卷06-2020年高考数学名校地市好题必刷全真模拟卷（江苏专版）（解析版）

1 2020 江苏高考数学名校地市好题必刷全真模拟卷 06 Ⅰ卷 一.填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分共计 70 分 1．已知集合 ， ，且 ，则实数 a 的值为 ． 【答案】 【解析】由 可知 且 ，有 . 2. 已知 (i 是虚数单位)，则复数 z 的实部为 ． 【答案】 2 【解析】由题意 ，所以其实部为 2. 3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200，右图 为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25， 30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等 品，则样本中三等品的件数为 ． 【答案】50 【解析】三等品总数 . 4．某学校高三有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自 习教室上自习的概率为 ． 【答案】 【解析】 . 5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第 3 个数是 ． 【答案】30 【解析】 ， ，输出 3； ， ，输出 6； ， ， 输出 30；则这列数中的第 3 个数是 30. 6．已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直 线 l 上，则双曲线 C 的方程为 ． 【答案】 【解析】由双曲线的渐近线方程 可知 ；又由题意 ，那么 ，双曲线方程为 . {1, }A a= {1,3,4}B = { }3,1=∩ BA 3a = {1,3}A B = 1 A∈ 3 A∈ 3a = 4 1 iz = + 4z = 2 2i1 i = −+ [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50n = − + + × × = 4 1 2 2 2 2 2 8 1 4P = = × × = 3A = 1N = 6A = 2N = 30A = 3N = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 2 1 5 20 x y− = by x a = ± 2b a= 5c = 5a = 2 2 1 5 20 x y− =2 7．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2S3－3S2＝12，则数列{an}的公差是 ． 【答案】4 【解析】方法 1：2S3－3S2= ，则 . 方法 2：因为 ， 则 ，得到 . 8.在直角 中 ，已知一个锐角为 ，顶点 A、B、C 在一个半径为 6 的球 O 的球面上，且斜边过球 O 的球心，P 为球面上一点，且 则三棱锥 的体积是 . 【答案】36 【解析】因为斜边过球 O 的球心，所以 所在的圆是过球心的一个大圆，所以 的斜边长为 12， 因为 所以点 P 在平面 ABC 上的射影为 的外心 O，连接 PO ,则 平面 9. 平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点 E，F 分别满足 AE→ ＝2ED→ ，DF→ ＝FC→ ，则 AF→ ·BE→ ＝ ． 【答案】-6 【解析】因为 ， ； ，那么 . 10.已知正数 ，满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】由 得， 即 所以 （当且仅当 时取等号），所以 的最小值为 1 12(3 3 ) 3(2 ) 3 12a d a d d+ − + = = 4d = 1 1 2 nS na dn −= + 3 2 23 2 S S− = 2 d= 4d = ABC∆ 12 π ,PCPBPA == ABCP − ABC∆ ABC∆ 12cos12sin122 1 2 ππ×=∆ABCS .186sin36 == π ,PCPBPA == ABC∆ ⊥PO .366183 1 3 1,6, =××=⋅== ∆− POSVPOABC ABCABCp 2 3 AE AD=  1 2 AF AD DF AD AB= + = +     