— 高三理科数学(三)第 1 页(共 4 页) —
2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
理科数学(三)
命题人：南昌五中 尤伟峰 审题人：莲塘一中 李树森
本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答．若在试题卷上作答，答题无效．
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 2
2{ | 2 0}, { | log 0}A x x x B x x ，则( )UC A B
A.(0,1) B. 0,1 C. (1,2) D. 1,2
2.已知 a R ， i 是虚数单位，若 3 iz a ，
_
4z z ，则 a
A.1或 1 B. 15 C. 15
D. 3 或 3
3.抛物线 22y x 的通径长为
A. 4
B. 2
C.1
D. 1
2
4.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据
四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形
是
5.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如上图，将 1，2，…，9 填入3 3 的
方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15.一般地，将连续的正整数
21,2,3, ,n 填入 n n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方
形叫做 n 阶幻方.记 ( 3)n n 阶幻方的对角线上的数字之和为 nN ，如图三阶幻方的 3 15N ，那么
8N 的值为
A. 260
B.369
C. 400
D. 420
6.根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
得到的回归方程为 y bx a
，则 — 高三理科数学(三)第 2 页(共 4 页) —
A. 0a ， 0b B. 0a ， 0b C. 0a ， 0b D. 0a ， 0b
7.设 na 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前3n 项和分别为 2 3, ,n n nS S S ，则下列等
式中恒成立的是
A. 3 22n n nS S S B. 2 2 3 3n n n n n nS S S S S S
C. 2
2 3n n nS S S D. 2 2 3n n n n n nS S S S S S
8.设 2020
1
20202019 2019,2019log,2020log cba ，则 cba ,, 的大小关系是
A. cba B. bca
C. bac
D. abc
9.已知函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x x 的最小正周期是 π ，将函数 ( )f x 图象向左平
移 π
3
个单位长度后所得的函数图象过点 (0,1)P ，则下列结论中正确的是
A. ( )f x 的最大值为 2 B. ( )f x 在区间 π π( , )6 3 上单调递增
C. ( )f x 的图像关于直线 π
12x 对称 D. ( )f x 的图像关于点 π( ,0)3
对称
10.过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 作平面 ，使得正方体的各棱与平面 所成的角都相等，
则满足条件的平面 的个数为
A.1
B.3
C. 4
D.6
11.椭圆与双曲线共焦点 1 2,F F ，它们在第一象限的交点为 P ，设 1 2 2F PF ，椭圆与双曲线
的离心率分别为 1 2,e e ，则
A．
2 2
2 2
1 2
cos sin 1e e
B．
2 2
2 2
1 2
sin cos 1e e
C．
2 2
1 2
2 2 1cos sin
e e
D．
2 2
1 2
2 2 1sin cos
e e
12.已知 正方形 ABCD 的边 长为 1 ， M 为 ABC 内一 点，满足 010 ,MDB MBC 则
MAD
A. o45 B. o50 C. o60 D. o70
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.
13. 62 3 2x x 展开式中 x 的系数为 ．
14.设实数 ,x y 满足不等式
2
1
1
y
x y
x y
，当 3z x y 取得最小值时，直线 3z x y 与以 (1,1) 为
圆心的圆相切，则圆的面积为 ．
15.已知等差数列{ }na 的公差 (0, π)d ， 1
π .2a 则使得集合 sin ,nM x x a n N 恰好有
两个元素的 d 的值为 ．
16.已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，当每个 ( 1,2,3,4,5,6)i i 取遍 时， 1 2 3| AB BC CD
4 5 6 |DA AC BD 的最大值为 ． — 高三理科数学(三)第 3 页(共 4 页) —
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必做部分
17．（本小题满分 12 分）已知 A B、 分别在射线CM CN、 （不含端点C ）上运动， 2 π,3MCN
在 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别是 , ,a b c ．
（Ⅰ）若 , ,a b c 依次成等差数列，且公差为 2．求c 的值；
（Ⅱ）若 3c ， ABC ，试用 表示 ABC 的周长，并求周长的最大值．
18．（本小题满分 12 分）如图，已知斜三棱柱 1 1 1ABC A B C ，平面 1 1A ACC 平面
ABC , 90ABC ， 1 130 , 2 3, ,BAC A A AC AC E F
分别是 1 1,AC A B 的中点．
（Ⅰ）证明： EF BC ；
（Ⅱ）求平面 1 1 1A B C 与平面 1A BC 所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分 12 分）已知 1,0 , 1,0 , ,A B AP AB AC | | | | 4AP AC ．
（Ⅰ）求 P 的轨迹 E ；
（Ⅱ）过轨迹 E 上任意一点 P 作圆 2 2: 3O x y 的切线 1 2,l l ，设直线 1 2, ,OP l l 的斜率分别是
0 1 2, ,k k k ，试问在三个斜率都存在且不为 0 的条件下，
0 1 2
1 1 1
k k k
是否是定值，请说明理由，
并加以证明．
20．（本小题满分 12 分）已知函数
2 4 2( ) ex
x xf x ．
（Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的 ( 2,0],x 不等式 2 ( 1) ( )m x f x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
— 高三理科数学(三)第 4 页(共 4 页) —
21. （本小题满分 12 分）2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准
脱贫攻坚战.江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展；2019—2020 年，稳定实现扶贫对象“两不愁、
三保障”，贫困县全部退出.围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条
件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战.为响应国家政策，老张自力更生开了一间小
型杂货店.据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量 ( )m m N 在 17 与 26 之间，日
需求量 m （件）的频率 ( )P m 分布如下表所示：
需求量 m 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频率 ( )P m 0.12 0.18 0.23 0.13 0.10 0.08 0.05 0.04 0.04 0.03
已知其成本为每件 5 元，售价为每件 10 元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件 2 元.
