仿真卷03-决胜2020年高考数学（文）实战演练仿真卷（解析版）

决胜 2020 年高考数学（文）实战演练仿真卷 03 （满分 150 分，用时 120 分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22～23 题为选考题，其它题为必考题。 考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事 项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将 条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的 黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应 的答题区域的答案一律无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.) 1.已知 i 是虚数单位，复数푧 = 1 ― 푖 |푖| ，下列说法正确的是(　　) A. z 的虚部为 ― 푖 B. z 对应的点在第一象限 C. z 的实部为 ― 1 D. z 的共复数为1 + 푖 1.【答案】D 【解析】 ∵ 푧 = 1 ― 푖 |푖| = 1 ― 푖， ∴ 푧的虚部为 ― 1；z 对应的点的坐标为(1, ― 1)，在第四象限； z 的实部为 1；z 的共复数为1 + 푖．故选：D． 2.若集合퐴 = {푥|1 ≤ 푥 < 2}，퐵 = {푥|푥 > 푏}，且퐴 ∩ 퐵 = A.则实数 b 的范围是(　　) A. 푏 ≥ 2 B. 1 < 푏 ≤ 2 C. 푏 ≤ 2 D. 푏 < 1 2.【答案】D 【解析】 ∵ 퐴 ∩ 퐵 = 퐴， ∴ 퐴 ⊆ 퐵， ∴ 푏 < 1．故选：D． 3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 (　　) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 3.【答案】A 【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，图①和图③是正相关，相关系数大于 0，图②和图④是 负相关，相关系数小于 0，图①和图②的点相对更加集中，所以相关性要强，所以 r1 接近于 1，r2 接近 于－1，由此可得 r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选 A． 4.已知函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为 (　　) A．(－1，－1 2) B. (－1，1) C．(－1，0) D.(1 2 ，1) 4.【答案】A 【解析】由函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数 f(2x＋1)有意义，需满足－1 0)个单位长度，到的函数푔(푥)是奇函数.则 下列结论正确的是(　　) A. t 的最小值是π 6，푔(푥)的对称中心为是(푘π 2 + π 12,0)，푘 ∈ 푍 B. t 的最小值为π 6，푔(푥)的对称轴为푥 = 푘π 2 + π 3，푘 ∈ 푍 C. t 的最小值为 π 12，푔(푥)的单调增区间为(푘π ― π 4,푘π + π 4)，푘 ∈ 푍 D. t 的最小值为 π 12，푔(푥)的周期为π 6.【答案】D【解析】函数푓(푥) = sin(2푥 ― π 6)图象上的所有点向左平移푡(푡 > 0)个单位长度，得到 푔(푥) = sin(2푥 +2푡 ― π 6)， 由于函数푔(푥)是奇函数． 所以：2푡 ― π 6 = 푘π(푘 ∈ 푍)， 解得：푡 = 푘π 2 + π 12， 由于푡 > 0， 所以：当푘 = 0时，t 的最小值为 π 12， 且函数的最小正周期为π．故选：D． 7.在等比数列{an}中，a1+an＝34，a2•an﹣1＝64，且前 n 项和 Sn＝62，则项数 n 等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7.【答案】B 【解析】因为数列{an}为等比数列，则 a2•an﹣1＝a1•an＝64①， 又 a1+an＝34②， 联立①②，解得：a1＝2，an＝32 或 a1＝32，an＝2， 当 a1＝2，an＝32 时，sn＝ ＝ ＝ ＝62， 解得 q＝2，所以 an＝2×2n﹣1＝32，此时 n＝5； 同理可得 a1＝32，an＝2，也有 n＝5． 则项数 n 等于 5，故选：B． 8. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面 积为(　　) A．17π＋3 17π B．20π＋5 17π C．22π D．17π＋5 17π 8.【答案】D 【解析】由已知可得，几何体是一个圆台和一个半球构成的组合体，圆台的上底面半径 r＝2，下底面 半径 R＝3，母线 l＝ 42＋12＝ 17，故圆台的侧面积为 π(R＋r)l＝5 17π，圆台的下底面面积为 πR2＝ 9π．半球的半径为 2，故半球面的面积为 2π×22＝8π，故该几何体的表面积 S＝5 17π＋9π＋8π＝17π＋5 17 π．故选 D． 9.设퐹1，퐹2是双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푠 > 0,푏 > 0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|푃퐹1| + |푃퐹2| = 4푎，且 △ 푃퐹1퐹2的最小内角的正弦值为1 3，则 C 的离心率为(　　) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 9.