决胜 2020 年高考数学实战演练仿真卷 04
（考试时间：120 分钟 试卷满分：160 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
数学 I
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.设集合 ，集合 ，则 ．
【答案】(0,1)
【解析】集合 A＝ ，所以， (0,1).
2.若 ，其中 都是实数， 是虚数单位，则 = ．
【答案】
【解析】由题意 ，得 ，则 .
3.某市有中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家，为了了解企业
的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为 的样本，已知从国有企业中抽取了 12
家，那么 ______.
【答案】40
bii
a −=− 11
ba, i bia +
5
2{ 1}A x x= < { 0 2}B x x= < < =BA
{ 1 1}x x− < < =BA
ibbbiia )1(1)1)(1( +−−=−−= 1,2 −== ba 5=+ bia
n
n =【解析】由题意可知 ，解得： .故答案为：40
4.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该
双曲线的离心率为____________．
【答案】
【解析】由题意可知 ，则 .
5.函数 的定义域为__________．
【答案】(0,1]
【解析】由题意可知 ，解得： .
6.根据如图所示的伪代码，输出 的值为______.
【答案】10
【解析】模拟执行程序，可得 ，
满足条件 ， ，
满足条件 ， ，
满足条件 ， ，
不满足条件 ，退出循环，输出的 的值为 10，故答案为：10
7.已知 ， ，直线 ： ，直线 ： ，则这两条直线的交点在第
一象限的概率为 ．
12
240 800
n= 40n =
xOy ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2 0x y− =
2
5
2
1=
a
b
2
51 2
2
=+==
a
b
a
ce
1
2
logy x=
≥
>
0log
0
2
1 x
x ( ]1,0∈x
S
1, 1S I= =
6I ≤ 2, 3S I= =
6I ≤ 5, 5S I= =
6I ≤ 10, 7S I= =
6I ≤ S
{ }1 2 3a∈ ，， { }1 2 3 4 5b∈ ，，，， 1l 3ax by+ = 2l 2 2x y+ =
第 6 题【答案】
【解析】联立方程组解得交点 ，这两条直线的交点在第一象限得 ，
满足的（a，b）有（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），而两条直线相交满
足 的（a，b）有 3×5=15，故所求得概率为 .
8.如图，将数列 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 构
成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，若 ，则
________.
【答案】3
【解析】 从第 2 行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，
，第 行的个数为 ，
从第 1 行到第 行的所有数的个数总和为 ，
， 是第 行第 个数，
，
整理得 ,故答案为:3.
9.设 A, B, C,P 分别是球 O 表面上的四个点，PA, PB,PC 两两垂直,PA=PB=PC=1 ,则球的表面积为________.
【答案】
【解析】以 PA, PB,PC 为棱构造正方体，则球 O 的直径 2r= ，所以 .
10.已知函数 的图象上每个点向左平移 （ ）个单位长度得到函数 的
图象，则 的值为 ．
5
2
)2
23,2
62( ab
a
ab
b
−
−
−
−
02
62 >−
−
ab
b 02
23 >−
−
ab
a
ab 2≠
5
2
{ }na 1 2 5, , ,a a a
d 3 865, 524a a= =
d =
d
2 3 5a a d d∴ = − = − n 2 1n −
n 2(1 2 1)
2
n n n
+ − =
286 9 5= + 86a∴ 10 5
8 8 8
86 82 24 2 4 5 2 (2 4) 524a a d a d d∴ = + = ⋅ + = ⋅ − − =
252 756, 3d d= ∴ =
π3
3 ππ 34 2 == rS
sin 2y x= ϕ π0 2
ϕ< < πsin 2 6y x = +
ϕ
1
2 3 4
5 6 7 8 9
a
a a a
a a a a a
⋅⋅⋅
第 8 题图【答案】
【解析】因为函数 的图象上每个点向左平移 个单位长度，所以 ，得
，得 ，因为
， .
