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高三文科数学 第 1 页 共 10 页 珠海市 2019～2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三文科数学试题和答案 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项．） 1．已知集合    2 4 1,0,1,2,3A x x B   ， ，则 A B  A． 0,1,2 B． 0,1 C． 1,0,1 D． 2, 1,0,1,2  【答案】C. 解析：    2 1,0,1,2,3A x x B     ，2 .则 A B   1,0,1 . 2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 1 2 1i iz    ，则 z  A． 5 2 B． 3 2 2 C． 10 2 D． 3 【答案】C. 解析：   1 2 11 2 1 3 1 2 2 i ii iz i       ，所以 10| | 2z  . 3．已知命题 p ：任意 4x  ，都有 2log 2x  ；命题 q ： ba  ，则有 22 ba  ．则下列命题 为真命题的是 A． qp  B． )( qp  C． )()( qp  D． qp  )( 【答案】B. 解析： p 为真命题；命题 q 是假命题，比如当 ba 0 或者取 =1 2a b  ， 时，则 22 ba  不成立. 4．某学校有 800 名新生，其中有 500 名男生，300 名女生．为了了解学生的身体素质，现 用分层抽样的方法从中抽取 16 人进行检查，则应从男生中抽取 A．10 名学生 B．11 名学生 C．12 名学生 D．无法确定 【答案】A. 解析： 500 16 800 n 男 得 10n 男 . 5．已知 ABC 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ， sin sina A b B ，则 ABC 一 定为 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A. 解析：由 sin sin Ba A b 结合正弦定理得， 2 2a b ,从而 a b .高三文科数学 第 2 页 共 10 页 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一 个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走 了 6 天后到达目的地．”问此人第 5 天和第 6 天共走了 A．24 里 B．6 里 C．18 里 D．12 里 【答案】C. 解析：设第六天走了 a 里，则第五天走了 2a 里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路 程之和为： 6(1 2 ) 3781 2 a  － ，解得 6a  ，可知 2 18a a  . 7．已知 ba ， 满足 32a ， 3b ， 6a b   ,则 a 在b  上的投影为 A． 2 B． 1 C． 3 D．2 【答案】A. 解析： a 在b  上的投影为 23 6cos  b baa    . 8．双曲线C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线与圆 2 2( 2) 1x y   相切，则C的离心 率为 A． 2 3 3 B． 3 C． 2 D． 2 【答案】A. 分析：数形结合可得， 3tan30 3 b a   ， 2 2 2 1 2 31 ( ) 1 3 3 c a b be a a a        ， 所以选 A. 9．函数 2 2( ) 11 x f x x   在区间[ 4,4] 附近的图象大致形状是 A B C D 【答案】B. 解析： 2 2( ) 11 x f x x   过点 1 0， ，可排除选项 A，D.又  2 0f  ，排除 C.高三文科数学 第 3 页 共 10 页 10．已知 3 0.2 0.3log 0.3, 0.3 , 0.2a b c   ，则 A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． b c a  【答案】B. 解析： 3log 0.3 0a   ，由幂函数 0.2y x 为 0, 上的增函数可知 0.20.20 0.2.3  又由指数函数 0.2xy  为 R 上的增函数可知 0.30.2 00 .2.2 0  ，所以 a c b  . 11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有 升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 30 升的燃油；第二种方案， 每次加 200 元的燃油，则下列说法正确的是 A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B. 解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为 m 元/升，第二次的油价为 n 元/升． 第一种方案的均价： mnnmnm  260 3030 ； 第二种方案的均价： mnnm mn nm   2 200200 400 . 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于 价格便宜时多加油，价格高时少加油. 12．已知函数 ln , 1 ( ) 1 1, 12 x x f x x x     ，若 ( ) ( )f m f n ，则 n m 的取值范围是 A． ,3e B． 4 2ln2,3 C． 3 24 2ln2, 1e      － D． 2 2ln 2,3 【答案】C. 解析：法一：不妨设 ( ) ( )f m f n t  ，由题意可知，函数 ( )y f x 的图象与直线 y t 有两 个交点，其中 30 2t  ，由 ( )f m t ，即 1 12 m t  ，解得 2 2m t  ， 由 ( )f n t ，即 ln n t ，解得 tn e ， 记 ( ) 2 2tg t n m e t     ，其中 30 2t  ， ( ) 2tg t e   ， ∴当 0 ln 2t  时， ( ) 0g t  ，函数 ( )g t 单调递减； 当 3ln 2 2t  时， ( ) 0g t  ，函数 ( )g t 单调递增. 