仿真卷02-决胜2020年高考数学实战演练仿真卷（江苏专版）（解析版）

决胜 2020 年高考数学实战演练仿真卷 02 （考试时间：120 分钟 试卷满分：160 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 数学 I 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－2x＜0}，则 A∩B＝__________． 【答案】{1} 【解析】由交集的定义可知答案{1}. 2. 若复数 是纯虚数，其中 是虚数单位，则实数 的值是_________. 【答案】-2 【解析】 ， 是纯虚数， ，解得 b= -2. 3.函数 的定义域为________． 【答案】（-1，2） ( )( )1 2bi i+ − i b ( )( )1 2 2 (2 1)bi i b b i+ − = + + − ( )( )1 2bi i+ − 2 0 2 1 0 b b + =  − ≠ 2ln( 1) 2 y x x = + + −【解析】要使函数 f（x）有意义，则 ，即 ，解得 ， 故函数的定义域为（-1，2）. 4.从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡上的数 字大于第二张卡片上的数的概率为 ． 【答案】 【解析】从 4 张卡片中随机先后抽取 2 张，共有 16 种可能，满足第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数 有 6 种情况，故概率 P＝ ． 5.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为__________． 【答案】15 【解析】S=1，I=1；S=3，I=4；S=7，I=7；S=15，I=10 此时结束循坏输出 S=15. 6.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是__________． 【答案】0.1 【解析】这组数据的平均数为 5.1,所以 ． 7.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： (a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为 ， 则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】双曲线 C： (a＞0)的右顶点为(a，0)，设右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为 d，其 中渐近线方程为 ，化为一般式为 ， 2 2 2 2 2 21 (4.7 5.1) (4.8 5.1) (5.1 5.1) (5.4 5.1) (5.5 5.1) 0.15S  ∴ = − + − + − + − + − =  1 0 2 0 x x +  − ＞ ＞ 1 2 x x −  0b > lg lg lg( 2 )a b a b+ = + 2a b+ 2lg lg lg( 2 ) 2 0, 0 11 ba b a b ab a b a a b bb + = + ⇒ = + ⇒ = > > ∴ >−  4 4 42 ( 1) 5 2 ( 1) 5 91 1 1 ba b b b bb b b + = + = + − + ≥ ⋅ − + =− − − 4 11 bb = −−时取等号）,故答案为 9. 11.若函数 在 内有且只有一个零点，则 a 的值为 ． 【答案】3 【解析】 （1）当 ，所以 ，所以在 上无零点. （2）当 ，得 ，所以 ，由 题意得 ，即 a=3. 12.在直角 中， ， 是斜边 上的两个三等分点，已知 的面积为 2，则 的最小 值为______． 【答案】 【解析】以 为坐标原点，分别以 ， 为 、 轴建立直角坐标系，设 ， ， ， ，∴ ， ， ，当且仅当 即 时取“ ”， ．故答 案为 ． 13.在锐角三角形 ABC 中，若 a=2bsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 . 【答案】8 【解析】因为 a=2bsinC，所以 ，因此 ， sin sin(B C) 2sin sin tan tan 2tan tanA B C B C B C= + = ⇒ + = tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 2 2tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C= + + = + ≥ ⇒ ≥ 3b a= = 3 2( ) 2 1( )f x x ax a= − + ∈R (0, )+∞ ),0(),3(2)( +∞∈−=′ xaxxxf 0)(,0 >′≤ xfa 1)0(0)( =∞+ fxf ）上单调增，且，在（ ),0( +∞ 0)(,0 >′> xfa ),3( +∞∈ ax ）上单调减）上单调增，（，在（ 3,03)( aaxf ∞+ 0127)3( 3 =+−= aaf ABC∆ M N BC ABC∆ AM AN⋅  16 9 A AB AC x y ( ),0B t 1 22ABCS AB AC∆ = ⋅ = 4AC t = 40,C t      8,3 3 tM t      2 4,3 3 tN t      2 2 2 32 64 1629 9 81 9AM AN t t ⋅ = + ≥ =  2 2 2 32 9 9t t = 2t = = ( ) min 16 9AM AN⋅ =  16 9即最小值为 8. 14．已知函数 ， ，若不等式 的解集中恰有两个整数， 则实数 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】由 ，可得， . 设 ，则 . 令 ， 则 ，所以 在 上单调递增. 由于 ， ，所以 ， ， 所以 在 单调递减：在 单调递增. 要使不等式 的解集中恰有两个整数， 即 的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为 2 和 3. 