北京市丰台区2019-2020高一上学期期中考试数学（B卷）试题（Word版带解析）.doc

丰台区 2019-2020 学年度第一学期期中考试联考 高一数学（B 卷） 第 I 卷（选择题共 40 分） 一．选择题（每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的） 1.已知集合 ， ，那么 等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 进行交集的运算即可． 【详解】∵A＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，0，1，2}， ∴A∩B＝{﹣1，1}． 故选：C． 【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.已知 a＞b，c＞d，下列不等式中必成立的一个是（　　） A. a+c＞b+d B. a﹣c＞b﹣d C. ac＞bd D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用不等式的基本性质即可判断出． 【详解】根据不等式的同向可加性，若 a＞b，c＞d，则必有 a+c＞b+d， 利用特例法可知 均错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 3.命题“对任意 a∈R，都有 a2≥0” 否定为（　　）的 { }1,1A = − { }1,0,1,2B = − A B }{0,1 }{0 }{ 1,1− }{ 1,0,1,2− a b c d ＞ , ,B C DA. 对任意 a∈R，都有 a2＜0 B. 存在 a∈R，使得 a2＜0 C. 存在 a∈R，使得 a2≥0 D. 存在 a∉R，使得 a2＜0 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意 a∈R，都有 a2≥0”的否定为： 存在 a∈R，使得 a2＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4.“x＝2”是“x2＝4”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由 x2＝4，解得 x＝±2．即可判断出． 【详解】由 x2＝4，解得 x＝±2． ∴x＝2 是 x2＝4 充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题． 5.已知函数 则 的值为（ ）. A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 推导出 f（﹣1）＝﹣（﹣1）+1＝2，从而 f（f（﹣1））＝f（2），由此能求出结果． 2 1( 1),( ) 2 ( 1). x xf x x x x − + 1 3 4 4a a −⋅ 1 2a − 3 16a − 1 3a a 1 31 3 1 4 44 4 2a a a a  −− −  ⋅ = =① ； ② ， ； ③ ， ； ④ ， ． 其中是同一个函数的组号是（ ）. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】 分别判断每组中两个函数的定义域和对应法则是否一致即可． 【详解】对于①，函数 f（x）＝x+1（x∈R），与 g（x） 1＝x+1（x≠0）的定义域不 同，不是同一函数； 对于②，函数 f（x）＝x（x∈R），与 |x|（x∈R）的对应法则不同，不是同一 函数； 对于③，函数 f（x）＝1（x∈R），与 g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数； 对于④，函数 |x|（x∈R），与 g（x）＝|x|（x∈R）的定义域相同，对 应法则也相同，是同一函数． 综上知，是同一函数的一组序号为④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，判断的依据是看两个函数的 定义域和对应法则是否相同． 9. A. B. C. D. ( ) ( ) 2 1, 1xf x x g x x = + = + ( )f x x= 2( )g x x= ( ) 1f x = 0( )g x x= , 0,( ) , 0. x xf x x x ≥= − 2 2a b> ,a b 1, 2− 1, 2a b= = − 2 2a b< ( )f x① 函数 在定义域上是单调递增函数； ② 函数 在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间； ③ 函数 的单调递增区间是 ． 其中所有正确的命题的序号有_____． 【答案】② 【解析】 【分析】 利用函数的图象，判断函数的单调性以及函数的单调区间，推出结果即可． 【详解】由题意以及函数的图象可知：①函数 f（x）在定义域上不是单调递增函数；所以① 不正确； ②函数 f（x）在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；正确； ③函数 f（x）的单调递增区间是（a，b），（b，c）．不能写成（a，b）∪（b，c）．所以③不 正确； 故答案为：②． 【点睛】本题考查函数的图象的应用，函数的单调性的判断，单调区间的求法，命题的真假 的判断，是基本知识的考查，属基础题． 三．计算题（共 36 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17.已知全集 ，集合 ， ． （1）求 ； （2）求 ． 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】 分析】 （1）利用并集定义能求出 A∪B． （2）先求出∁RA，由此能求出（∁RA）∩B． 