（Ⅰ）设每天的进货量为 ( 16 , 1,2, 10)n nX X n n ，视日需求量 ( 16 , 1,2, 10)i iY Y i i
的频率为概率 ( 1,2, 10)iP i ，求在每天进货量为 nX 的条件下，日销售量 nZ 的期望值 ( )nE Z （用
iP 表示）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，写出 ( )nE Z 和 1( )nE Z 的关系式，并判断 nX 为何值时，日利润的均值
最大.
（二）选做部分
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 3 ,(1 ,
x t ty t
为参数) . 在以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中, 曲线 π: 2 2 cos 4C
．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 1 2 f x x a x a ．
（Ⅰ）若 1 3f ，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若 1, ,a x R 求证： 2f x ．
— 高三理科数学(三)第 5 页(共 4 页) —
M
N
θ
A
CB
2019—2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试卷
理科数学(三)参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D D A A D C B C B D
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分)
13. 576 14. 5 π2 15. 2 π3 16. 4 5
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17.【解析】（Ⅰ） , ,a b c 成等差，且公差为 2， 4a c 、 2b c . 又
2 π3MCN ，
1cos 2C ，
2 2 24 2 1
2 4 2 2
c c c
c c
， 恒等变形得 2 9 14 0c c ，解得 7c 或
2c .又 4c ， 7.c
（Ⅱ）在 ABC 中，
sin sin sin
AC BC AB
ABC BAC ACB
，
3 22ππsin sinsin 33
AC BC
，
2sinAC ， π2sin 3BC
.
ABC 的周长 f AC BC AB π2sin 2sin 33
1 32 sin cos 32 2
π2sin 33
，又
π0, 3
， π π 2π
3 3 3 ,
当 π π
3 2 即 π
6 时， f 取得最大值 2 3 ．
18.【解析】(Ⅰ)如图所示，连结 1 1,A E B E ，等边 1AAC 中，AE EC ， 3sin 0 sin 2B A ， ，
平面 ABC 平面 1 1A ACC ，且平面 ABC 平面 1 1A ACC AC ，由面面垂直的性质定理可得：
1A E 平面 ABC ，故 1A E BC⊥ ，由三棱柱的性质可知 1 1A B AB∥ ， — 高三理科数学(三)第 6 页(共 4 页) —
而 AB BC ，故 1 1A B BC ，且 1 1 1 1A B A E A ，
由线面垂直的判定定理可得： BC 平面 1 1A B E ，
结合 EF ⊆平面 1 1A B E ，故 EF BC .
（Ⅱ）在底面 ABC 内作 EH⊥AC，以点 E 为坐标原点，
1EH EC EA、 、 方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直
角坐标系 E xyz . 1 1 2 3AA CA , 3, 3BC AB ，
据此可得： 1
3 30, 3,0 , , ,0 , 0,0,3 , 0, 3,02 2A B A C
，设平面 1A BC 的法向量为
, ,m x y z ，则：
1
3 3 3 3, , , , 3 3 02 2 2 2
3 3 3 3, , , ,0 02 2 2 2
m A B x y z x y z
m BC x y z x y
，
据此可得平面 1A BC 的一个法向量为 1, 3,1m ，
由 1A E 平面 ABC ，
可得平面 ABC 的一个法向量为 1 0,0, 3A E ，此时 1
3 5cos , 55 3
A E m
.
故平面 ABC 与平面 1A BC 所成的锐二面角的余弦值为 5
5 .
