决胜 2020 年高考数学实战演练仿真卷 01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
数学 I
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合 ， ，则 ______．
【答案】{0}
【解析】由交集的定义可知{0}.
2.已知复数 z1＝1－2i，z2＝a＋2i（其中 i 为虚数单位，a∈R）．若 z1z2 是纯虚数，则 a 的值为______．
【答案】-4
【解析】(1－2i)(a＋2i)=a+4+(2-2a)i,因为 z1z2 是纯虚数，所以 a=-4.
3. 如图的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为_______.
【答案】8
【解析】按照程序框图运行程序，输入 i=1，S=0
i=1 不是偶数，则 S=1，i=2 [ ]n,1 ),( +∞n
nmy ln1max −−=
)(xf 21, xx 210 xx =
x
xt
1
1ln tx
tt
−=
tt
tx ln
1
1
−=
)1(121 +=+ txxx t
tt
t
xx ln
)ln2
1(2
2
2
21
−−
=−+
tt
tth ln2
1)(
2
−−= 02
)1()( 2
2
>−=′
t
tth )(th ),1( +∞ 0)1()(,1 =>> htht
1
1
2 >=
x
xt 0ln >t 0ln,1 >> tt 221 >+ xx
12
2
+m
m
S
S
12531 ,,,, −kaaaa d kaaaa 2642 ,,, q
daddaaqqaa 41,1,2 91324 +=+=+===
=
=⇒
++=+
=⇒
+=
+=
3
2
24
2
11
34
439
545
q
d
qdada
Sa
aaa
aaS
⋅
=
− 为偶数
为奇数
n
nn
a nn
,32
,
12
)(12 ∗∈−= Nkkm 12
21321232)12( 11
−+=⋅⇒+=⋅⋅− −−
kkk kk因为 为正整数，所以 为正整数，
即 ，此时 ，不成立，舍去．………………6 分
若 ，则 ， ，成立，
综上， ．………………8 分
（3）若 为 中的一项，则 为正整数，
因为
，………………10 分
所以 ，
故若 为 中的某一项，只能为 ．………………12 分
①若 ，
② ，
③ ，………………15 分
综上， 或 ．………………16 分
数学Ⅱ（附加题）
132 −⋅ k
12
2
−k
1112 =⇒=− kk 332 0 ≠⋅
)(2 ∗∈= Nkkm 1312 =⇒=+ kk 2=m
2=m
12
2
−m
m
S
S }{ na
12
2
−m
m
S
S
)()( 2242123112 −−− +++++++= mmm aaaaaaS
1313
)13(2
2
)121( 21
1
−+=−
−+−+= −
−
mmm m
m
313
)1(23 21
2
12
212
12
2 ≤−+
−−=+= −
−
−
− m
m
S
aS
S
S
m
m
mm
m
m
12
2
−m
m
S
S }{ na 321 ,, aaa
φ∈⇒=−+
−− − mm
m
m 113
)1(23 21
2
2013213
)1(23 21
21
2
=⇒=−+⇒=−+
−− −
− mmm
m m
m
11313
)1(23 2
21
2
=⇒=⇒=−+
−− − mmm
m
m
1=m 2=m（满分：40 分 考试时间：30 分钟）
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按
作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知矩阵 的一个特征值 λ＝2，其对应的一个特征向量是 ．求矩阵 M 的另一个特征值以
及它的逆矩阵．
【解析】由题意，λ＝2 是矩阵 M 的一个特征值，所以 ，
所以 ，………………2 分
所以 ，………………4 分
由方程 ．
所以 或 ，
所以 M 的另一个特征值－2．………………6 分
又因为 ，
所以矩阵 M 的逆矩阵为 ．………………………10 分
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
已知直线 l：{x＝1＋t，
y＝－t (t 为参数)与圆 C：{x＝2cos θ，
y＝m＋2sin θ(θ 为参数)相交于 A，B 两点，m 为常数.
(1)当 m＝0 时，求线段 AB 的长；
(2)当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时，求 m 的值.
