定州市 2019-2020 学年第一学期期中考试
高一数学试题
说明:本试卷分为第 I 卷和第 I 卷两部分,共三个大题,22 个小题.满分 150 分,时
间 120 分钟.I 卷答案写在答题卡上,交卷时只收答题卡.
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正
确答案的序号填涂在答题卡上)
1.下列写法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空集的定义及集合间关系,即可判断选项.
【详解】空集是不含任何元素的集合,所以 A 选项错误;
并集、包含符号用于集合与集合之间,所以 B 和 C 选项错误.
由集合的包含关系可知,D 为正确选项.
故选:D
【点睛】本题考查了空集概念的辨析,元素与集合、集合与集合关系的判断,属于基础题.
2.已知集合 ,则使 成立的 值的个数有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用集合之间的关系和分类讨论方法即可得出.
【详解】解： 成立 .
由集合元素的互异性可知： ,
解得 ,
再由集合元素的互异性可知：
0 φ∈ { }0 φ φ= 0 φ⊆ { }0φ ⊆
{ }21,2,{ 3, }, 3,A a B a= = A B A= a
4 6 5 3
AUB A= B A∴ ⊆
2 23, 1,2,a a a¹ =
1, 2,0a =± ±
1a ≠①当 时, , ,满足 ；
②当 时, , ,满足 ；
③当 时, , ,满足 ；
④当 时, , ,满足 .
综上可知使 成立的 的个数是 ．
故选：A
【点睛】本题考查集合之间的关系和集合元素的互异性,及分类讨论思想方法.
3.已知函数 ，则 的解析式为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.
【详解】令 ,则 ，所以
即 .
【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.
4.集合 ,集合 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据负数没有平方根求出集合 中函数的定义域,确定出集合 ,根据二次函数的性质,求出集
合 中函数的值域,确定出集合 ,找出 与 的公共部分,即可确定出两集合的交集.
【详解】解：由集合 中的函数 ,
1a = − 12{ 3 }1A = -，，， }1{3B = ， B A⊆
2a = 12 2{ 3A = ，，， ） }2{3B = ， B A⊆
2a = − 2 2{1 3A = -，，， ） }2{3B = ， B A⊆
0a = 1,2{ 3 0}A = ，， }0{3B = ， B A⊆
A B A= a 4
( )2 4 5f x x x+ = + + ( )f x ( )
( ) 2 1f x x= + ( ) ( )2 1 2f x x x= + ≥
( ) 2f x x= ( ) ( )2 2f x x x= ≥
2x t+ = 2t ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 t 2 5 1, 2 ,f t t t t= − + − + = + ≥
( ) 2 1f x x= + ( )2x ≥
( )( ){ }2 3 1A x y x x= = + − { }2 2 3, [0,3]B y y x x x= = − + ∈ A B =
[ ]2,6 [ ]3,6 ∅
( ), 3 [1, )−∞ − +∞
A A
B B A B
A ( )( )2 3 1y x x= + −得到 ,解得： ,
.
由集合 中函数 ,得到 ,
.
则 .
故选：C
【点睛】此题属于以函数的定义域与值域为平台,考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是
解本题的关键.
5.设 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知求出 ，再求的值.
【详解】 ， ，则 .
故选 D
【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能
力.
6.下列函数中,与函数 单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和函数的单调性判断即可.
的
( )( )2 3 1 0x x+ − ≥ 3 1x− ≤ ≤
{ }| 3 1A x x\ = - £ £
B 2 2 3, [0,3]y x x x= − + ∈ 2 6y≤ ≤
{ }| 2 6B y y\ = £ £
A B = ∅
lg6a = lg 20b = 2log 3 =
1
1
a b
b
+ −
+
1
1
a b
b
+ −
−
1
1
a b
b
− +
+
1
1
a b
b
− +
−
lg2 1 lg3 1b a b= − = − +，
2 3
1 2
a lg lg
b lg
= +
= +
2 1
3 1
lg b
lg a b
= −∴ = − + 2
lg3 1log 3 lg2 1
a b
b
− += = −
3y x=
y x= 1y x x
= − 1y x x
= +
x xy e e−= −【详解】解:函数 是奇函数且在 是增函数.
对于 A,函数 是非奇非偶函数；
对于 B,函数 是奇函数,在定义域上无单调性.
对于 C,函数 是奇函数,在定义域上无单调性,
对于 D,函数 是奇函数且在 是增函数.
故选：D
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断,属于基础题.
7.已知实数 a，b 满足 ， ，则函数 零点所在的区间是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由 ，得 ， ，
.所以零点在区间 .