所以函数 ( )g t 的最小值为： ln 2(ln 2) e 2ln 2 2 4 2ln 2g      ；而 0(0) e 2 3g    ，高三文科数学 第 4 页 共 10 页 3 23( ) e 1 32g    ，∴ 3 24 2ln 2 ( ) e 1g t    ，即 3 24 2ln 2 e 1n m     . 法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得 n m 最小值， 而 n m 最大值为 0y  （取得到）或 3 2y  （取不到）时. 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．函数 2ln)( xxxf  的图象在点 1, (1)f 处切线方程为 ． 【答案】 3 2y x  . 解析： xxxf 21)(  ，则 3)1( f ，又 1)1( f ，则切线方程为 23  xy 14．若 3 2)15sin(   ，则  )105cos(  ___________． 【答案】 2 3  . 解析： 3 2)15sin()9015cos()105cos(    . 15．函数 π( ) sin(2 )3f x x  在区间[0, ]4  的最小值为___________． 【答案】 1 2 . 解析： 0, 4x      ，则 52 ,3 3 6x         ， 1sin 2 ,13 2x        （ ） ，可知 ( )f x 的最小值 为 5π 1( ) sin 6 2f x      . 16．在半径为 2 的球内有一个内三棱锥 P ABC ，点 , , ,P A B C 都在球面上，且 ABC 是 边长为3 的等边三角形，那么三棱锥 P ABC 体积的最大值为_________． 【答案】 9 3 4 . 解析：如图： 2 3 3 33 2CD     . 在 OCD 中， 2 2 1OD OC CD   . 三棱锥 P ABC 体积的最大时，最长的高为 3OD OP  .高三文科数学 第 5 页 共 10 页 1 1 3 9 33 3 33 2 2 4P ABCV         . 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17〜21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题 17．（本小题满分 12 分） 已知正项等差数列{ }na 满足 2 5 9a a  ， 3 4 20a a  ，等比数列{ }nb 的前 n 项和 nS 满足 2n nS c  ，其中 c 是常数． （1）求 c 以及数列{ }na 、{ }nb 的通项公式； （2）设 n n nc a b ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ． 解：（1）数列{ }na 为正项等差数列，公差 0d  ， 2 5 3 4 9a a a a    ，又 3 4 20a a  ， 3 4a  ， 4 5a  ，可得 1d  ，即可得 1na n  ； 2n nS c   ① 当 1n  时， 1 2b c  ， 当 2n… 时， 1 1 2n nS c    ② ①  ②即可得 12n nb  ， 2n… ，又 { }nb 为等比数列， 0 1 2 1 2b c     ，即可得 1c  ， 12n nb   ， *n N ； （2）由题意得 1( 1)2n nc n   ， 0 1 12 2 3 2 ( 1) 2n nT n       ， ③ 1 12 2 2 2 ( 1) 2n n nT n n      ， ④ ③  ④可得： 1 1 2 1 2(1 2 )2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 21 2 n n n n n nT n n n                  ． 2n nT n   ．高三文科数学 第 6 页 共 10 页 18．（本小题满分 12 分） 为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计 如下图所示： 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示： 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 600 40 岁以上 800 1000 总计 1200 （1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间； （2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有 99．9％的把握认为“愿意 购买该款手机”与“市民的年龄”有关． 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 参考数据： 2 0( )P K k… 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 解：（1） 4 0.05 2 4 0.09 6 4 0.07 10 4 0.03 14 4 0.01 18 7.76              ＝ 该款手机的平均使用时间为 7.76 年. （2） 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 400 600 1000 40 岁以上 800 200 1000 总计 1200 800 2000高三文科数学 第 7 页 共 10 页  2 2 2000 400 200 600 800 333.3 10.8281200 800 1000 1000K        可知有 99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关． 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， / /AB CD ， AB BC ， 2 2 2AB BC CD   ， SAD 为正三角形，点 M 为线段 AB 的中点． （1）证明 SM AD ； （2）当 1SM  时，求点 B 到平面 SAD 的距离． 