2 3 BE BA AE AD AB= + = −     AF BE⋅ =  1 2 AD AB+ ⋅      2 3 AD AB−      2 22 1 2 3 2 3 AD AB AB AD= − − ⋅    6 8 4 6= − − = − yx, 11 2 4 =++ yx xy 246 + 11 2 4 =++ yx ,2 2 2 411 + −=+−= x x xy ),2(2 2 >− += xx xy 2 8)2(6)2( 2 2 22 − +−+−=− += x xx x xxxy 62 8)2( +−+−= xx 24662 8)2(2 +=+−⋅−≥ xx 222 +=x xy 246 +3 11 在平面直角坐标系 中, 若动圆 上总存在点 P 使得 则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】设 因为 ,所以 化简得 ，即点 P 在以 为圆心，半径为 1 的圆上 又点 P 在圆 上，所以圆 C 与圆 M 有公共点，连接 CM，所以 即 解得 或 12.已知四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直， ,点 E 在四边形 ABCD 上运动，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】解法一（坐标法）设 O 为 AC 的中点，因为 ，所以 又 ，所以 所以 ，且 ， 所以 同理可得 如图，以 AC，BD 所在的直线分别为 轴， 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系 所以 根据四边形 ABCD 的对称性可知，欲求 的最小值，只需求出点 E 在边 BC，CD 上运动时， 的最小值，设点 E 的坐标为 则 所以 ①当点 E 在边 BC 上运动时， 即 所以 (当且仅当 时取等号)；②当点 E 在边 CD 上运动时， xOy ),0,2(),0,1( BA − 4 9)1()(: 22 =+−+− ayaxC ,2 1322 =+ PBPA a    ∪   − 2 5,12 1,1 ),,( yxP 12 1322 =+ PBPA 2 13)2()1( 2222 =+−+++ yxyx 1)2 1( 22 =+− yx )0,2 1(M . 4 9)1()(: 22 =+−+− ayaxC ,2 5 2 1 ≤≤ CM ,2 5)1()2 1(2 1 22 ≤−+−≤ aa 2 11 ≤≤− a 2 51 ≤≤ a . 32,22 ===== CDADBDBCAB EDEB ⋅ 3− 22 =BD ,4=BD 32,2 == CDBC ,222 BDCDBC =+ CDBC ⊥ 030=∠BDC ,330cos,330sin 00 ==== CDODCDOC .3=OA x y ,xOy ).0,3(),3,0(),1,0( CDB − EDEB ⋅ EDEB ⋅ ),,( yx )3,(),1,( yxEDyxEB −−−=−−= .32)3()1( 222 −++=−−⋅−+=⋅ yyxyyxEDEB 1 3 =+ yx ( )10 ≤≤ y )10)(1(3 ≤≤−= yyx 112 1444 2 2 −≥−   −=−=⋅ yyyEDEB 2 1=y4 ，即 ， 所以 (当且仅当 时取等号). 综上， 的最小值为-3. 解法二（几何法）由题意知，四边形 ABCD 是关于直线 BD 对称的图形，点 E 在四边形 ABCD 的四条边上 运动，故仅需考虑点 E 在边 BC，CD 上的运动情况即可.易知 所以 ①当点 E 在ＢＣ上运动时，设 则 ， 所以 当 时， 取得最小值－ １；②当点Ｅ在 CD 上运动时，设 则 所以 ， 当 时， 取得最小值-3.综上， 的最小值为-3. 13．已知函数 函数 ，若函数 恰有 4 个零点，则实 数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意当 时，即方程 有 4 个解. 又由函数 与 函数 的大致形状可知，直线 与函数 的左右两支曲线都有两个交点， 如下图示. 那么，有 即 解得 . 14．数列 中，若 （ ， ， ），则满足 的 的最小值 为 ． 【答案】128 【 解 析 】 由 ， 得 ， ， 则 ， 所 以 又 可 得 ，解得 k 的最小值是 7，即 ． 