考点：零点与二分法.
8.已知函数 ,关于 的性质,有以下四个推断:
① 的定义域是 ;② 的值域是 ;
③ 是奇函数;④ 是区间 上的增函数.
其中推断正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的表达式求出其定义域,判断①正确；根据基本不等式的性质求出 的值域,判
的
3y x= ( , )−∞ +∞
y x=
1y x x
= −
1y x x
= +
x xy e e−= − ( , )−∞ +∞
2 3a = 3 2b = ( ) xf x a x b= + − ( )
( )2, 1− − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,2
2 3,3 2a b= = 2 3log 3, log 2, 1a b ab= = = ( ) 11 1 1 0f a b−− = − − = − <
( ) 30 1 1 log 2 0f b= − = − > ( )1,0−
( ) 2 1
exf x x
= +
( )f x
( )f x R ( )f x ,2 2
e e −
( )f x ( )f x ( )0,2
1 2 3 4
( )f x ( )f x断②正确；根据奇偶性的定义,判断③正确；根据函数的单调性,判断④错误.
【详解】解：① 函数 , 的定义域是 ,故①正确；
② , 时, ,
时, , 时, ;
故 的值域是 ,故②正确:；
③ ,
是奇函数,故③正确；
④由 ,由于 在 上递减,在 上递增,
在区间 上先增后减,故④错误.
故选：C
【点睛】本题考查了函数的定义域、值域问题,考查函数的奇偶性和单调性,是一道中档题.
9.已知函数 ，若 ，则此函数的单调减区间是
（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得函数 的定义域为 ，根据二次函数的性质，求得 在
单调递增，在 单调递减，再由 ，得到 ，利用复合函数的单
调性，即可求解.
【详解】由题意，函数 满足 ，
解得 ，即函数 的定义域为 ，
( ) 2 1
exf x x
= +
( )f x∴ R
( ) 1
ef x
x x
=
+ 0x > ( )0 2
ef x< ≤
0x < ( ) 02
e f x− ≤ < 0x = ( ) 0f x =
( )f x ,2 2
e e −
( ) ( ) ( )2 2 11
ex exf x f xxx
−− = = − = −+− +
( )f x\
( ) 1
ef x
x x
=
+
1y x x
= + ( )0,1 ( )1,2
( )f x\ ( )0,2
2( ) log ( 2 3)( 0 1)af x x x a a= − − + > ≠, (0) 0f <
( , 1]−∞ − [ 1 )− + ∞， [ 1,1)− ( 3, 1]− −
( )f x ( 3,1)− ( ) 2 2 3g x x x= − − +
( 3, 1]− − ( 1,1)− (0) 0f < 0 1a< <
2( ) log ( 2 3)af x x x= − − + 2 2 3 0x x− − + >
3 1x− < < ( )f x ( 3,1)−又由函数 在 单调递增，在 单调递减，
因为 ，即 ，所以 ，
根据复合函数的单调性可得，函数 的单调递减区间为 ，
故选 D.
【点睛】本题主要考查了对数函数 图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查
了推理与运算能力，属于基础题.
10.已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，
则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，
即 .
本题选择 C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函
数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函
数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
11.已知 满足 ，若函数 与 图象的交点为
，则 （）
的
( ) 2 2 3g x x x= − − + ( 3, 1]− − ( 1,1)−
(0) 0f < (0) log 3 0af = < 0 1a< <
( )f x ( 3, 1]− −
( )f x R 2
1log 5a f = −
( )2log 4.1b f= ( )0.82c f=
, ,a b c
a b c< < b a c< < c b a< <
c a b< <
( )2 2
1log log 55a f f = − =
0.8
2 2log 5 log 4.1 2,1 2 2> > < <
0.8
2 2log 5 log 4.1 2> >
( ) ( ) ( )0.8
2 2log 5 log 4.1 2f f f> >
,a b c c b a> > < <
( )( )f x x R∈ ( ) ( )3f x f x− = − 3 10
2
xy x
+= ( )y f x=
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,m mx y x y x y 1 2 my y y+ + + =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
函数 与 图象都关于点 对称，结合对称性可得结果.
【详解】由 满足 ，可知 图象关于点 对称，
又函数 图象也关于点 对称，
∴
∴
故选 C
【点睛】本题考查利用图像的对称性求式子的值，考查数形结合的思想，考查逻辑推理能力，
属于中档题.
