文数答案.pdf

1 六安一中 2019~2020 年度第二学期高二年级开学考试 数学试卷（文科）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D C B B A B B C C D 13． 26 5 14．10 15． 17 25 16． e 1 17．（1）因为 1a  ，所以         2 1 1 1 2x xf x x e x x e       当  , 1x   时，   0f x  ，当  1,x   ，   0f x  . 所以  f x 在 1x   处取得极小值，极小值为   11f e    ，无极大值.…………6 分 （2）由已知， 022)(  xaxeaexf xx 在 ,0 上恒成立， 则 )1(2)1(  xxaex ，只需 min 2     xea ，因为   ,0x ，所以 2a ， 从而实数 a 的最大值为 2 .…………12 分 18．（1）频率为 0.08，频数为 2，所以全班人数为 2 0.08  25 .…………3 分 （2）估计平均分为：55 0.08 65 0.28 75 0.4      85 0.16 95 0.08 73.8    .…………6 分 （3）由已知得 80,100 的人数为： 0.16 0.08 25  （ ） 4 2 6  . 设分数在 80,90 的试卷为 A ， B ，C ， D ，分数在 90,100 的试卷为 a ，b . 则从 6份卷中任取 2 份，共有15 个基本事件， 分别是 AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ， ab ，其中至少有一份优秀的事件共有9个， 分别是 Aa ， Ab ， Ba ， Bb ，Ca ，Cb ， Da ， Db ， ab ， 在抽取的 2 份试卷中至少有1份优秀的概率为 9 3 15 5P   .…………12 分 19．（1）因为 2 2,222  a cc ，所以 2,2,2  bac ， 所以椭圆C 的标准方程为 124 22  yx .…………5 分 （2）设  00, yxB ，则 124 2 0 2 0  yx ，     5212141 0 2 0 2 0 2 02 0 2 0        yyyyyxAB ， 因为 22 0  y ，所以当 10 y 时， AB 的最大值为 6 .…………12 分 20．（1）函数  f x 的定义域为 0, ，      1 11 1 a xf x ax x      ①当 1a   时，   0f x  ，函数  f x 在 0, 上单调递增； ②当 1 0a   时，令   0f x  ，解得 1 1x a   ， 当 10 1x a    时，   0f x  ，函数单调递增； 当 1 1x a   时，   0f x  ，函数单调递减； 综上所述：当 1a   时，函数  f x 在 0, 上单调递增， 当 1a   时，函数  f x 在 10, 1a      上单调递增，在 1 ,1 a     上单调递减.…………6 分 （2）由（1）得：当 1a 时，  max 1 1ln 11 1f x f a a        当函数  f x 有最大值且最大值大于3 1a  ， 1ln 1 3 11 aa    ，即  ln 1 3 0a a   ， 令    ln 1 3g a a a   ，  0 0g  且  g a 在 1,  上单调递增，     0 0g a g  在 1,  上恒成立， 01  a ， 故 a 的取值范围为  10， ..…………12 分2 21．（1）由题意知 0k  时，联立 2 4 4 y xy   ，解得  4,4M ，  4,4N  ． 设在点  4,4M 的切线方程为 ( 4) 4y k x   ， 联立 2 4 4 4 y kx k xy     得： 2 4 16 16 0x kx k    ， 由题意： 216 4(16 16) 0k k     ，即 2 4 4 0k k   ，解得 2k  ， 根据对称性，在点  4,4N  的切线斜率为 2k   ， 所以两切线方程分别为 2 4, 2 4y x y x     .（也可用导数做）…………6 分 （2）存在符合题意的点，证明如下： 设点 P  0,b 为符合题意的点，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 直线 PM ， PN 的斜率分别为 1k ， 2k ．联立方程 2 4 4 y kx xy    ， 得 2 4 16 0x kx   ，故 1 2 4x x k  ， 1 2 16x x   ， 从而 1 2 1 2 1 2 y b y bk k x x        1 2 1 2 1 2 2 4kx x b x x x x      4 4 k b ． 当 4b   时，有 1 2 0k k  ，则直线 PM 与直线 PN 的倾斜角互补， 故 OPM OPN   ，所以点  0, 4P  符合题意.…………12 分 22．（1）由 3 2 1 2 x cos y sin        得 3 2 , 1 2 , x cos y sin         两式两边平方并相加，得   2 23 1 4x y    . 将 , , y sin x cos        代入得   2 2cos 3 sin 1 4       ， 化简得 2 6 cos 2 sin 6 0        .…………5 分 （2）由 1sin 2cos    ，得 sin 2 cos 1     ，即 2 1y x  ，得 2 1 0x y   . 所以直线l 的直角坐标方程为 2 1 0x y   . 因为圆心  3,1C 到直线 : 2 1 0l x y   的距离  2 3 1 1 1 6 5 55 d        . 所以曲线C 上的点到直线 l 的最小距离为 25 56  rd .…………10 分 23．（1）当 1a  时，   1 2 1f x x x    ，   2 1 2 1 2f x x x      ， 上述不等式可化为 1 2 1 1 2 2 x x x        或 1 12 1 2 1 2 x x x         或 1 1 2 1 2 x x x       ， 解得 10 2x  或 1 12 x  或 41 3x  ，∴原不等式的解集为 4| 0 3x x     .…………5 分 （2）∵   2 1f x x  的解集包含集合 1 ,12      ， ∴当 1 ,12x      时，不等式   2 1f x x  恒成立， 即 2 1 2 1x a x x     在 1 ,12x      上恒成立， ∴ 2 1 2 1x a x x     ，即 2x a  ，∴ 2 2x a    ， ∴ 2 2x a x    在 1 ,12x      上恒成立，∴   max min2 2x a x    ， ∴ 51 2a   ，∴ a 的取值范围是 51, 2     .…………10 分