【答案】C 【解析】因为퐹1、퐹2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|푃퐹1| + |푃퐹2| = 4푎， 不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|푃퐹1| ― |푃퐹2| = 2푎， 所以|퐹1퐹2| = 2푐，|푃퐹1| = 3푎，|푃퐹2| = 푎， △ 푃퐹1퐹2的最小内角的正弦值为1 3，其余弦值为2 2 3 ， 由余弦定理，可得|푃퐹2|2 = |퐹1퐹2|2 +|푃퐹1|2 ― 2|퐹1퐹2||푃퐹1|cos∠푃퐹1퐹2， 即푎2 = 4푐2 +9푎2 ― 2 × 2푐 × 3푎 × 2 2 3 ，푐2 ― 2 2푐푎 +2푎2 = 0， 即푐 = 2푎， 所以푒 = 푐 푎 = 2．故选：C． 10.甲、乙两人约定晚 6 点到晚 7 点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安 排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A． B． C． D． 10.【答案】A 【解析】设甲到达时刻为 ，乙到达时刻为 ，依题意列不等式组为 ，画出可行域如下图阴 影部分，故概率为 . 11.设 f（x）＝x3+log2（x+ ），则对任意实数 a、b，若 a+b≥0，则（　　） A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0 11.【答案】B 3 8 3 4 3 5 4 5 x y { 0.5 0 , 1 y x x y x y ≥ + ≥ ≤ ≤ 1 11 38 2 1 8 − − =【解析】解：设 ，其定义域为 R， ＝ ＝﹣f（x）， ∴函数 f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增， 故函数 f（x）在 R 上是单调递增， 那么：a+b≥0，即 a≥﹣b， ∴f（a）≥f（﹣b）， 得 f（a）≥﹣f（b）， 可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B． 12.已知 F1，F2 分别为双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线 C 的左右两支分别交于 A，B 两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 12.【答案】A 【解析】|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5， 设|AF1|＝t，|AB|＝3x，则|BF2|＝4x，|AF2|＝5x， 根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a， 即 5x﹣t＝（3x+t）﹣4x＝2a， 解得 t＝3a，x＝a， 即|AF1|＝3a，|AF2|＝5a， ∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ABF2 是以 B 为直角的 Rt△， ∴cos∠BAF2＝ ＝ ， 可得 cos∠F2AF1＝﹣ ， △F2AF1 中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1 ＝9a2+25a2﹣2×3a×5a×（﹣ ）＝52a2， 可得|F1F2|＝2 a，即 c＝ a， 因此，该双曲线的离心率 e＝ ＝ ．故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，共 20 分，将最终结果填在答题纸上.） 13.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 ．若 a2sinC＝4sinA，（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为　 　． 13.【答案】 【解析】根据正弦定理：由 a2sinC＝4sinA，可得：ac＝4， 由于（a+c）2＝12+b2，可得：a2+c2﹣b2＝4， 可得： ＝ ＝ ．故答案为： ． 14. 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝3 2(an－1)(n∈N*)，则 an＝____________. 14.【答案】an＝3n(n∈N*) 【解析】当 n＝1 时，a1＝3； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3 2(an－1)－3 2(an－1－1)， 得到 an＝3an－1，所以 an＝3n． 15. 已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 长为 2，点 E 满足AE→ ＝1 2ED→ ，点 F 为 CD 的中点，若AD→ ·BE→ ＝－2，则CD→ ·AF→ ＝ ________． 15.【答案】－7 【解析】如图建立平面直角坐标系， 设 C(t，0)，则 A(－t，0)，B(0，－1)，D(0，1)，E(－2 3t，1 3)，F(t 2，1 2 )，故AD→ ＝(t，1)，BE→ ＝(－2 3t，4 3)，CD→ ＝(－ t，1)， AF→ ＝(3t 2，1 2)．因为AD→ ·BE→ ＝－2，所以－2 3t2＋4 3＝－2，解得 t2＝5，CD→ ·AF→ ＝－3 2t2＋1 2＝－7．故填－7． 16.已知不等式 ex﹣1≥kx+lnx，对于任意的 x∈（0，+∞）恒成立，则 k 的最大值　 　 16.【分析】不等式 ex﹣1≥kx+lnx，对于任意的 x∈（0，+∞）恒成立．等价于 对于任意的 x∈（0，+∞）恒成立．求得 ，（x＞0），的最小值即可 k 的取值． 【解答】解：不等式 ex﹣1≥kx+lnx，对于任意的 x∈（0，+∞）恒成立． 等价于 对于任意的 x∈（0，+∞）恒成立．