133 =−+ yx ( )03 ≤≤− y )03)(31(3 ≤≤−+= yyx 33)2 3(3 443 4 22 −≥−+=+=⋅ yyyEDEB 2 3−=y EDEB ⋅ 222 BDCDBC =+ ,CDBC ⊥ ),10( ≤≤= λλCBEB CBEC )1( −= λ ( ) ( ) ( ),1401 −=+−⋅=+⋅=⋅ λλλλλ CBCBCDECCBEDEB 2 1=λ EDEB ⋅ ),10( ≤≤= kCDkED ,)1( CDkEC −= ( ) ( ) )1(1201 −=+⋅−=⋅+=⋅ kkCDkCDkEDCBECEDEB 2 1=k EDEB ⋅ EDEB ⋅ 2 +1 , 1, ( ) ( ) , 1, a x x f x x a x  −=  − > ≤ ( ) 2 ( )g x f x= − ( ) ( )y f x g x= − a 2 3a< ≤ ( ) ( )y f x g x= − [ ]2 ( ) 1 0f x= − = ( ) 1f x = 1y a x= − + 2( )y x a= − 1y = 2 +1 , 1, ( ) ( ) , 1, a x x f x x a x  −=  − > ≤ 2(1 ) 1, ( 1) 1, (1) 1, a f f − > − >    ≤ 2 0, 1, 2 1, a a a a > < > −    或 ≤ 2 3a< ≤ { }na 2 ia k= 12 2k ki + 24 3k > Q P D C B A O y x8 且 ，所以 ，所以 ，综上 ．②由 题 意 得 ， AD ： ， BC ： ， 联 立 方 程 组 ， 消 去 x 得 ， 又 ，解得 ，故点 Q 的纵坐标为定值 . 19. （本小题满分 16 分） 已知 是等差数列， 是等比数列，其中 ． （1）若 ， ， ，试分别求数列 和 的通项公式； （2）设 ，当数列 的公比 时，求集合 的元素个数的最大值． 【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公差为 ，则 解得 ∴ ， 或 ．（ 2 ） 不 妨 设 ， 则 ，即 ， 令 ，问题转化为求关于 的方程 （*）最 多有多少个解．① 当 时，因为 ，若 为奇数，则方程为 ，左边关于 单调递增， 方 程 （ * ） 最 多 有 1 个 解 ； 若 为 偶 数 ， 则 方 程 为 ， 令 ， 则 ，令 ，得 ，由于 ，∴函数 单调递增，∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，∴方程（*）在 和 上 最多各有 1 个解． 综上：当 时，方程（*）最多有 3 个解．② 当 时，同理可知方程（*）最多 有 3 个解．事实上，设 时，有 ，所以 A 的元素个数最大值为 3． 20、（本小题满分 16 分） 已知函数 ，其中 R， 是自然对数的底数. （1）若曲线 在 的切线方程为 ，求实数 ， 的值； （2）①若 时，函数 既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围； 【解析】(1) 由题意知曲线 过点(1,0)，且 ；又因为 ，则 1 2 1 22 2 16 12,1 4 1 4 kx x x xk k + = − =+ + 1 2 1 2OC OD x x y y⋅ = +  2 1 2 1 2 2 17(1 ) 2 ( ) 4 1 1 4k x x k x x k = + + + + = − + + 131 4OC OD− < ⋅ 1q < − n 0nq tn s+ + = n n 0nq tn s− − = ( ) xf x q tx s= − − ( ) lnxf x q q t′ = − ( ) 0f x′ = 0 log lnq tx q = 1q > ( )f x′ 0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, x−∞ ( )0 ,x +∞ *Nn∈ 0t < 6 8, ( 2)n n na n b= − = − 1 1 2 2 4 4, ,a b a b a b= = = 2( ) e lnxf x a x b x = + +    ,a b ∈ e 2.71828≈ ( )y f x= 1x = e( 1)y x= − a b 2a = − ( )y f x= b ( )y f x= '(1) ef = 2 2 2'( ) lnex af x a x b x x += − + +   9 有 解得 . (2) ①当 时，函数 的导函数 ，若 时，得 ，设 . 