所以 ， ， ， ，解得 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）已知 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，且 ． ( ) lnf x x x= 2( ) ( 12) 2g x x a x a= − + + + ( ) ( )f x g x≤ a ln 2 10 4ln 2 16,2 3 − −    0)()( ≤− xgxf 2 12ln 2 + −+≥ x xxxxa ( ) 2ln 12 2 x x x xh x x + −= + ( ) ( ) 2 2 2ln 5 22 2 x x xh x x + + −= + ′ ( ) 2 2ln 5 22x x x xϕ = + + − ( 0)x > ( ) 22 5 0x x x ϕ = + + >′ ( )xϕ ( )0, ∞+ ( )2 0ϕ < ( )3 0ϕ > ( )0 2,3x∃ ∈ ( )0 0xϕ = ( )h x ( )00, x ( )0 ,x +∞ 0)()( ≤− xgxf 2 12ln 2 + −+≥ x xxxxa )1(ha < )2(ha ≥ )3(ha > )4(ha < 2 ln2 10 4ln2 16 3a − −≤ < cba ，， ABC∆ 3tan 4A =（1）若 ， ，求边 的长； （2）若 ，求 的值． 【解析】（1）在 中，由 可知 ， 由 解得 ，………………2 分 由余弦定理得 ， 得 ，即 ， 解得 ．………………6 分 （2）由 且 ，得 ， 又 ，则 ，则 ， 所以 ，………………10 分 所以 ， 所以 ………………14 分 16.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，DC∥ AB， ∠BAD＝ ，且 AB＝2AD＝2DC=2PD，E 为 PA 的中点． （1）证明：DE∥平面 PBC； 6 5a = 2b = c ( ) 10sin 10A B− = tan B ABC∆ 3tan 4A = (0, )2A π∈ 2 2 sin 3 cos 4 sin cos 1 A A A A  =  + = 3sin 5 4cos 5 A A  =  = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 26 42 2 25 5c c  = + − ⋅ ⋅ ⋅   2 16 64 05 25c c− + = 8 5c = (0, )2A π∈ (0, )B π∈ ( , )2A B ππ− ∈ − ( ) 10sin 010A B− = > (0, )2A B π− ∈ ( )cos 0A B− > ( ) 2 3 10cos 1 sin ( ) 10A B A B− = − − = ( ) sin( ) 1tan cos( ) 3 A BA B A B −− = =− ( ) 3 1 tan tan( ) 14 3tan tan 3 11 tan tan( ) 31 4 3 A A BB A A B A A B −− −= − − = = =   + ⋅ − + ⋅ 90°（2）证明：DE⊥平面 PAB． 【解析】（1）设 PB 的中点为 F，连结 EF、CF，EF∥AB ， DC∥AB，所以 EF∥DC， 且 2EF＝2DC＝AB． 故四边形 CDEF 为平行四边形，……………4 分 可得 ED∥CF------5 分 又 ED 平面 PBC，CF 平面 PBC， 故 DE∥平面 PBC……………7 分 （2）因 为 PD⊥底面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 AB⊥PD 又因为 AB⊥AD，PD AD＝D，AD 平面 PAD，PD 平面 PAD， 所以 AB⊥平面 PAD，ED 平面 PAD，故 ED⊥AB．……………12 分 又 PD＝AD，E 为 PA 的中点，故 ED⊥PA； PA AB＝A，PA 平面 PAB，AB 平面 PAB，所以 ED⊥平面 PAB……………14 分 17.某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线分所示．其上部分是以 AB 为直径 的半圆，点 O 为圆心，下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，DE、DF 是两根支杆，其中 AB＝2 m，∠ EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜π 4)．现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯，在弧 AE、弧 BF、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为 2k，节能 灯的比例系数为 k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和． (1) 试将 y 表示为 x 的函数； (2) 试确定当 x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？ 【解析】(1) 因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 π－4x,2x,2x. ⊄ ⊂ ⊂  ⊂ ⊂ ⊂  ⊂ ⊂ （第 17 题）连结 OD，则由 OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋π 2，……………4 分 所以 DE＝DF＝ 1＋1－2cos(2x＋π 2 )＝ 2＋2sin2x＝ 2(sinx＋cosx)． 所以 y＝＝2k[2 2(sinx＋cosx)－2x＋ 2＋π]……………8 分 (2) 因为由 y′＝4k[ 2(cosx－sinx)－1]＝0，……………10 分 解得 cos(x＋π 4)＝1 2，即 x＝ π 12. 又 x∈(0， π 12)时，y′＞0， y 在(0， π 12)上增；x∈( π 12，π 4)时，y′＜0， y 在( π 12，π 4)上减． 故当 x＝ π 12时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳． ……………14 分 18.如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ， 为右准线上一点．点 在椭圆上，且 ． （1）若椭圆的离心率为 ，短轴长为 ,求椭圆的方程； （2）若在 轴上方存在 两点，使 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围． 