11.已知菱形 的棱长为 3， 为棱 上一点且满足 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ,得
，得 ,
得 ,所以 ，得 .
12.已知 ，圆 ，若圆 上存在点 ，使得 成立，则实
数 的取值范围为 ．
【答案】[-5，-1] [3，7]
【解析】设 ，则 ，
,因为 ，所以， .
所以 P 的轨迹方程为 ，由题意得两圆有公共点，可知： ，解得 的取值
范围为[-5，-1] [3，7].
13.设函数 ,若当 时 ，求 的取值范围 ．
【答案】
2( ) 1xf x e x ax= − − − 0x ≥ ( ) 0f x ≥ a
1( , ]2
−∞
12
π
sin 2y x= ϕ )22sin( ϕ+= xy
622
ππϕ += k Zkk ∈+= ,12
ππϕ π0 2
ϕ< <
12
πϕ =所以
ABCD E CD 2CE ED= 6AE EB⋅ = − cosC =
3
1
6AE EB⋅ = − 6)()( −=−•− CECBDADE
6−=•+•−•−• CEDACBDACEDECBDE 692 −=•+−+•− CECBCBED
13
1 =•CBCD 1cos333
1 =×× C 3
1cos =C
( ) ( )1,4 , 2,1A B− ( ) ( )2 2: 2 16C x a y− + − = C P 2 22 24PA PB+ =
a
∪
),( yxP 01782)4()1( 22222 =+−++=−++= yxyxyxPA
0524)1()2( 22222 =+−−+=−+−= yxyxyxPB 2 22 24PA PB+ = 4)2()1( 22 =−+− yx
4)2()1( 22 =−+− yx 612 ≤−≤ a a
∪【解析】 ,且 ，当且仅当 时等号成立.故
，
从而当 ，即 时， ，而 ，
于是当 时， .
由 可得 .从而当 时，
，
故当 时， ，而 ，于是当 时， .
综合得 的取值范围为 .
14.实数 、 满足 ，则 的最大值是 ．
【答案】2
【解析】当 时，此时 ，当 时，此时 ，
易知： ，令 ， ，则 ，
当 时，此时 ，易知： ，令 ， ，则
，综上： 最大值为 2.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
'( ) 1 2xf x e ax= − − 1xe x≥ + 0x =
'( ) 2 (1 2 )f x x ax a x≥ − = −
1 2 0a− ≥ 1
2a ≤ '( ) 0 ( 0)f x x≥ ≥ (0) 0f =
0x ≥ ( ) 0f x ≥
1 ( 0)xe x x> + ≠ 1 ( 0)xe x x− > − ≠ 1
2a >
'( ) 1 2 ( 1) ( 1)( 2 )x x x x xf x e a e e e e a− −< − + − = − −
(0,ln 2 )x a∈ '( ) 0f x < (0) 0f = (0,ln 2 )x a∈ ( ) 0f x <
a 1( , ]2
−∞
x y 2 2( 2) 1x y+ − ≤
2 2
3x y
x y
+
+
0x =
2 2
3 3x yP
x y
+= =
+ 0x >
2
31
1 ( )
y
xP
y
x
+
=
+
[ 3, )y
x
∈ +∞ tany
x
α= [ , )3 2
π πα ∈ 2sin( ) ( 3,2]6P
πα= + ∈
0x <
2
31
1 ( )
y
xP
y
x
+
=
+
( , 3]y
x
∈ −∞ − tany
x
β= ( , ]2 3
π πβ ∈ − −
2sin( ) [1, 3)6P
πα= − + ∈ P15．（本小题满分 14 分）已知向量 ＝(sinx， )， ＝(cosx，﹣1)．
（1）当 ∥ 时，求 tan2x 的值；
（2）设函数 ，且 (0， )，求 的最大值以及对应的 x 的值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
.
……………3 分
所以 .……………6 分
（2） ……………10 分
.