令 ，（x＞0）， ， 令 g（x）＝ex（x﹣1）+lnx，（x＞0），则 ， ∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0， ∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0． ∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0． ∴x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增． ∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1，∴k≤e﹣1． 故答案为：e﹣1． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝4sin(x－π 3)cos x＋ 3. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (II)若函数 g(x)＝f(x)－m 在[0，π 2]上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2) 的值． 17.【解析】(I)因为 f(x)＝4sin(x－π 3) cos x＋ 3＝4(sin x－cos x)cos x＋ 3＝2sin xcos x－2 3cos2x＋ 3＝ sin 2x－ 3cos 2x＝2sin(2x－π 3)， 所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π. 由 2kπ－π 2≤2x－π 3≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 kπ－ π 12≤x≤kπ＋5π 12(k∈Z)． 所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12](k∈Z)． (II)函数 g(x)＝f(x)－m 在[0，π 2]上有两个不同的零点 x1，x2，即函数 y＝f(x)与直线 y＝m 在[0，π 2]上 的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数 y＝f(x)＝2sin (2x－π 3)在[0，π 2]上的图象，如图所 示， 由图象可知，当且仅当 m∈[ 3，2)时，方程 f(x)＝m 有两个不同的解 x1，x2，且 x1＋x2＝2×5π 12 ＝ 5π 6 ， 故 tan(x1＋x2)＝tan5π 6 ＝－tanπ 6 ＝－ 3 3 . 18. (本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保 人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (I)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 PA.的估计值； (II)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．求 PB.的估计 值； (III)求续保人本年度的平均保费估计值． 18.【解析】 (I)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2．由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的 频率为60＋50 200 ＝0.55，故 PA.的估计值为 0.55． (II)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4．由题中数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30＋30 200 ＝0.3，故 PB.的估计值为 0.3． (III)由题意有： 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a， 因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a． 19. (本小题满分 12 分) 如图所示，在三棱锥 P­ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，PA⊥AC，AB⊥BC， D，E 分别为 PA，AC 的中点． (I)求证：DE∥平面 PBC；(II)求证：BC⊥平面 PAB； (III)试问在线段 AB 上是否存在点 F，使得过 D，E，F 三点的平面内的任意一条直线都与平面 PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由． 19.【解析】(I)证明：因为 E 为 AC 的中点，D 为 PA 的中点，所以 DE∥PC． 又 DE⊄平面 PBC，PC⊂平面 PBC，所以 DE∥平面 PBC． (II)证明：因为平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，PA⊂平面 PAC，PA⊥AC， 所以 PA⊥平面 ABC． 因为 BC⊂平面 ABC， 所以 BC⊥PA． 又 AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面 PAB． 所以 BC⊥平面 PAB． (III)存在，当点 F 是线段 AB 的中点时，过 D，E，F 三点的平面内的任意一条直线都与平面 PBC 平行． 如图，取 AB 的中点 F，连接 EF，DF． 因为 D、E、F 分别为 AP、AC、AB 的中点， 所以 DE∥PC，DF∥PB， 又 PC∩PB＝P，DE∩DF＝D， 所以平面 PBC∥平面 DEF， 所以平面 DEF 内的任意一条直线都与平面 PBC 平行． 