0
0
a
b
= M 1
1
= α
2=Mα α
0 1 120 1 1
a
b
=
2a b= =
22( ) 4 02f
λλ λλ
−= = − =−
2λ = 2λ = −
0 2 2 4 0− × = − ≠
1
10 2
1 02
M −
=
【解析】(1)直线 l：x＋y－1＝0，曲线 C：x2＋y2＝4，………………2 分
圆心到直线的距离 d＝ 1
2
，故 AB＝2 r2－d2＝ 14.………………4 分
(2)圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－m)2＝4，直线 l：x＋y－1＝0，………………8 分
由题意，知圆心到直线的距离 d＝|m－1|
2
＝1，∴m＝1± 2.………………10 分
C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 ，且满足 ，证明： ．
【解析】因为 ， ，
所以 ，…………………3 分
又 ，…………………8 分
所以 ，当且仅当 时取等号．………………10 分
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
将 4 名大学生随机安排到 A，B，C，D 四个公司实习．
（1）求 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率；
（2）随机变量 X 表示分到 B 公司的学生的人数，求 X 的分布列和数学期望 E（X）．
【解析】（1）将 4 人安排四个公司中，共有 44＝256 种不同放法．
记“4 个人恰好在四个不同的公司”为事件 A，事件 A 共包含퐴44 = 24 个基本事件，
所以 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率 P（A） = 24
256 = 3
32．…………………………4 分
( )1 2 3, , 0,x x x ∈ +∞
1 2 3 1 2 33x x x x x x+ + = 1 2 2 3 3 1 3x x x x x x+ + ≥
( )1 2 3, , 0,x x x ∈ +∞
1 2 3 1 2 33x x x x x x+ + =
2 3 3 1 1 2
1 1 1 3x x x x x x
+ + =
⋅++ )( 133221 xxxxxx 2
2 3 3 1 1 2
1 1 1 (1 1 1) 9x x x x x x
+ + + + = ≥
1 2 2 3 3 1 3x x x x x x+ + ≥ 1 2 3 1x x x= = =（2）方法 1：X 的可能取值为 0，1，2，3，4，
P（X＝0） = 34
44 = 81
256，P（X＝1） =
퐶14 × 33
44 = 27
64，
P（X＝2） =
퐶24 × 32
44 = 27
128，P（X＝3） =
퐶34 × 3
44 = 3
64，
P（X＝4） =
퐶44
44 = 1
256．
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 81
256
27
64
27
128
3
64
1
256
…………………………………………………………8 分
所以 X 的数学期望为：E（X） = 0 × 81
256 + 1 × 27
64 +2 × 27
128 +3 × 3
64 +4 × 1
256 = 1．………………10 分
23．（本小题满分 10 分）
已 知 数 列 通 项 公 式 为 ， 其 中 为 常 数 ， 且 ， ． 等 式
，其中 为实常数．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求实数 的值．
【解析】（1）
比较可知 ； ………………2 分
而 时 ,
{ }na 1 1n
na At Bn−= + + , ,A B t 1t > n N ∗∈
( ) ( ) ( ) ( )10 2 202
0 1 2 202 2 1 1 1x x b b x b x b x+ + = + + + + +⋅⋅⋅+ + ( )0,1,2, ,20ib i = ⋅⋅⋅
0, 1A B= = 10
2
1
n n
n
a b
=
∑
1, 0A B= = ( )10
11
2
1
2 2 2 2n
n n
n
a b
=
− = −∑ t
( ) ( )( )1010 22 2 2 1 1x x x+ + = + + = ( ) ( ) ( )2 4 200 1 2 10
10 10 10 101 1 1C C x C x C x+ + + + ⋅⋅⋅+ +
( ) ( ) ( )2 20
0 1 2 201 1 1b b x b x b x= + + + + +⋅⋅⋅+ + ( )2 10 , 1,2, ,10n
nb C n= = ⋅⋅⋅
0, 1A B= = 1 1 1n
na At Bn n−= + + = +所 以
.
………………4 分
设 ，
也 可 以 写 成 ， 相 加 得 即 ， 所 以
．………………6 分
（2）当 时， ，结合（1）中结论可知
………………8 分
= ，即
因为关于 t 的式子递增，所以关于 t 的方程最多只 有一解，而观察③可知，有一解 t=2，综上可知：t=2．
………………10 分
( )10 10 10 10
2 10 10 10
1 1 1 1
1 n n n
n n
n n n n
a b n C nC C
= = = =
= + = +∑ ∑ ∑ ∑
T =
10
0 1 2 10
10 10 10 10 10
1
0 1 2 10n
n
nC C C C C
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅∑
T T = 10 2 1 0
10 10 10 1010 2 1 0C C C C⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅ 102 10 2T = ⋅ 105 2T = ⋅
10 10 10
10 10
2 10 10
1 1 1
5 2 2 1 6143n n
n n
n n n
a b nC C
= = =
= + = ⋅ + − =∑ ∑ ∑
1, 0A B= = 1 11 1n n
na At Bn t− −= + + = +
10 10 10
1
2 2 2 10
10 10
1 1 1 1 1
10(2 2 ) 2 2 2 ( 1) 2
n n
n n n n n n
n n n n n
n n n
a b a b b t C C
= = = = =
−− = − = + −∑ ∑ ∑ ∑ ∑
10 10 10 10 11 10 111 2 22[ ((1 ) 1) 2 1] [(1 2) 1] (1 ) 2 2 3 1 2 2t tt t t
+ − + − − + − = + − + − − + = − 10 102 2(1 ) 3 1 0tt t
+ − − + =
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