因此 f(x)最大值为 ，此时 ,k∈N.……………14 分
16.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P—ABC 中，过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D。E，F 分别是 PD，PC
的中点，且平面 PAB⊥平面 PCD．
（1）求证：EF∥平面 ；
（2）求证：CE⊥AB．
【解析】(1) 因为 分别是 的中点，
所以 是 的中位线……………2 分
所以
又 平面 ， 平面
所以 平面 ……………6 分
（2）因为 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ……………10 分
所以 平面
a 3
4 b
a b
( ) 2( )f x a b b= + ⋅ x ∈
2
π
( )f x
ba∥ xx cos4
3sin1- =×
4
3tan −=x
7
24
)4
3(1
)4
3(2
tan1
tan22tan
2
2
−=
−−
−×
=−=
x
xx
2
32cos2sin2
1cos2cossin2)(2)( 2 ++=++=⋅+= xxxxxbbaxf
2
3)42(sin2 ++= π
x 2
32 + ππ
kx +=
8
ABPD ⊥又 平面
所以 .……………14 分
17.（本小题满分 14 分）如图，在圆锥 中，底面半径 为3，母线长 为 5.用一个平行于底面的平面区截
圆锥，截面圆的圆心为 ，半径为 ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心 为顶
点挖去一个倒立的小圆锥 ，记圆锥 的体积为 .
（1）将 表示成 的函数；
（2）求 得最大值.
【解析】（1）在 中， ， ………2分
由 ∽ 可知， ，所以 ，……………………4 分
所以 ，所以 ．…7 分
（2）由（1）得 ，
所以 ，令 ，得 ，………………………9 分
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减．所以当 时， 取得最大值 ．
答：小圆锥的体积 的最大值为 ．………………………………………14 分
18. （本小题满分 16 分）
如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的焦距为 4，两条准线
间的距离为 8，A,B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。
(1)求椭圆 E 的标准方程:
SO R l
1O r O
1OO 1OO V
V r
V
SAO△ 2 2 2 25 3 4SO SA AO= − = − =
1SNO△ SAO△ 1SO r
SO R
= 1
4
3SO r=
1
44 3OO r= − 2 2 31 4 4( ) π (4 ) π(3 ),0 33 3 9V r r r r r r= − = − < <
2 34( ) π(3 ),0 39V r r r r= − < <
24( ) π(6 3 )9V r r r′ = − ( ) 0V r′ = 2r =
(0,2)r ∈ ( ) 0V r′ > ( )V r (0,2)
(2,3)r ∈ ( ) 0V r′ < ( )V r (2,3) 2r = ( )V r 16π(2) 9V =
V 16π
9
xOy
2 2
2 2: 1x yE a b
+ = ( 0)a b> >(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC=4，点 M,N 分别在边 BC,CD 上，AM 与 BN 相交于第一象限内的
点 P.
①若 M,N 分别是 BC,CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上;
②若点 P 在椭圆 E 上，证明: 为定值，并求出该定值.
