人教A版数学必修5同步辅导与检测第二章2.3第2课时等差数列的前n项和(习题课).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第二章 数列 ‎2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为(　　)‎ A．30 B．‎31 C．32 D．33‎ 解析：中间项为an＋1.‎ S奇＝·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.‎ S偶＝·n＝n·an＋1＝480.‎ 所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.‎ 答案：C ‎2．等差数列{an}的公差d＝且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为(　　)‎ A．52.5 B．‎72.5 C．60 D．85‎ 解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.‎ 答案：C ‎3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为(　　)‎ A. B. C. D. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.‎ 所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.‎ 所以＝.‎ 答案：A ‎4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　)‎ A．15 B．‎35 C．66 D．100‎ 解析：易得an＝ ‎|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，‎ 令an>0则2n－5>0，所以n≥3.‎ 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|‎ ‎＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10‎ ‎＝2＋(S10－S2)‎ ‎＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]‎ ‎＝66.‎ 答案：C ‎5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于(　　)‎ A．1 113 B．4 ‎641 C．5 082 D．53 361‎ 解析：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4 641.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．已知数列{an}满足a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝n2，‎ 则数列{an}的通项公式为________．‎ 解析：a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝n2，‎ 当n≥2时，a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋(n－1)·an－1＝(n－1)2，‎ 所以nan＝2n－1，所以an＝.‎ 当n＝1时，a1＝1，符合上式，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝.‎ 答案：an＝ ‎7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．‎ 解析：由 解得 所以a5＝a1＋4d＝0，‎ 所以S4＝S5同时最大．‎ 所以n＝4或5.‎ 答案：4或5‎ ‎8．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________．‎ 解析：＝＝＝×＝.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 答案：3∶2‎ 三、解答题 ‎9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.‎ ‎(1)求公差d的范围；‎ ‎(2)问前几项的和最大，并说明理由．‎ 解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，‎ 因为S12＞0，S13＜0，‎ 所以即 所以－＜d＜－3.‎ ‎(2)因为S12＞0，S13＜0，‎ 所以所以 所以a6＞0，又由(1)知d＜0.‎ 所以数列前6项为正，从第7项起为负．‎ 所以数列前6项和最大．‎ ‎10．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．‎ 解：因为an＝Sn－Sn－1，‎ 所以Sn－Sn－1＝，‎ 即(Sn－Sn－1)(2Sn－1)＝2S，‎ 即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，‎ 即－＝2，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以为等差数列，且＝＝1，‎ 所以＝1＋2(n－1)，即Sn＝.‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝－＝(n≥2)，‎ 又a1＝1≠，‎ 所以an＝ B级　能力提升 ‎1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 解析： am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，‎ 由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5.‎ 答案：C ‎2．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．‎ 解析：由条件可知数列单调递减，故知 a2 003＞0，a2 004＜0，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 故S4 006＝＝2 003·(a2 003＋a2 004)＞0，‎ S4 007＝＝4 007×a2 004＜0，‎ 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 006.‎ 答案：4 006‎ ‎3．数列{an}的各项都为正数，且满足Sn＝(n∈N*)，求数列的通项公式an.‎ 解：法一(消Sn)：由Sn＝(n∈N*)，‎ 得4an＋1＝4(Sn＋1－Sn)＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2‎ 化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，‎ 因为an＞0，所以an＋1－an＝2，‎ 又4S1＝‎4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，‎ 故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以an＝2n－1.‎ 法二(消an)：由上可知2＝an＋1，‎ 所以2＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，‎ 化简可得(－1)2＝Sn－1，‎ ‎(＋－1)(－－1)＝0，‎ 又S1＝1，{an}的各项都为正数，‎ 所以－＝1.‎ 所以＝n，从而Sn＝n2，‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1也适合，‎ 故an＝2n－1.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