12.若 是定义在 R 上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的有（ ）
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 是奇函数，则 也是奇函数；
（4）若 是奇函数，则 ．
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用单调性判断①；利用单调性与反证法判断②；利用奇偶性的定义判断③;利用奇偶性以及
单调性判断④.
0 m 3
2
m 3m
3 10
2
xy x
+= ( )y f x= 30 2
，
( )( )f x x R∈ ( ) ( )3f x f x− = − ( )f x 30 2
，
3 10 3 5= +2 2 x
xy x
+= 30 2
，
1 2 1 3m my y y y −+ = + = =
1 2 my y y+ + + =
( ) ( ) ( )1 2 1 1 3
2 2
m m my y y y y y m−+ + + + + + =
( )f x
0 0( ) >f x x [ ]0 0( ) >f f x x
[ ]0 0( ) >f f x x 0 0( ) >f x x
( )f x [ ( )]f f x
( )f x 1 2 1 2( ) ( ) 0 0+ = ⇔ + =f x f x x x【详解】对于①, 是定义在 R 上的单调递增函数,若 ,
则 ,故①正确;
对于②,当 时,若 ,由 是定义在 R 上的单调递增函数得
与已知矛盾,故②正确;
对于③,若 是奇函数,则 , 也是奇函
数,故③正确;
对于④,当 是奇函数,且是定义在 R 上的单调递增函数时,
若 ,
则 ,
若 ,故④正确;
故选 A.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性.这种题型
综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆
输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简
单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸的横线上）
13.函数 的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次根式下大于等于 0，可得不等式组 ，解出即可.
【详解】要使函数有意义，需满足 ，解得 ，
即函数 的定义域是 ，
( )f x ( )0 0f x x>
( ) ( )0 0 0f f x f x x> >
( )0 0f f x x> ( )0 0f x x≤ ( )f x
( ) ( )0 0 0f f x f x x≤ ≤
( )f x ( ) ( ) ( )f f x f f x f f x− = − = − ( )f f x∴
( )f x
( ) ( )1 2 0f x f x+ =
( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 0f x f x f x x x x x= − = − ⇒ = − ⇒ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 20 0x x x x f x f x f x f x f x+ = ⇒ = − ⇒ = − = − ⇒ + =
( ) ( 1)f x x x x= − +
{ | 1 0}x x x≥ =或
( )1 0
0
x x
x
− ≥
≥
( )1 0
0
x x
x
− ≥
≥ { | 1 0}x x x≥ =或
( ) ( 1)f x x x x= − + { | 1 0}x x x≥ =或故答案为 .
【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题.
14.意大利著名科学家伽利略说：“给我空间，时间以及对数，我就可以创造一个宇宙”.他把对
数与最宝贵的时间和空间相提并论，可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力
的条件下，火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg、火箭（除燃料）的质量 m kg 满足函数
关系 .当燃料质量是火箭质量的_______倍时，火箭最大速度可达 12 km/s.
( ，结果保留整数)
【答案】402
【解析】
【分析】
将 代入题中函数关系式,再将所得对数式转化为指数式,化简整理可得 的值,即为
燃料质量是火箭质量的倍数.
【详解】
火箭的最大速度可达 ,即
可得 ， ,解之得
故答案为:402
【点睛】本题以含有对数的函数为例,考查了用函数知识解决实际应用题和指、对数的互化等
知识点,属于基础题.
15.已知函数 f(x)＝ 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范
围是_________.
【答案】(0,1)
【解析】
【分析】
将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到 m 的范围．
【详解】令 g（x）＝f（x）﹣m＝0，
{ | 1 0}x x x≥ =或
2000ln(1 )Mv m
= +
6e 403.429≈
12000v = M
m
2000ln 1 Mv m
= +
∴ 12 /km s 12000 2000ln 1 M
m
= +
ln 1 6M
m
+ =
61 M em
+ = 6 1 402M em
= − ≈
2
2
log ( 1) , 0
2 , 0
x x
x x x
+ >
− − ≤得 m＝f（x）
作出 y＝f（x）与 y＝m 的图象，
要使函数 g（x）＝f（x）﹣m 有 3 个零点，
则 y＝f（x）与 y＝m 的图象有 3 个不同的交点，
所以 0＜m＜1，
故答案为（0，1）．
【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视．
16.已知下列四个命题:
①函数 满足:对任意 有 ；
②函数 均为奇函数；
③若函数 在 上有意义，则 的取值范围是 ；
④设 是关于 的方程 ,( 且 )的两根,则 ;
其中正确命题的序号是__________．
【答案】①②③④.