解：（1）取 AD 的中点 P ，连接 SP 、 MP ， 由题意可知： 1AM DM   MP AD .  SAD 为正三角形 SP AD  . 又 SP MP P ， SP ， MP  面 SMP ， AD  面 SMP . SM  面 SMP ， SM AD  . （2）由题意可知 DM AB ，且 1AM DM  ， 2AD  ，且 1AM  ， 2SA  . 又 1SM AM  ， SM AM  . 由（1）知 SM AD  ，且 AD AM A ＝ ， AD AM ， 面 ABCD ， SM  面 ABCD ， 三棱锥 S ABD－ 的体积为 1 1 3 3S ABD ABDV S SM － ， 设点 B 到平面 SAD 的距离为 h ， 则 1 1 3 1 3 3 2 3B SAD SADV S h h  － ， 得 2 3 3h  .高三文科数学 第 8 页 共 10 页 20．（本小题满分 12 分） 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过 (0, 1)A  、 1( 3, )2B 两点， （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线 1: ,( 0)2l y x m m   与椭圆C 交于 P ，Q 两点，求当 m 取何值时， OPQ 的面积最大． 解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1x y m n   ，代入  0, 1A  、 13, 2B     两点得  22 2 2 2 2 2 2 10 1 1 3 2 1 m n m n            解得 2 1n  ， 2 4m  得椭圆 :C 2 2 14 x y  . （2）将直线 1: ,( 0)2l y x m m   代入 2 2 14 x y  得： 2 2 14 42x x m      . 整理得： 2 22 2 2 0x mx m    .    2 2 22 4 2 2 8 4 0m m m       得 2 2m   . 由韦达定理得 1 2 2x x m   ， 2 1 2 2 2x x m － .    2 2 2 2 1 2 1 2 1 24 4 4 2 2 8 4x x x x x x m m m         2 4 2 1 2 1 2 22OPQS m x x m m m m        . 由二次函数可知当 2 1m  即 1m  时， OPQ 的面积的最大． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) sinf x ax x  ， [0, ]2x  ，其中 a 为常数． （1）若函数 ( )f x 在[0, ]2  上是单调函数，求 a 的取值范围； （2）当 1a  时，证明： 31( ) 6f x x ． 解：（1）求导得 ( ) cosf x a x   ， [0, ]2x  ，高三文科数学 第 9 页 共 10 页 ①当 ( )f x 在[0, ]2  上为单调递减函数时，即 ( ) cos 0f x a x   „ 恒成立， 又 cos [0x ，1]， (cos ) 0mina x „ ． ②当 ( )f x 在[0, ]2  上为单调递增函数时，即 ( ) cos 0f x a x   … 恒成立， 又 cos [0x ，1]， (cos ) 1maxa x … ； 综上所述： ( )f x 在[0, ]2  上为单调递减函数时， 0a„ ； ( )f x 在[0, ]2  上为单调递增函数时， 1a… ． （2）证明：要证 31( ) 6f x x„ ，只需证 31sin 06ax x x  „ 恒成立， 令 31( ) sin 6g x ax x x   ， [0, ]2x  ，则 21( ) cos 2g x a x x    ， 令 21( ) cos 2h x a x x   ， [0, ]2x  ，则 ( ) sinh x x x   . 易证当 [0, ]2x  时， sin x x„ . ( ) 0h x  ，即 ( )h x 在[0, ]2  上递减， ( ) (0) 1 0h x h a  „ „ ，即 ( ) 0g x „ ， ( )g x 在[0, ]2  上递减， ( ) (0) 0g x g „ 即 31sin 06ax x x  „ ，命题得证． （二）选考题 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分） 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，直线 l 的极坐标 方程为： 1sin( )6 2     ，曲线C 的参数方程为： 2 2cos (2sin x y       为参数）． （1）写出直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值． 解：（1）直线 l 的极坐标方程为： 1sin( )6 2     ， 3 1 1( sin cos )2 2 2      ，  3 1 1 2 2 2y x  ， 3 1 0x y    ．高三文科数学 第 10 页 共 10 页 （2）根据曲线 C 的参数方程为： 2 2cos (2sin x y       为参数）． 得： 2 2( 2) 4x y   . 它表示一个以 (2,0) 为圆心，以 2 为半径的圆， 圆心到直线的距离为： 3 2d  ， 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 3 722 2   ． 23．（本小题满分 10 分） 已知 ( ) 1 3f x x x    ． （1）解关于 x 的不等式 ( ) 4f x  ； （2）若 2( )f x m m  恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：（1）当 3x  时，不等式   4f x  化为 2 4 4x   ，得 4x  即3 4x  当1 3x  时，不等式   4f x  化为 2 4 ，成立，即1 3x  当 1x  时，不等式   4f x  化为 4 2 4x  ，得 0x  即0 1x  综上所述：所求不等式的解集为 | 0 4x x  . （2）   1 3 1 3 2f x x x x x         若   2f x m m  恒成立，则 22 m m  . 解得 2 1m   . | 2 1m m  