【解析】（1）设椭圆的 的焦距为 ，
则由题意，得 ，解得 ，……………2 分
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；……………4 分
（2）①证明：由已知，得 ， ， ， ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ， ，……………8 分
因为 ，
所以点 在椭圆上；……………10 分
②解法一：设 ， ， ， ，
则 ， ，
直线 的方程为 ，……………12 分
令 ，得 ，
直线 的方程 ，……………14 分
2 ( 2 2)4
2 4
y x
y x
= +
= − +
6 25
8
5
x
y
=
=
6 2( 5P 8)5
BM
CN
E 2c
2
2 4
2 8
c
a
c
= =
2
2
8
c
a
=
=
2 2 2 4b a c= − =
E
2 2
18 4
x y+ =
(2 2M 2) (0,4)N (2 2B 0)
AM 2 ( 2 2)4y x= + BN 2 4y x= − +
2 26 2 8( ) ( )5 5 18 4
+ =
P
0(P x 0 )y 0( 0x > 0 0)y >
2 2
0 0 18 4
x y+ = 2 2
0 0
1 (8 )2y x= −
AP 0
0
( 2 2)
2 2
yy x
x
= +
+
2 2x = 0
0
4 2
2 2M
yy
x
=
+
BP 0
0
( 2 2)
2 2
yy x
x
= −
−令 ，得 ，
所以 ．……………16 分
19.（本小题满分 16 分）已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 的导函数 存在两个不相等的零点，求实数 的取值范围；
（3）当 时，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 恒成立？若存在，
求出 的最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1） ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，得 ．……………………………………………2 分
（2）因为 存在两个不相等的零点．
所以 存在两个不相等的零点，则 ．
①当 时， ，所以 单调递增，至多有一个零点．……4 分
②当 时，因为当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 时， ． …………………………6 分
因为 存在两个零点，所以 ，解得 ．………7 分
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 在 上存在一个零点． …………8 分
因为 ，所以 ．
4y = 0
0
4( 2 2)2 2N
xx y
−− =
2
2 0
0 0 0
2 2
0 00 0
12 (8 )4 2 2| | 22| | | | | |8 8 2| 2 2 | 2 2 4( 2 2)
M
N
xy y yyBM
CN x xx x x
× −
= = = = =− −− + −
1( ) ( )lnf x a xx
= − ( )a R∈
( )y f x= (1, (1))f 1 0x y+ − = a
( )f x '( )f x a
2a = λ x ( )f x λ≥
λ
( )2
1 1 1( ) lnf x x a x xx
′ = + −
( )y f x= (1, (1))f 1 0x y+ − =
(1) 1 1f a′ = − = − 0a =
2
1 ln( ) ax xf x x
− +′ =
( ) 1 lng x ax x= − + 1( )g x ax
′ = +
0a≥ ( ) 0g x′ > ( )g x
0a < 1(0 )x a
∈ −， ( ) 0g x′ > ( )g x
1( + )x a
∈ − ∞， ( ) 0g x′ < ( )g x
1x a
= − max
1 1( ) ( ) ln( ) 2g x g a a
= − = − −
( )g x 1ln( ) 2 0a
− − > 2e 0a−− < <
2e 0a−− < < 21 e 1a
− > >
(1) 1 0g a= − < ( )g x 1(0 )a
−，
2e 0a−− < < 21 1( )a a
− > −因为 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 在 上存在一个零点．
综上可知，实数 的取值范围为 ．…………………………………10 分
（3）当 时， ， ，
设 ，则 ．所以 单调递增，
且 ， ，所以存在 使得 ，……12 分
因为当 时， ，即 ，所以 单调递减；
当 时， ，即 ，所以 单调递增，
所以 时， 取得极小值，也是最小值，
此时 ，……………14 分
因为 ，所以 ，
因为 ，且 为整数，所以 ，即 的最大值为-1．………16 分
20．（本小题满分 16 分）数列 满足 对任意的 恒成立， 为其前 n 项的
和，且 ， .
（1）求数列 的通项 ；
2 21 1 1[( ) ] ln( ) 1g a a a
− = − + − 1t a
= − 22ln 1( e )y t t t= − − >
2 0ty t
−′ = < 22ln 1( e )y t t t= − − >
( )2 2 22ln e e 1 3 e 0y < − − = − < 2 21 1 1[( ) ] ln( ) 1 0g a a a
− = − + − <
( )g x 1( )a
− + ∞，
a 2( e ,0)−−
2a = 1( ) (2 )lnf x xx
= − ( )2 2
1 1 1 2 1 ln( ) ln 2 x xf x x x xx x
− +′ = + − =
( ) 2 1 lng x x x= − + 1( ) 2 0g x x
′ = + > ( )g x
1 1( ) ln 02 2g = < (1) 1 0g = > 0
1( 1)2x ∈ ， 0( ) 0g x =
0(0 )x x∈ ， ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x
0( + )x x∈ ∞， ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0x x= ( )f x
( )0 0 0 0
0 0 0
1 1 1( ) (2 )ln (2 ) 1 2 (4 ) 4f x x x xx x x
= − = − − = − + +
0
1( 1)2x ∈ ， 0( ) ( 1 0)f x ∈ − ，
( )f x λ≥ λ 1λ −≤ λ
{ }na 1 12n n na a a+ −= − *2,n n N≥ ∈ nS
4 4a = 8 36S =
{ }na na（2）数列 满足 ，其中 .