19.【解析】(Ⅰ)方法一：
如图因为 AP AB AC 所以四边形 ACPB 是平行四边形
所以 BP AC ，由 4AP AC 得 4AP BP
所以 P 的轨迹是以 ,A B 为焦点的椭圆易知 2 4a
1c ,所以方程为
2 2
14 3
x y .
方法二：设 ,P x y 由 AP AB AC 得 1,AC AP AB BP x y
再 4AP AC 得 2 22 21 1 4x y x y
移项 2 22 21 4 1x y x y 平方化简得：
2 2
14 3
x y
（从 2 22 21 1 4x y x y 发现是椭圆方程也可以直接得 2 4a , 1c ）
（Ⅱ）设 0 0,P x y ，过 P 的斜率为 k 的直线为 0 0y y k x x ，由直线与圆O 相切可得
0
2
3
1
y kx
k
即： 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k x y k y — 高三理科数学(三)第 7 页(共 4 页) —
由已知可知 1 2,k k 是方程（关于 k ） 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k x y k y 的两个根，
所以由韦达定理：
0 0
1 2 2
0
2
0
1 2 2
0
2
3
3
3
x yk k x
yk k x
两式相除： 0 01 2
2
1 2 0
2
3
x yk k
k k y
,
又因为
2 2
0 0 14 3
x y 所以 2 2
0 0
33 4y x ,
代入上式可得： 01 2
1 2 0
8
3
yk k
k k x
即：
0 1 2
1 1 1 8
3k k k
为定值.
20.【解析】（I）
2( 2 2)'( ) ex
x xf x ，记 2( ) 2 2g x x x
令 ( ) 0g x ，得 1 3 1 3x 函数 ( )f x 在( 1 3, 1 3) 上单调递增；
令 ( ) 0g x ，得 1 3 1 3x x 或
函数 ( )f x 在 ( , 1 3),( 1 3, ) 上单调递减；
（Ⅱ）记 2( ) 2 e ( 1) 4 2xh x m x x x ，由 (0) 0 2 2 1h m m ，
'( ) 2 e ( 2) 2 4 2( 2)( e 1)x xh x m x x x m ，
由 '( ) 0h x 得 2x 或 lnx m ,因为 ( 2,0]x ，所以 2( 2) 0x ，
①当 21 em 时， ln ( 2,0)m ，且 ( 2, ln )x m 时， '( ) 0h x ，
( ln ,0)x m 时， '( ) 0h x ，所以 min( ) ( ln ) ln (2 ln ) 0h x h m m m ，
所以 ( 2,0]x 时， ( ) 0h x 恒成立；
②当 2em 时， 2'( ) 2( 2)(e 1)xh x x ，因为 ( 2,0]x ，所以 '( ) 0h x ，
此时 ( )h x 单调递增，且 2 2( 2) 2e e ( 1) 4 8 2 0h ，
所以 ( 2,0]x 时， ( ) ( 2) 0h x h 成立；
③当 2em 时， 2( 2) 2 2 0e
mh ， (0) 2 2 0h m ，
所以存在 0 ( 2,0)x 使得 0( ) 0h x ，因此 ( ) 0h x 不恒成立．
综上， m 的取值范围是 2(1,e ] ．
21.【解析】(Ⅰ)当日需求量 nm X 时，日销售量 nZ 为 m ，当日需求量 nm X 时，日销售量 nZ
为 nX ，故日销售量 nZ 的期望值 ( )nE Z 为：
当1 9n 时，
10
1 1
( ) (16 ) (16 ) ;
n
n i i
i i n
E Z i P n P
当 10n 时，
10
10
1
( ) (16 ) i
i
E Z i P
.
（Ⅱ） — 高三理科数学(三)第 8 页(共 4 页) —
1 10 10 10
1
1 2 1 1 1
( ) (16 ) (16 1) (16 ) (16 1) ( )
n n
n i i i i n i
i i n i i n i n
E Z i P n P i P n P E Z P
设每天进货量为 nX ，日利润为 n ,
则 5 3[ 16 ] 8 3 16n n n nE E Z n E Z E Z n
1 1 1 2 108[ ] 3 8 3n n n n n nE E E Z E Z P P P .
由 1 1 2
50 .8n n nE E P P P
又 1 2 3 4 1 2 3
5 50.66 , 0.53 ,8 8P P P P P P P
4E 最大，所以应进货 20 件时，日利润均值最大.
22.【解析】（Ⅰ） 由 3
1
x t
y t
消去t 得 4 0 x y , 所以直线l 的普通方程为 4 0 x y .
由 π2 2 cos 4
π π2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin4 4
,
得 2 2 cos 2 sin . 将 2 2 2 , cos , sin x y x y 代入上式,
得曲线C 的直角坐标方程为 2 2 2 2 x y x y , 即 2 21 1 2 x y .
