1
2020 年咸阳市高考模拟考试试题（二）
文科数学参考答案
一、选择题：BCDAC DCACB CA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置.
13. 4 14. 12n 15. 2, 40 16. 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
解: (I) ( ) 3sin cos 2sin( )6f x x x x
令 2 2 ( )2 6 2k x k k z ,则 2[2 ,2 ]( )33k k k z 为函数 ()fx的单调递
增区间 ……………………6 分
(Ⅱ)由 ( ) 1fA ,得 1sin( )62A ,即
3A
法 1:由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A ,将 , 3, 23A a c 代入得 2 2 1 0bb ,
即 1b ,又 3, 2ac,即 2 2 2a b c,∴
2C
综上, , ……………………12 分
法 2:由正弦定理得
sin sin
ac
AC ,即 32
sinsin 3
C ,得sin 1C ,即
由勾股定理得 2 2 2 22 ( 3) 1b c a
综上, , ……………………12 分
18.（本小题满分 12 分）
解：(I)根据茎叶图可得
2
2 40(10 4 10 16) 360 3.956 3.84126 14 20 20 91K
知有 0095 以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.
……………………6 分
(Ⅱ) 从茎叶图可知, 成绩在 60 分以下(不含60 分)的男女学生人数分别是 4 人和 2 人,分别用 ,,AB
,CD和 ,EF表示,基本事件为: , , , , , , , , , , , , , ,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF
共有15个,其中性别不同的基本事件有 , , , , , , ,AE AF BE BF CE CF DE DF 共8 个,所求概率为 8
15
.
2
B
CD
E
M
N
P
……………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
(I)证明: ∵ PE EB , ,PE ED EB ED E
∴ PE 平面 EBCD
又 PE 平面 PEB , ∴平面 PEB 平面 EBCD
而 BC 平面 , BC EB , ∴平面 PBC 平面 PEB
由 ,PE EB PM MB知 EM PB ,可知 EM 平面 PBC
又 EM 平面 EMN , ∴平面 EMN 平面 PBC ……………………6 分
(Ⅱ)解: ∵ N 为 BC 中点
∴
1
12
4
EBN
EBCD
EB BNS
S EB BC
,
点 ,MP到平面 的距离之比为 1
2
∴ 1
2
1
1 1 1 13
1 2 2 4 8
3
EBC
EBCD
SV
V S
……………………12 分
20.（本小题满分 12 分）
解: （I）依题意得
2 2 2
1 2 2 2 22
2
2
a b c
ab
c
a
,解得
2
22
2
1
a
bc
即椭圆
2
2:12
xCy ……………………5 分
（Ⅱ）（II）法 1：设点 0(2, )Py， 1 1 2 2( , ), ( , ),M x y N x y
其中 2 2 2 2
1 1 2 22, 2x y x y ，由 PM OM ，
PN ON 得 1 0 2 012
1 1 2 2
1, 122
y y y yyy
x x x x
即 2 2 2 2
1 1 1 1 0 2 2 2 2 02 0, 2 0x y x y y x y x y y
注意到 ，
于是 1 1 0 2 2 02 2 0,2 2 0x y y x y y
因此 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 满足 02 2 0x yy
由 0y 的任意性知, 1, 0xy,即直线 MN 恒过一个定点(1,0) . ……………………12 分
法 2：设点 ,过点 P 且与圆 222xy相切的直线为 ,PM PN ,切点分别为 ,,MN由圆
3
的知识知, ,MN是圆以 OP 为直径的圆 2 2 2 200( 1) ( ) 1 ( )22
yyxy 和圆 222xy的两个交
点,
由
22
2 2 2 200
2
( 1) ( ) 1 ( )22
xy
yyxy
消去二次项得直线 MN 方程为
02 2 0x y y ,由 0y 的任意性知, 1, 0xy,即直线 恒过一个定点(1,0) .
……………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
解: （I） ( ) ( 1) xf x a x e
当 0a 时, ()fx在( , 1) ( 1, ) ;
当 0a 时, ()fx在( , 1) ( 1, ) . ……………………5 分
(Ⅱ)法 1： ( ) ( )f x g x ，即 ln 1( 0)xxe x x x
令 ( ) ln 1( 0)xF x xe x x x ，
则 11( ) ( 1) 1 ( 1)( )xxF x x e x exx
令 1() xxex ，显然 ()x 在(0, ) ，注意到 1( ) 2 0, (1) 1 02 ee ，于是存
在 0
1( ,1)2x 使得 0
0
0
1( ) 0xxex ，可知 ()Fx在 00(0, ) ,( , )xx
∴ 0
min 0 0 0 0 0 0 0
0
1( ) ( ) ln 1 1 0xF x F x x e x x x x xx
∴ ( ) 0Fx ,即 0x ,
综上，当 1a 时，对任意的 , 恒成立. ……………………12 分
法 2:先证 1xex,令 ( ) 1xh x e x ,则 0( ) 1xxh x e e e ,知 ()hx 在( ,0) ,
(0, ) ,于是 ( ) (0) 0h x h,即
∴ ln ln 1x x xxe e x x ,当且仅当 ln 0xx时取等号
∴当 1a 时, 对任意的 , 恒成立 ……………………12 分
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
解：（I）曲线C ： 2cos 4sin 0 ，即 22cos 4 sin
化为直角坐标方程为： 2 4xy ……………………5 分
（Ⅱ）法 1：
2
1 2
cos 4sin 0 4sin
cos
，即 1 2
4sin
cosOA
同理 2 2
2
4sin( ) 4cos2
sincos ( )2
OB
4
∴ 22
1 1 4sin 4cos 8 16 162 2 cos sin sin cos sin 2OABS OA OB
当且仅当sin 2 1 ，即 ()4k k z 时取等号
即 OAB 的面积最小值为16 ……………………10 分
法 2：显然 12ll ，设直线 1 :l y kx ，直线 2
1:l y xk ( 0)k
2
2
12
4 4 0, 0, 4xyx kx x x k
y kx
，得 22
121 4 1OA k x x k k
同理
2
2
2
1 1 4 14 1 ( ) kOB k k k
∴
22
2
2
1 1 4 1 1 14 1 8 8( ) 1622OAB
kkS OA OB k k kk k k
当且仅当 1k k ，即 1k 时取等号
即 的面积最小值为 ……………………10 分
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
（Ⅰ）解：不等式 20x m x ，即不等式 2 2 2x m x x x m x
∴
3
xm
mx
，而 0m ，于是 xm
依题意得 1m ……………………5 分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 1abc ，原不等式可化为
2 2 2abcabcb c a
法 1：∵ ,,abc +R ， 222a b ab
∴
2
2a abb ，同理
2
2b bcc ，
2
2c caa
三式相加得 ，当且仅当 abc时取等号
综上
2 2 2
1abc
b c a ……………………10 分
法 2：由柯西不等式得1 a b ca b c b c a
b c a
2 2 2abc abcb c a
（ ，且 1abc ）
整理得 （当且仅当 1
3abc 时取等号）……………………10 分
5
法 3:不妨设 0abc ,则 2 2 2 1 1 10, 0abc c b a ,由排序不等式知反序和最小,
所以 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1a b c a b cb c a b b c ,即
2 2 2abcabcb c a
综上
2 2 2
1abc
b c a （当且仅当 1
3abc 时取等号） ……………………10 分
微信/支付宝扫码支付