四川省绵阳南山中学2020届高三3月网络考试数学（文）答案.pdf

1 绵阳南山中学 2020 年春季高 2017 级网络教学统考 文科数学参考答案 一、选择题： DDAA CABC BBCD 二、填空题 13.10 14. 2 3 15.y2＝8x 16. 15 三、解答题 17.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，可得 bsin A＝asin B…………………2 分 又由 bsin A＝acos B－π 6 ，得 asin B＝acos B－π 6 ， 即 sin B＝cos B－π 6 ，所以 tan B＝ 3……………………………………………………….4 分 又因为 B∈(0，π)，所以 B＝π 3 …………………………………………………………………….6 分 (2)在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝π 3 ，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7， 故 b＝ 7…………………………………………………………………………………………….8 分 由 bsin A＝acos B－π 6 ，可得 sin A＝ 21 7 .因为 a0)， ∵c a ＝ 3 2 ，∴c＝ 3 2 a，又∵4 a2＋b2＝4 5， ∴a2＋b2＝5，由 b2＝a2－c2＝1 4 a2，解得 a＝2，b＝1，c＝ 3. ∴椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋y2＝1……………………………………………………………………5 分 (2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l0 为任意直线都满足要求； 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＝k(x－1)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令 x1>1>x2)，则 dA＝x0－x1，dB＝x0－x2， |PA|＝ 1＋k2(x1－1)，|PB|＝ 1＋k2(1－x2)， ∵dA dB ＝|PA| |PB| ， ∴x0－x1 x0－x2 ＝ 1＋k2 x1－1 1＋k2 1－x2 ＝x1－1 1－x2 ， 解得 x0＝2x1x2－ x1＋x2 x1＋x2 －2 …………………………………………………………………………7 分 由 x2 4 ＋y2＝1， y＝k x－1 ， 得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0， 由题意知，Δ>0 显然成立， x1＋x2＝ 8k2 1＋4k2，x1x2＝4k2－4 1＋4k2，………………………………………………………………..9 分 x0＝ 8k2－8 1＋4k2－ 8k2 1＋4k2 8k2 1＋4k2－2 ＝4………………………………………………………………………….11 分 综上可知存在直线 l0：x＝4，使得 A，B 到直线 l0 的距离 dA，dB 满足dA dB ＝|PA| |PB| 恒成立． ………………………………………………………………………………………………………….12 分 21.（1）      012  xx xaxxf 当 0a 时，   0 xf ，函数  xf 在  ,0 上单调递增；…………………………………….2 分4 当 0a 时，由   0 xf 得 2 ax  ；由   0 xf 得 20 ax  ，函数  xf 在      ,2 a 上递增，在      2,0 a 上递减 ……………………………………………………………………………………….4 分 （2）当  ax ,0 时，   2ln42 2 min aaaaafxf      ， 令   023 2  axxxg 得 3 2,0 axx  （舍去） 当  ax ,0 时     40 2 max aagxg  ，     2lnmaxmin aaxgxf  1 当 02ln  aa 时，则     agf  0min 显然成立，即 2a 2 当 02ln  aa 时，则         aaaxgxfgf  2lnmaxminmin ，即 22  ae ， 综上 ea 2 . ……………………………………………………………………………………..8 分 (3) 要证 02 21       xxf      2f a ， 由（1）知由   0 xf 得 2 ax  ； 只要证明 22 21 axx  即可 21, xx 是方程   cxf  的两个不等实根，不妨设 210 xx    ,ln2 11 2 1 cxaxax    ,ln2 22 2 2 cxaxax       0ln2ln2 22 2 211 2 1  xaxaxxaxax ， 即 02,lnln 22 2211 2 2 21 2 1        afxxxx xxxxa  即证 2211 2 2 21 2 1 21 lnln 22 xxxx xxxxxx   即证 21 21 2 1 22ln xx xx x x   ，………………………………………………………………..10 分 设  1,0 2 1  x xt5 令         0 1 1,1 22ln 2 2      tt ttgt tttg ， 则  tg 在  1,0 上单增，     01  gtg 恒成立，得证。 ……………………………12 分 22.解 (1)∵直线 l 的参数方程为 x＝1＋t， y＝ 3＋ 3t (t 为参数)， ∴直线 l 的普通方程为 y＝ 3＋ 3(x－1)， 即 y＝ 3x， ∴直线 l 的极坐标方程为θ＝π 3 (ρ∈R)， 又∵曲线 C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2 3ρsin θ－4，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴x2＋y2＝4x＋2 3y－4，即(x－2)2＋(y－ 3)2＝3， ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－ 3)2＝3……………………………………………6 分 (2)∵将直线 l：θ＝π 3 代入曲线 C 的极坐标方程ρ2＝4ρcos θ＋2 3ρsin θ－4，得ρ2－5ρ＋4＝0， 设直线 l 与曲线 C 的两交点 A，B 的极坐标分别为 A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)， ∴|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝4……………………………………………………………………….10 分 23(1)解 设 y＝|2x－1|－|x－1|＝ x，x≥1， 3x－2，1 2