由 ，得 ， . 当 时， ，函数 在区间 上为减函数， ；当 时， ，函数 在区 间 上为增函数， ；所以，当且仅当 时， 有两个不同的解， 设为 ， . x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)  0  0  ↘ 极大值 ↗ 极小值 ↘ 此时，函数 既有极大值，又有极小值. ② 由 题 意 对 一 切 正 实 数 恒 成 立 ， 取 得 . 下 证 对 一 切 正 实 数 恒 成 立 . 首 先 ， 证 明 . 设 函 数 ， 则 ，当 时， ；当 时， ；得 ，即 ，当且仅当 都在 处取到等号. 再证 . 设 ，则 ，当 时， ；当 时 ， ； 得 ， 即 ， 当 且 仅 当 都 在 处 取 到 等 号 . 由 上 可 得 ，所以 ，即实数 的最大值为 . ②若 ， ，若 对一切正实数 恒成立，求实数 的最大值(用 表示). 数学Ⅱ附加题 21.选做题，本题包括 A,B,C 三小题，请选其中两小题作答。若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应 写出文字说明，证明过程或演算步骤. A. (选修 4-2：矩阵与变换) 设矩阵 M＝[ m 2 2 －3 ]的一个特征值 λ 对应的特征向量为[1 －2 ]，求实数 m 与 λ 的值． (1) e(2 ) 0, '(1) e( ) e, f b f a b = + = = + =  3, 2a b= = − 2a = − ( )y f x= 2 2'( ) e 2ln 0xf x x b x = − − + =    '( ) 0f x = 2 22lnb x x = + 2 2( ) 2lng x x x = + ( 0)x > 2 3 3 2 4 2 4'( ) xg x x x x −= − = 0= 2x = ( 2) 1 ln 2g = + 0 2x< < '( ) 0g x < ( )y g x= (0, 2) ( ) (1 ln 2, )g x ∈ + +∞ 2x > '( ) 0g x > ( )y g x= ( 2, )+∞ ( ) (1 ln 2, )g x ∈ + +∞ 1 ln 2b > + ( )b g x= 1x 2x 1 2( )x x< '( )f x ( )f x ( )y f x= 2e lnx a x b x kx+ +  ≥   x 1x = (2 )ek b≤ + 2e ln e(2 )x a x b x b x+ +  ≥ +   x e ex x≥ ( ) e exu x x= − '( ) e exu x = − 1x > '( ) 0u x > 1x < '( ) 0u x < e e (1) 0x x u− =≥ e ex x≥ 1x = 1ln 1x x + ≥ 1( ) ln 1v x x x = + − 2 1'( ) xv x x −= 1x > '( ) 0v x > 1x < '( ) 0v x < ( ) (1) 0v x v =≥ 1ln 1x x + ≥ 1x = 2e ln (2 )ex a x b x b x+ +  ≥ +   min ( ) (2 )ef x bx   = +   k (2 )eb+ 2a = 2b ≥ − ( )f x kx≥ x k b10 【解析】由题意，得[ m 2 2 －3 ][1 －2 ]＝λ[1 －2 ]， 则{m－4＝λ， 2＋6＝－2λ， 解得 m＝0，λ＝－4. B．[选修 4-4;坐标系与参数方程]（本小题 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：{x＝3 5t， y＝4 5t (t 为参数)．现以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴 为极轴建立极坐标系．设圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长． 【解析】直线 l：{x＝3 5t， y＝4 5t (t 为参数)化为普通方程，得 4x－3y＝0， 圆 C 的极坐标方程 ρ＝2cos θ 化为直角坐标方程，得(x－1)2＋y2＝1， 则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d＝ |4| 42＋（－3）2＝4 5， 所以 AB＝2 1－d2＝6 5. 　　　 