【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由题意，得 所以 ． 所以椭圆的方程为 ．……………4 分 （2） 设 ， ， 因为 FP⊥FQ，则△FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆 ． xOy 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F P Q FQ FP⊥ 1 2 2 3 x P Q， O F P Q， ， ， 2 2 2 1 2 2 2 3 c a b a b c  =  =  = + ， ， ， 2 3 a b = = ， 22 14 3 yx + = 2 ( )aP tc ， 0 0( )Q x y， 2 0 0( )( ) ( )( ) 0ax x x y t y yc − − + − − =由题意，焦点 F，原点 O 均在该圆上，所以 ……………8 分 消去 得 ，……………10 分 所以 ，因为点 P，Q 均在 x 轴上方，所以 ，即 ，……………12 分 所以 ，又因为 ，所以 ．……………16 分 19．已知函数 f(x)＝aln x＋xb(a≠0)． (1)当 b＝2 时，若函数 f(x)恰有一个零点，求实数 a 的取值范围； (2)当 a＋b＝0，b>0 时，对任意 x1，x2∈[1 e，e]，有|f(x1)－f(x2)|≤e－2 成立，求实数 b 的取值范围． 【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当 b＝2 时，f(x)＝aln x＋x2，所以 f′(x)＝a x ＋2x＝2x2＋a x ．……………2 分 ①当 a>0 时，f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 取 x0＝e－1 a ，则 f(e－1 a)＝－1＋(e－1 a)20，所以当 00)， 则 g′(b)＝eb＋e－b－2>2 eb·e－b－2＝0． 所以 g(b)在(0，＋∞)上单调递增，故 g(b)>g(0)＝0，所以 f(e)>f(1 e)． 从而 f(x)max＝f(e)＝－b＋eb．……………14 分 所以－b＋eb－1≤e－2，即 eb－b－e＋1≤0，设 φ(b)＝eb－b－e＋1(b>0)，则 φ′(b)＝eb－1． 当 b>0 时，φ′(b)>0，所以 φ(b)在(0，＋∞)上单调递增．……………16 分 20．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝3，且对任意的正整数 n，都有 Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数 λ>0.设 bn ＝an 3n (n∈N*)﹒(1) 若 λ＝3，求数列{bn }的通项公式； (2) 若 λ≠1 且 λ≠3，设 cn＝an＋ 2 λ－3×3n(n∈N*)，证明数列{cn }是等比数列； (3) 若对任意的正整数 n，都有 bn≤3，求实数 λ 的取值范围． 【解析】因为 Sn＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*， 所以当 n≥2 时，Sn＝λSn－1＋3n， 从而 an＋1＝λan＋2·3n，n≥2，n∈N*﹒ 又在 Sn＋1＝λSn＋3n＋1 中，令 n＝1，可得 a2＝λa1＋2×31，满足上式， 所以 an＋1＝λan＋2·3n, n∈N*﹒ ……………2 分 (1) 当 λ＝3 时， an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*， 从而an＋1 3n＋1＝an 3n＋2 3，即 bn＋1－bn＝2 3， 又 b1＝1，所以数列{bn }是首项为 1，公差为2 3的等差数列， 所以 bn＝2n＋1 3 .……………4 分 (2) 当 λ>0 且 λ≠3 且 λ≠1 时， cn＝an＋ 2 λ－3×3n＝λan－1＋2×3n－1＋ 2 λ－3×3n ＝λan－1＋ 2 λ－3×3n－1(λ－3＋3) ＝λ(an－1＋ 2 λ－3×3n－1)＝λ·cn－1, ……………6 分 又 c1＝3＋ 6 λ－3＝3(λ－1) λ－3 ≠0， 所以{cn }是首项为3(λ－1) λ－3 ，公比为 λ 的等比数列， cn＝3(λ－1) λ－3 ·λn－1﹒……………8 分(3) 在(2)中，若 λ＝1，则 cn＝0 也可使 an 有意义，所以当 λ≠3 时，cn＝3(λ－1) λ－3 ·λn－1. 从而由(1)和(2)可知 当 λ＝3 时，bn＝2n＋1 3 ，显然不满足条件，故 λ≠3.……………10 分 当 λ≠3 时，bn＝λ－1 λ－3×（ ）n－1－ 2 λ－3. 若 λ>3, λ－1 λ－3>0，bnbn＋1，n∈N*，且 bn>0. 所以只需 b1＝a1 3 ＝1≤3 即可，显然成立．故 0 + 37 24 60 60 = + 1> m t= 3t ≥ 1(2 ) 2 t th −> 1m t= + 1 1 1 1 1(2 ) (2 ) 2 3 2 4 2 2 t t t t th h+ += + + + ⋅⋅⋅++ + + 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 2t t t t t t + −> + + + + ⋅⋅⋅++ + + + +（ ） 3t ≥ 1 1 1 3 2 3 2 4 2 2t t t++ −+ + + 1 (2 3)2 (2 3)(2 4)(2 2) t t t t t+ − − 22= + + + 0>∴ ．　 ……………………………………………………………8 分 又 ， ………………………………………………………………………9 分 ∴ ， ∴命题成立． ……………………………………………………………………………10 分 1 1 1 3 2 3 2 4 2 2t t t++ >+ + + 1 1 1 1 2 5 2 6 2 2t t t++ ⋅⋅⋅++ + + 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2t t t+ + +> + + ⋅⋅⋅++ + + 1 2 2 2 2 t t+ −= + 1 1 1 1 3 2 2(2 ) 2 2 2 2 2 2 t t t t t th + + + − −> + + =+ +