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1．已知等比数列{an}的公比为－，则的值是( )
A．－2 B．－
C. D．2
【答案】A【解析】由题意可知＝＝－2.
2．已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【答案】B 【解析】法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故选B.
法二：在公差为d的等差数列{an}中，am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*)．
由题意得解得
3．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于( )
A．－ B．1
C．－或1 D．－1或
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 016＝( )
A．92 015 B．272 015
C．92 016 D．272 016
【答案】D 【解析】由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2 016＝33×2 016＝272 016，故选D.
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5．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝( )
A. B．
C. D.
【答案】D 【解析】根据等差数列的前n项和公式及＝(n∈N*)，可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(2n－1)，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)，所以＝，故选D.
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】A 【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55，所以d＝4，所以kPQ＝＝＝d＝4，故选A.
7．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－
C．5 D.
8．如图41所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝( )
图41
A．2 B．8
C．7 D．4
【答案】C 【解析】第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51
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＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故选C.
9．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
A. B．
C. D.
【答案】D 【解析】由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}为首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
11．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝( )
A. B．
C．5 D．6
【答案】A 【解析】因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.
12.＋＋＋…＋的值为( )
A. B.－
C.－ D.－＋
【答案】C 【解析】∵＝＝
＝，
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∴＋＋＋…＋＝
＝
＝－.
13．在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2 002，则S2 014的值等于( )
A．2 011 B．－2 012
C．2 014 D．－2 013
【答案】C 【解析】等差数列中， Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2 012，公差为的等差数列．因为－＝2 002，所以(2 012－10)＝2 002，＝1，所以S2 014
＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]
＝2 014，选C.
14．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于( )
A. B．
C. D.
15．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )
A. B.
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C. D.
【答案】B 【解析】y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，
即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，
∴an＝n，∴bn＝，
∴T10＝1－＝，故选B.
16．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．3 105
17．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A. B．
C. D.
【答案】B 【解析】由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，
从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.故选B.
18．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．192里 B．96里
C．48里 D．24里
【答案】B 【解析】由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得
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a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.
19．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝__________.
【答案】3×21 008－3
【解析】∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.
20．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__________，S5＝__________.
【答案】1 121
21．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－a11＝－(a1＋a2＋…＋an
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)＋2(a1＋a2＋…＋a11＋an)＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝
22．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.
23．已知数列{an}是等比数列，其前n项和是Sn，且Sn＝t·3n－2t＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(n∈N*)，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝t·3－2t＋1＝t＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝t·3n－t·3n－1＝2t·3n－1.
∵数列{an}是等比数列，∴＝＝3(n≥2)，
∴＝＝3，∴t＝1，a1＝2，
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∴an＝2·3n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知，Sn＝3n－1，∴1＋Sn＝3n，∴＝，
bn＝log＝n，
∴anbn＝2n×3n－1，
Tn＝2＋4×3＋6×32＋…＋2n×3n－1，①
3Tn＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2n×3n，②
①－②得，－2Tn＝2＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－2n×3n＝2＋2×－2n×3n，
∴Tn＝＋.
24．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
25．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*)．
(1)求an；
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(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵4Sn＝(an－1)(an＋3)＝a＋2an－3，
∴当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1－3，
两式相减得，
4an＝a－a＋2an－2an－1，
化简得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵{an}是正项数列，∴an＋an－1≠0，
∴an－an－1－2＝0，对任意n≥2，n∈N*都有an－an－1＝2，
又由4S1＝a＋2a1－3得，a－2a1－3＝0，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，
∴{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)由已知及(1)知，
bn＝(2n＋1)·2n，
Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
②－①得，Tn＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n)＋(2n＋1)·2n＋1＝－6－2×＋(2n＋1)·2n＋1
＝2＋(2n－1)·2n＋1.
26．若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.
求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜.
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