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F(1，0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点． (I)求抛物线 C 的方程； (II)若直线 OA，OB 的斜率之积为－1 2 ，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点． 20.【解析】(I)因为抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，所以p 2 ＝1，所以 p＝2，所以抛物线 C 的 方程为 y2＝4x． (II)证明：①当直线 AB 的斜率不存在时， 设 A(t2 4 ，t)，B(t2 4 ，－t)，t＞0． 因为直线 OA，OB 的斜率之积为－1 2 ， 所以 t t2 4 · －t t2 4 ＝－1 2 ，化简得 t2＝32，则 t＝4 2， 所以 A(8，4 2)，B(8，－4 2)，此时直线 AB 的方程为 x＝8． ②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立{y2＝4x， y＝kx＋b， 化简得 ky2－4y＋4b＝0，根据根与系数的关系得 yAyB＝4b k ． 因为直线 OA，OB 的斜率之积为－1 2 ， 所以yA xA·yB xB ＝－1 2 ，即 xAxB＋2yAyB＝0， 即y 4·y 4 ＋2yAyB＝0，解得 yAyB＝0(舍去)或 yAyB＝－32， 所以 yAyB＝4b k ＝－32，即 b＝－8k，所以 y＝kx－8k， 即 y＝k(x－8)． 综上所述，直线 AB 过 x 轴上一定点(8，0)． 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ex. (I)过原点作曲线 y＝f(x)的切线，求切线方程； (II)当 x>0 时，讨论曲线 y＝f(x)与曲线 y＝mx2(m>0)公共点的个数． 21.【解析】(I)由题意，设切点为 M(x0，y0)， 由题意可得 f′(x0)＝y0－0 x0－0 ，即 ex0＝ex0 x0 ， 解得 x0＝1，即切点为 M(1, e)． 所以 k＝e－0 1－0 ＝e，所以切线方程为 y＝ex. (II)当 x>0，m>0 时，曲线 y＝f(x)与曲线 y＝mx2(m>0)的公共点个数即方程 f(x)＝mx2 根的个数． 由 f(x)＝mx2 得 m＝ex x2. 令 g(x)＝ex x2 ，则 g′(x)＝xex（x－2） x4 ， 令 g′(x)＝0，解得 x＝2. 当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x (0，2) 2 (2，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) ↘ 极小值 ↗ 其中 g(2)＝e2 4 ， 所以 g(2)为 g(x)在(0，＋∞)上的最小值，且当 x→0，x→＋∞时都有 g(x)→＋∞. 所以对曲线 y＝f(x)与曲线 y＝mx2(m>0)公共点的个数，讨论如下： 当 m∈(0，e2 4)时，有 0 个公共点；当 m＝e2 4 时，有 1 个公共点；当 m∈(e2 4 ，＋∞)时，有 2 个公共 点． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为{x＝cosθ， y＝sinθ (θ 为参数)，过点(0，－ 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点． (I)求 α 的取值范围； (II)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程． 22.【解析】 (I)⊙O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝1.当 α＝π 2 时，l 与⊙O 交于两点． 当 α≠π 2 时，记 tanα＝k，则 l 的方程为 y＝kx－ 2.l 与⊙O 交于两点，当且仅当 2 1＋k2 ＜1，解得 k＜－ 1 或 k＞1，即 α∈(π 4 ，π 2)或 α∈(π 2 ，3π 4 ). 综上，α 的取值范围是(π 4 ，3π 4 ). (II)l 的参数方程为{x＝tcosα， y＝－ 2＋tsinα(t 为参数，π 4 ＜α＜3π 4 ). 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tP＝tA＋tB 2 ，且 tA，tB 满足 t2－2 2tsinα＋1＝0. 于是 tA＋tB＝2 2sinα，tP＝ 2sinα. 又点 P 的坐标(x，y)满足{x＝tPcosα， y＝－ 2＋tPsinα， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 {x＝ 2 2 sin2α， y＝－ 2 2 － 2 2 cos2α (α 为参数，π 4 ＜α＜3π 4 ). 23. (本小题满分 10 分)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (I)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集； (II)若 x∈(0，1)时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围． 23.【解析】 (I)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， 即 f(x)＝{－2，x ≤ －1， 2x，－1＜x＜1， 2，x ≥ 1. 故不等式 f(x)＞1 的解集为{x|x＞1 2}. (II)当 x∈(0，1)时，|x＋1|－|ax－1|＞x 成立，等价于当 x∈(0，1)时，|ax－1|＜1 成立． 若 a≤0，则当 x∈(0，1)时，|ax－1|≥1. 若 a＞0，|ax－1|＜1 的解集为 0＜x＜2 a ，所以2 a≥1，故 0＜a≤2. 综上，a 的取值范围为(0，2]．