①证明：数列 为等比数列；
②求集合
【解析】（1）因为数列 满足 对任意的 恒成立，
所以数列 是等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，所以 ，解得： ，
因此 ；………………………4 分
（2）①因为数列 满足 ，
，
所以 （ ），………………………6 分
两式作差可得： （ ），
又 也满足上式，所以 ，…………8 分
记数列 的前 项和为 ，
则 ，
当 时， ，两式作差可得： ，…………10 分
所以 ，
{ }nb ( )1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 2n
n n k n k n nb a b a b a b a a− − + −+ + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ + = − − *1,2, , ,= ⋅⋅⋅ ∈k n n N
{ }nb
( ) *3, , , .pm
m p
aam p m p Nb b
= ∈
{ }na 1 12n n na a a+ −= − *2,n n N≥ ∈
{ }na d
4 4a = 8 36S =
1
1
3 4
8 78 362
a d
a d
+ = ×+ =
1 1
1
a
d
=
=
*,na n n N= ∈
{ }nb ( )1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 2n
n n k n k n nb a b a b a b a a− − + −+ + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ + = − −
( ) ( )1 22 1 (2 3) 3 2 1 2− + − +⋅⋅⋅+ = − −n
nb n b n b n
( ) ( )1
1 2 1(2 3) 2 5 3 2 1 2 2−
−− + − +⋅⋅⋅+ = − − +n
nb n b n b n *2,n n N≥ ∈
( ) 1
1 2 12 3 2 2−
−+ +⋅⋅⋅+ + = ⋅ −n
n nb b b b *2,n n N≥ ∈
( )1 1 3 2 1 2= − −b a ( ) 1
1 2 12 3 2 2−
−+ +⋅⋅⋅+ + = ⋅ −n
n nb b b b ( )*n N∈
{ }nb n nT
12 3 2 2−− = ⋅ −n
n nT b
2n ≥ 2
1 12 3 2 2−
− −− = ⋅ −n
n nT b 2
1 3 2n
n nb b −
−+ = ⋅
( )1 2 1 0
1 12 2 ( 1) ( 2 ) 0− − −
−− = − − = ⋅⋅⋅ = − − =n n n
n nb b b即 ，
所以 ，因此 ，即数列 为等比数列；…………12 分
②由 得 ，即 ，
记 ，由①得 ，所以 ，因此 （当且仅当 时等号成立）.
由 得 ，所以 .…………13 分
设 ，由 得 ，即 ；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，此时 符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意，…………14 分
下面证明当 ， 时， ，
不妨设 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 单调递增；
所以 ，
所以，当 ， 时， 恒成立，不符合题意；
( )1 2 1 0 1
1 12 2 ( 1) ( 2 ) ( 1) (1 1) 0− − − −
−− = − − = ⋅⋅⋅ = − − = − − =n n n n
n nb b b
12n
nb −= 1 2n
n
b
b
+ = { }nb
3 pm
m p
aa
b b
=
1 1
3
2 2m p
m p
− −= 32 p m p
m
− =
n
n
n
ac b
=
12 −=n n
nc 1 1 12
+ += ≤n
n
c n
nc 1n nc c +≥ 1n =
3 pm
m p
aa
b b
= 3= >m p pc c c f x f
4t ≥ *t N∈ 3 12 3
=
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