【解析】
【分析】
根据 的表达式,作差比较 、 的大小得出结论①正确；
根据奇函数的定义判断 是奇函数,判断②正确；根据均值不等式判断③正确；根据
对数函数的运算性质,判断④正确.
【详解】解：①：函数 ,对任意 ,
( ) 2xf x = 1 2 1 2, ,x x R x x∈ ≠ ( ) ( )1 2
1 2
1
2 2
x xf f x f x
+ ≤ +
( ) ( )2
2
21 , 1 2( 1) xf x log x x g x= + + = + −
( ) 1 2 4x xf x a= + + ⋅ ( ,1]−∞ a 3
4a ≥ −
1 2,x x x 4| |log x k= 0a > 1a ≠ 1 2 1x x⋅ =
( ) 2xf x = 1 2
2
x xf
+
( ) ( )1 2
1
2 f x f x+
( ) ( ),f x g x
( ) 2xf x = 1 2 1 2, ,x x R x x∈ ≠有 ,
,
当且仅当 时取“ ”,
所以 成立,可得①正确；
②：由 时, 成立;
由 ,可得 ,即 ,
由 ,即 有为奇函数,
又 ,
可得 为奇函数,
函数 均为奇函数,故②正确;
③：若函数 在 上有意义,
即 在 上恒成立,
只需 在 上恒成立,
设 ,令 ,
则 ,
即 ,故③正确；
④：设 是关于 的方程 的两根,
由图象特征可得 ,
即 ,则 ,故④正确.
( ) ( ) 1 2
1 21 2 2
1 2
1 12 [2 2 ]2 2 2
x x
x xx xf f x f x
++ − + = − +
1 2
1 2 1 2 21 1[2 2 ] 2 2 2 22 2
x x
x x x x
+ ≥ × =
1 2x x= =
( ) ( )1 2
1 2
1
2 2
x xf f x f x
+ ≤ +
0x ≥ 2 +1 0x x+ >
2 20, 1x x x< + > 2 1x x+ > − 2 +1 0x x+ >
( ) ( ) ( )2 2
2 2log 1 log 1 0f x f x x x− + = + − = = ( )f x
( ) ( ) 2 22 2 1 2 1x xg x g x −− + = + +− −
2 2 22 01 2 2 1
x
x x
⋅= + + =− −
( )g x
( ) ( ) ( )2
2
2log 1 , 1 2 1xf x x x g x= + + = + −
( ) 1 2 4x xf x a= + + ⋅ ( ,1]−∞
1 2 4 0x xa+ + ⋅ ≥ ( ,1]−∞
1 2
4
x
xa
+− ≤ ( ,1]−∞
1 2 1 1
4 4 2
x
x x xy
+= = + 1 1[ ,+ )2 2xt = ∈ ∞
2
min
1 3 3, , ,2 4 4y t t t y a = + ≥ = ∴− ≤
3
4a ≥ −
1 2,x x x (, ) 0, 1alog x k a a= > ≠
1 2log log 0a ax x+ =
( )1 2log 0a x x⋅ = 1 2 1x x⋅ =故答案为:①②③④.
【点睛】本题对初等函数基本性质 综合考查,需要逐项判断,易错点是在对函数值域的判断上,
本题的函数求值域需要借助导数,利用导数判断确定函数的单调区间,求出值域.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17.已知 ，
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【详解】试题分析： ，
（1）∵ ，∴
（2）
∵ ，∴ 或
∴ 或
18.已知函数 ， ，若 在区间 上有最大值 5，
最小值 2．
求 a，b 的值；
若 ， 在 上为单调函数，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(－∞，2]∪[6，＋∞)
【解析】
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当 a>0 时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故 ，⇒
的
{ }2| 2 3 0,A x x x x R= − − ≤ ∈ { }2 2| 2 4 0,B x x mx m x R= − + − ≤ ∈
[ ]1,3A B∩ = m
RA C B⊆ m
3m = 5m > 3m < −
1 3{ | }A x x= − ≤ ≤ 2 2{ | }B x m x m= − ≤ ≤ +
[1,3]A B∩ = 2 1{ 32 3,
m mm
− = =+ ≥
{ | 2, 2}RC B x x m x m= − +或
RA C B⊆ 2 3m − > 2 1m + < −
5m > 3m < −
( ) 2 2 2f x ax ax b= − + + ( )0a ≠ ( )f x [ ]2,3
( )1
( )2 1b < ( ) ( )g x f x mx= − [ ]2,4
( )
( )
3 5{ 2 2
f
f
=
=⇒
当 a
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