（Ⅱ）设曲线C 上的点为 1 2 cos ,1 2 sin P ,
则点 P 到直线l 的距离为
1 2 cos 1 2 sin 4
2
d
2 sin cos 2
2
π2sin 24 .
2
当 πsin 14
时, max 2 2d ,
所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2 .
23.【解析】（Ⅰ）因为 1 3f ，所以 1 2 3 a a .
① 当 0a 时，得 1 2 3 a a ，解得 2
3 a ，所以 2 03 a ;
② 当 10 2 a 时，得 1 2 3 a a ，解得 2 a ，所以 10 2 a ;
③ 当 1
2a 时，得 1 2 3 a a ，解得 4
3a ，所以 1 4
2 3a ;
综上所述，实数 a 的取值范围是 2 4,3 3
.
（Ⅱ）因为 1, a x R ,
所以 1 2 1 2 f x x a x a x a x a
3 1 a 3 1 a 2 .
— 高三理科数学(三)第 9 页(共 4 页) —
理科数学（三）选择填空详细解析
1.A【解析】 2 0A x x x 或 ， 0 1B x x ，故 (0,1)UC A B .故选 A.
2.A【解析】因为复数 3 i,z a 3 iz a
， 2. 3 4z z a
所以 1a ，故选 A.
3.D【解析】标准化 2 1
2x y ，通径 12 2p .
4.D【解析】从图知，不服药患病的概率高，服药患病的概率低，故选 D.
5.A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
3
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N ，
4
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16) 344N ，
5
1(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25) 655N
2 2 2
21 1 (1 ) ( 1)(1 2 3 4 5 ) 2 2n
n n n nN nn n
．
6.A【解析】画出散点图知 0, 0b a ,故选 A．
7.D【解析】由等比数列的性质得： 2 3 2, ,n n n n nS S S S S 成等比数列，
2
2 3 2n n n n nS S S S S ，化简得 2 2 3n n n n n nS S S S S S .
8.C【解析】 2
2019 2019 2019 2019
1 1 1 1log 2019 log 2020 log 2020 log 2019 12 2 2 2a
2020 2020 2020
1 1 10 log 2019 log 2019 log 2020 ;2 2 2b
1
20202019 1.c
9.B【解析】由条件知 πsin 2 6f x x
，结合图像得 B.
10.C【解析】在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，四面体 1 1A B D C 的四面与 12 条棱所成的角相等.
∴正方体的 12 条棱所在的直线所成的角均相等的平面有 4 个，故选 C.
11.B【解析】设椭圆的长轴长为 12a ，双曲线的实轴轴长为 22a ，
交点 P 到两焦点的距离分别为 , 0m n m n ，焦距为 2c ，则 22 2 2 2 2m n mncos c - ，
又 1 22 , 2m n a m n a ，故: 1 2 1 2,m a a n a a ，
2 2 2
1 21 cos 2 1 cos 2 2a a c
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
sin cos sin cos1 1a a
c c e e
.
12.D【解析】设正方形 ABCD 的边长为 1， — 高三理科数学(三)第 10 页(共 4 页) —
在 BMD 中，由正弦定理得 o
o o 2sin 35 .sin 35 sin135
DM DB DM
在 AMD 中，由余弦定理得 2 2 o o o1 4sin 35 4sin 35 cos55 1.AM
AMD 为等腰三角形，故 o70 .MAD
13.576【解析】 62 3 2x x 展开式中含 x 的项为 1 5 5
6 53 2 6 3 32 576C x C x x ，即 x 的
系数为 576.
14. 5 π2
【解析】当直线过点 1,2 时， 3z x y 取得最小值 1 ，故 3 1 1 10
210
r d ，
从而圆面积为 5 π2 .
15. 2 π3
【解析】要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 2a ， 3a 的终边关于 y 轴对称，此时 2 π3d .
16. 4 5 【解析】
1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6AB BC CD DA AC BD AB AD
2 2
1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6| | | ( ) ( ) |AB BC CD DA AC BD AB AD
2 2 2 2
1 3 5 6 2 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 64( ) 4( ) 4( ) 4( )
2 2 2 2
5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 64[(2 ) (2 ) ] 32 16( ) 4( ) 4( )
2 2 2 2 2 2 2
5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6
2 2 2 2
5 6 5 6
32 16 ( ) 8( ) 48 16 ( ) ( ) 2
48 16 2( ) 2 80
等号成立当且仅当 1 3 5 6, , 均非负或者均非正，并且 2 4 5 6, , 均非负或者均非正。
比如 1 2 3 4 5 61, 1, , 1, 1, 11 ，则
1 2 3 4 5 6 max
4 5.AB BC CD DA AC BD
微信/支付宝扫码支付