C．[选修 4-5;不等式选讲 ]（本小题 10 分） 若实数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，求 x2＋y2＋z2 的最小值． 【解析】由柯西不等式，得(x＋2y＋z)2≤(12＋22＋12)·(x2＋y2＋z2)， 即 x＋2y＋z≤ 12＋22＋12· x2＋y2＋z2. 因为 x＋2y＋z＝1，所以 x2＋y2＋z2≥1 6， 当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即 x＝z＝1 6，y＝1 3时取等号． 综上，(x2＋y2＋z2)min＝1 6. 22. （本小题 10 分） 某年级星期一至星期五每天下午每班排 3 节课，且每天下午每班随机选择 1 节作为综合实践课(上午不 排该课程)． (1) 求甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率； (2) 记甲班和乙班“在一周(星期一至星期五)中同时上综合实践课的节数”为 X，求 X 的概率分布与数学 期望 E(X)． 【解析】(1) 这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为 P＝1－ 3 3 × 3＝2 3.11 (2) 由题意，得 X～B(5，1 3 )， P(X＝k)＝Ck5(1 3 )k (2 3 )5－k ，k＝0，1，2，3，4，5. 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 所以 X 的数学期望为 E(X)＝5×1 3＝5 3. 23.（本小题满分 10 分） 已知 Fn(x)＝(－1)0C0nf0(x)＋(－1)1C1nf1(x)＋…＋(－1) nCnnfn(x)(n∈N*)(x＞0)，其中 fi(x)(i∈{0，1，2，…， n})是关于 x 的函数． (1) 若 fi(x)＝xi(i∈N)，求 F2(1)，F2 017(2)的值； (2) 若 fi(x)＝ x x＋i(i∈N)，求证：Fn(x)＝ n！ （x＋1）（x＋2）…（x＋n）(n∈N*)． 【解析】(1) 因为 fi(x)＝xi(i∈N)， 所以 Fn(x)＝(－1)0C0nx0＋(－1)1C1nx1＋…＋(－1)nCnnxn＝(1－x)n， 所以 F2(1)＝0，(1 分) 所以 F2 017(2)＝(1－2)2 017＝－1. (2) 因为 fi(x)＝ x x＋i(x>0，i∈N)， 所以 Fn(x)＝(－1)0C0nf0(x)＋(－1)1C1nf1(x)＋…＋(－1)nCnnfn(x)＝ n ∑ i＝0 [（－1）iC x x＋i](n∈N*)． ① 当 n＝1 时，Fn(x)＝ 1 ∑ i＝0 [（－1）iC x x＋i]＝1－ x x＋1＝ 1 x＋1，所以 n＝1 时结论成立． ② 假设 n＝k(k∈N*)时结论成立，即 Fk(x)＝ k ∑ i＝0 [（－1）iC x x＋i]＝ k！ （x＋1）（x＋2）…（x＋k）， 则 n＝k＋1 时，Fk＋1(x)＝ k＋1 ∑ i＝0 [（－1）iC x x＋i] ＝1＋ k ∑ i＝1 [（－1）iC x x＋i]＋(－1)k＋1Ck＋1k＋1 x x＋k＋1 ＝1＋ k ∑ i＝1 [（－1）i（C＋C） x x＋i]＋(－1)k＋1Ck＋1k＋1 x x＋k＋1 ＝ k ∑ i＝0 [（－1）iC x x＋i]＋ k＋1 ∑ i＝1 [（－1）iC x x＋i] ＝Fk(x)－ k＋1 ∑ i＝1 [（－1）i－1C x x＋i] ＝Fk(x)－ k ∑ i＝0 [（－1）iC x x＋i＋1] ＝Fk(x)－ k ∑ i＝0 [（－1）iC x＋1 x＋1＋i] x x＋112 ＝Fk(x)－ x x＋1Fk(x＋1) ＝ k！ （x＋1）（x＋2）…（x＋k）－ k！ （x＋2）（x＋3）…（x＋1＋k）· x x＋1 ＝ （x＋1＋k）·k！－x·k！ （x＋1）（x＋2）…（x＋k）（x＋1＋k） ＝ （k＋1）！ （x＋1）（x＋2）（x＋3）…（x＋1＋k）， 所以 n＝k＋1 时，结论也成立. 综合①②可知，Fn(x)＝ n！ （x＋1）（x＋2）…（x＋n）(n∈N*)．