【详解】（1）∵全集 U＝R，集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞1}． ∴A∪B＝{x|x≥﹣1}． 【 ( )f x ( )f x ( )f x ( , ) ( , )a b b c∪ U = R { }1 2A x x= − ≤ ≤ { }1B x x= > A B ( )R A B { | 1}A B x x= ≥ − ( ) { | 2}R A B x x= >（2）∁RA＝{x|x＜﹣1 或 x＞2} ∴（∁RA）∩B＝{x|x＞2}． 【点睛】本题考查并集、补集、交集的求法，考查并集、补集、交集等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题． 18.已知函数 ． （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】 【分析】 （1）当 a＝﹣4 时，代入不等式 f（x）≤0，可得：（x﹣1）（x﹣3）≤0，解出即可得出． （2）由题意可得一元二次方程 f（x）＝0 无实数根，因此△＜0，解出即可得出． 【详解】（1）当 ，不等式为 ． ∵方程 有两个实数根 ， ． ∴不等式 的解集为 ． （2）∵ 解集为 R， ∴方程 无实根， ∴ ． ∴实数 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题． 19.已知函数 ， （ 且 ）， ． 2( 3)f x x ax= + + 4a = − ( ) 0f x ≤ ( ) 0f x > R a { }1 3x x≤ ≤ { }2 3 2 3a a− < < 4a = − 2 4 3 0x x− + ≤ 2 4 3 0x x− + = 1 1x = 2 3x = 2 4 3 0x x+ + ≤ { }1 3x x≤ ≤ 2 3 0x ax+ + > 2 3 0x ax− + = 2 24 3 12 0a a∆ = − × = − < a { }2 3 2 3a a− < < ( ) xf x a= 1( ) ( )xg x a = 0a > 1a ≠ ( ) 11 2f − =（1）求函数 和 的解析式； （2）在同一坐标系中画出函数 和 的图象； （3）如果 ，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1） ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）利用条件建立方程求出 a 的值即可求出函数的解析式 （2）结合指数函数的图象和性质进行作图即可 （3）结合图象，利用数形结合进行求解 【详解】（1）∵f（﹣1） ． ∴ ． ∴a＝2， 所以 f（x）＝2x，g（x）＝（ ）x （2）两个函数在同一坐标系的图象如图： ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x< x ( ) 2xf x = 1( ) ( )2 xg x = 0x < 1 2 = 1 1 1 2a a − = = 1 2（3）由图象知当 x＝0 时，f（x）＝g（x）， 若 f（x）＜g（x），则 x＜0， 即不等式 解集为（﹣∞，0）． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．比较基 础． 20.已知函数 ． （1）证明：函数 是奇函数； （2）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明； （3）若对 ，都有 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） 在区间 上单调递增；证明见解析； （3） ； 【解析】 【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性求出 f（x）的最大值，从而求出 m 的范围． 【详解】（1）函数 的定义域为 ． ，都有 ， 且 ， 的 ( ) 4f x x x = + ( )f x ( )f x ( )2,+∞ [ ]2,4x∀ ∈ 4x mx + ≤ m ( )f x (2, )+∞ 5m ≥ ( )f x { }0x x ≠ { }0x x x∀ ∈ ≠ { }0x x x− ∈ ≠ 4 4( ) ( ) ( )f x x x f xx x − = − + = − + = −−所以，函数 为奇函数． （2）判断： 在区间 上单调递增. 证明： ，且 ，有 ∵ ， ∴ ， ， ． ∴ ，即 ． ∴函数 在区间 上是增函数． （3）由（2）可知，函数 在区间 上是增函数， 所以 ， 因为对 ，都有 恒成立， 所以 ， 即 ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查函数最值以及转化思想，属于中档 题． 4( )f x x x = + ( )f x (2, )+∞ 1 2, (2, )x x∀ ∈ +∞ 1 2x x< 1 2 1 2 1 2 4 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x x xx x − = + − + 1 2 1 2 4 4( ) ( )x x x x = − + − 2 1 1 2 1 2 4( )( ) x xx x x x −= − + 1 2 1 2 1 2 ( 4)x x x xx x −= − 1 22 x x< < 1 2 4x x > 1 2 4 0x x − > 1 2 0x x− < 1 2 1 2 1 2 ( 4) 0x x x xx x − − < 1 2( ) ( )f x f x< 4( )f x x x = + (2, )+∞ 4( )f x x x = + [2,4] max( ) (4) 5f x f= = [ ]2,4x∀ ∈ 4x mx + ≤ max( )f x m≤ 5m ≥