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1.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且△ABO为等边三角形,则p的值是( )
A. B.2 C.6 D.
【答案】D 【解析】由题意知|MA|=|OA|,所以点A的纵坐标为4,又△ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为,又点A是抛物线C上一点,所以=2p×4,解得p=.
2.已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1,随着a的增大该椭圆的形状( )
A.越接近于圆 B.越扁
C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
【答案】D 【解析】由题意知4a>a2+1且a>0,解得2-<a<2+,又e2=1-=1-=1-.因此当a∈(2-,1)时,e越来越大,当a∈ (1,2+)时,e越来越小,故选D.
3.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,对于左支上任意一点P都有|PF2|2=8a|PF1|(a为实半轴),则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(2,3]
C.(1,3] D.(1,2]
4.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )
A. B.1
C. D.2
【答案】A 【解析】设AF=a,BF=b,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-2=(a+b)2.∵a+b=AF+BF=2MN,∴|AB|2≥|2MN|2,∴≤.
5.过点A(0,1)作直线,与双曲线x2-=1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( )
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A.0 B.2
C.4 D.无数
【答案】C 【解析】过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条,过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点.
6.椭圆y2+=1(0<m<1)上存在点P使得PF1⊥PF2,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大,因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则∠F1PF2≥90°,所以∠F2PO≥45°(O是原点),从而≥,即1-m2≥,又0<m<1,所以0<m≤.
7.设点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【答案】D 【解析】椭圆的离心率e===,
所以a=2b.
所以椭圆方程为x2+4y2=4b2.
因为双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,
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所以渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为,
所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b=4,
所以b2=5,所以a2=4b2=20.
所以椭圆C的方程为+=1.故选D.
9.双曲线M:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为________.
【答案】
【解析】根据双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=c+2,所以|PF2|=c,由勾股定理得(c+2)2+c2=4c2,即c2-2c-2=0,解得c=+1,根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.
10.已知F1,F2为+=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,则△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=________.
11.如图141,F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为________.
图141
【答案】
【解析】因为△ABF2为等边三角形,由点A是双曲线上的一点知,|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,由点B是双曲线上一点知,|BF2|-|BF1|=2a,从而|BF2|=4a,由∠ABF2=60°得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中应用余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos 120°,整理得c2=7a2,则e2=7,从而e=.
12.设F1,F2是椭圆x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF1
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|=3|F1B|,且AF2⊥x轴,则b2=________.
【答案】
13.过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为________.
【答案】
【解析】设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m,
∵|AF|=3,∴点A到准线l:x=-1的距离为3,
∴2+3cos θ=3,即cos θ=,则sin θ=.
∵m=2+mcos(π-θ),∴m==,
∴△AOB的面积为
S=×|OF|×|AB|×sin θ=×1××=.
14.如图142,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=|BF|.
图142
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若点M在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.
[解] (1)由已知|AB|=|BF|,即=a,2分
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4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,
∴e==.4分
(2)由(1)知a2=4b2,∴椭圆C:+=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由+=1,+=1,
可得+=0,
即+=0,
即+(y1-y2)=0,从而kPQ==2,6分
∴直线l的方程为y-=2,即2x-y+2=0.8分
由⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0,9分
Δ=322+16×17(b2-4)>0⇔b>,x1+x2=-,x1x2=.
∵OP⊥OQ,∴·=0,即x1x2+y1y2=0,
x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0,11分
从而-+4=0,解得b=1,椭圆C的方程为+y2=1.12分
15.在△ABC中,A(-1,0),B(1,0),若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G,H不重合).
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程.
依题意可得=,10分
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即7k4+2k2-9=0,解得k2=1,即k=1或-1,
故所求直线AC的方程为y=x+1或y=-x-1.12分
16.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(1,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.
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17.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点P在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q (xQ,yQ)(点Q异于点P),若0<xQ<1,求直线l斜率k的取值范围.
18.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A, B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)D是抛物线C上的动点,点E(-1,3),若直线AB过焦点F,求|DF|+|DE|的最小值;
(2)是否存在实数p,使|2+|=|2-|?若存在,求出p的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为直线2x-y+2=0与y轴的交点为(0,2),
所以F(0,2),则抛物线C的方程为x2=8y,准线l:y=-2.
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设过D作DG⊥l于G,则|DF|+|DE|=|DG|+|DE|,
当E, D,G三点共线时,|DF|+|DE|取最小值为2+3=5.
(2)假设存在实数p,满足条件等式成立.
联立x2=2py与2x-y+2=0,
消去y,得x2-4px-4p=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4p,x1x2=-4p,所以Q(2p,2p).
因为|2+|=|2-|,
所以QA⊥QB,则·=0.
因此(x1-2p)(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0.
(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)·(2x2+2-2p)=0,
5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0,
把x1+x2=4p,x1x2=-4p代入得4p2+3p-1=0,解得p=或p=-1(舍去).
因此存在实数p=,使得|2+|=|2-|成立.
19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点Q在椭圆上,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P,M,N为椭圆C上的三点,若四边形OPMN为平行四边形,证明四边形OPMN的面积S为定值,并求该定值.
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