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珠海市2019～2020学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三文科数学试题和答案 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）‎ ‎1．已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C.‎ 解析： .则.‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C.‎ 解析：，所以. ‎ ‎3．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B.‎ 解析：为真命题；命题是假命题，比如当或者取时，则 不成立.‎ ‎4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取 A．10名学生 B．11名学生 C．12名学生 D．无法确定 ‎【答案】A.‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 解析：得. ‎ ‎5．已知的内角的对边分别为，，则一定为 A．等腰三角形　　　B．钝角三角形　　　C．锐角三角形　　　D．等腰直角三角形 ‎【答案】A.‎ 解析：由结合正弦定理得，,从而.‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了 A．24里 B．6里 C．18里 D．12里 ‎【答案】C.‎ 解析：设第六天走了里，则第五天走了里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为：，解得，可知.‎ ‎7．已知满足，，,则在上的投影为 A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A.‎ 解析：在上的投影为.‎ ‎8．双曲线：的两条渐近线与圆相切，则的离心率为 A．　　　　 B．　　 　　C．　　 　　D．‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 ‎【答案】A.‎ 分析：数形结合可得，，，所以选A.‎ ‎9．函数在区间附近的图象大致形状是 ‎ ‎ A B C D ‎ ‎【答案】B.‎ 解析：过点，可排除选项A，D.又，排除C.‎ ‎10．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ 解析：，由幂函数为上的增函数可知 又由指数函数为上的增函数可知，所以.‎ ‎11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是 A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 ‎【答案】B.‎ 解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 第一种方案的均价：；‎ 第二种方案的均价：. ‎ 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．‎ 本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油，价格高时少加油.‎ ‎12．已知函数，若，则的取值范围是 A．　　 　B．　　 　C．　　　D．‎ ‎【答案】C.‎ 解析：法一：不妨设，由题意可知，函数的图象与直线有两个交点，其中，由，即，解得，‎ 由，即，解得，‎ 记，其中，，‎ ‎∴当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增.‎ 所以函数的最小值为：；而，，∴，即.‎ 法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 最小值，而最大值为（取得到）或（取不到）时.‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数的图象在点处切线方程为 ．‎ ‎【答案】.‎ 解析：，则，又，则切线方程为 14． 若，则___________．‎ ‎【答案】.‎ 解析：. ‎ 15． 函数在区间的最小值为___________．‎ ‎【答案】.‎ 解析：，则，，可知的最小值 为.‎ 16． 在半径为的球内有一个内三棱锥，点都在球面上，且是边长为的等边三角形，那么三棱锥体积的最大值为_________．‎ ‎【答案】.‎ 解析：如图：.‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 在中，.‎ 三棱锥体积的最大时，最长的高为.‎ ‎.‎ 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数．‎ ‎（1）求以及数列、的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）数列为正项等差数列，公差，‎ ‎，又，‎ ‎，，可得，即可得；‎ ‎①‎ 当时，，‎ 当时，②‎ ‎①②即可得，，又为等比数列，‎ ‎，即可得，，；‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 ‎（2）由题意得，‎ ‎，③‎ ‎，④‎ ‎③④可得：．‎ ‎．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：‎ 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：‎ 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 ‎40岁以下 ‎600‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 ‎40岁以上 ‎800‎ ‎1000‎ 总计 ‎1200‎ ‎（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；‎ ‎（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解：（1）‎ 该款手机的平均使用时间为7.76年.‎ ‎（2）‎ 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 ‎40岁以下 ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎40岁以上 ‎800‎ ‎200‎ ‎1000‎ 总计 ‎1200‎ ‎800‎ ‎2000‎ 可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形，点为线段的中点．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）当时，求点到平面的距离．‎ 解：（1）取的中点，连接、，‎ 由题意可知：‎ ‎.‎ 为正三角形 ‎.‎ 又，，面，‎ 面.‎ 面，‎ ‎.‎ （2） 由题意可知，且，‎ ‎，且，‎ ‎.‎ 又，‎ ‎.‎ 由（1）知，且，面，‎ 面，‎ 三棱锥的体积为，‎ 设点到平面的距离为，‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 则，‎ 得.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，求当取何值时，的面积最大．‎ 解：（1）由题意可设椭圆的方程为，代入、两点得 ‎ 解得，得椭圆.‎ ‎（2）将直线代入得：.‎ 整理得：.‎ 得.‎ 由韦达定理得，.‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 ‎.‎ 由二次函数可知当即时，的面积的最大．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中为常数．‎ ‎（1）若函数在上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ 解：（1）求导得，，‎ ①当在上为单调递减函数时，即恒成立，‎ 又，，．‎ ②当在上为单调递增函数时，即恒成立，‎ 又，，；‎ 综上所述：在上为单调递减函数时，；‎ 在上为单调递增函数时，．‎ ‎（2）证明：要证，只需证恒成立，‎ 令，，则，‎ 令，，则.‎ 易证当时，.‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 ‎，即在上递减，‎ ‎，即，在上递减，‎ 即，命题得证．‎ ‎（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：为参数）．‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ 解：（1）直线的极坐标方程为：，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎（2）根据曲线的参数方程为：为参数）．‎ 得：.‎ 它表示一个以为圆心，以2为半径的圆，‎ 圆心到直线的距离为：，‎ 曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页 ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）当时，不等式化为，得即 当时，不等式化为，成立，即 当时，不等式化为，得即 综上所述：所求不等式的解集为. ‎ ‎（2）‎ 若恒成立，则. ‎ 解得.‎ 高三文科数学 第 13 页 共 13 页