍)，
则N(－2，6)，P(－2，2)，故PN＝4.
又∵EC＝－a＝2，
∴△CPN的面积为4.
故答案为或4.
②存在．设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，－a2－3a＋4)，则P点坐标为(a，)，
把点P坐标代入y＝x＋4，
解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1.
当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D(，)；
当PM＝PF时，由菱形性质得点D坐标为(－1＋，)或(－1－，－)；
当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为(－4，3)．
变式训练
4．解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，
对称轴为直线x＝＝1.
(2)∵直线l为y＝kx＋b且过A(－1，0)，
∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直线l为y＝kx＋k.
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2－2ax－3a＝kx＋k，
即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0.
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∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，
∴－3－＝－1×4，∴k＝a，
∴直线l的函数解析式为y＝ax＋a.
(3)
图1
如图1，过点E作EF∥y轴交直线l于点F.
设E(x，ax2－2ax－3a)，
则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－ax－a＝ax2－3ax－4a，
∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a，
∴△ACE的面积的最大值为－a.
∵△ACE的面积的最大值为，
∴－a＝，
解得a＝－.
(4)以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形．
令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
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设P(1，m)，
如图2，①若AD是矩形ADPQ的一条边，
图2
则易得Q(－4，21a)，
m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)．
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2＋PD2＝AP2，
∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2，
即a2＝.
∵a＜0，∴a＝－，
∴P(1，－)．
②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
图3
则易得Q(2，－3a)，
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m＝5a－(－3a)＝8a，
则P(1，8a)．
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2＋PD2＝AD2，
∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，
即a2＝.
∵a＜0，∴a＝－，∴P(1，－4)．
综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P坐标为(1，－)或(1，－4)．
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