理科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 15 页）
2020 年福建省高三毕业班质量检查测试
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该
题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A
7．C 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．
13． 2i 14．9 15． 1
3
16．8
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12
分．
解法一：（1）由余弦定理得， 2 2 2 2 cosc a b ac B ， ............................................... 2 分
又 2 2 2 2c a b ab ，所以 2 cos 2ac B ab ，即 cosc B b ，
由正弦定理得，sin cos sinC B B ， ....................................................................... 4 分
显然 cos 0B ，所以 tan sinBC ， ........................................................................ 5 分
因为 3sin 3C ，所以 3tan 3B ， 又因为 0 B ，所以
6B ．................. 6 分
（2）在 ABD△ 和 BCD△ 中， BD a ，由余弦定理可得
2
22
2 2 2 ++ 2cos 2 2 2
bacBD AD ABADB bBD AD a
， ....................................................... 7 分
2
22
2 2 2 ++ 2cos 2 2 2
baaBD CD BCCDB bBD CD a
，...................................................... 8 分
因为 cos cos 0ADB CDB ，所以
2
22
2
bca， .............................................. 9 分
又因为 2 2 2 2c a b ab ，所以 224 4 0a ab b ，即
2
4 4 1 0aa
bb
， .... 10 分
解得 12
2
a
b
，因为 0, 0ab，所以 12
2
a
b
. ............................................ 12 分
理科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 15 页）
解法二：（1）由已知，根据正弦定理得 2 2 2sin sin sin 2sin sinC A B A B ，
............................................................................................................................... 2 分
所以 2 22sin cos cos sin sin sin 2sin sinA B A B A B A B ， .............................. 3 分
得 2 2 2 2 2 2sin cos cos sin 2sin cos sin cos sin sin 2sin sinA B A B A A B B A B A B ，
故 2 2 2 2 2sin cos cos 1 sin 2sin cos sin cos sin 2sin sinA B A B A A B B A A B ，
于是 2 2 2 2 2sin cos sin sin sin 2sin cos sin cos 2sin sinA B A B A A A B B A B ，
2 2 2 2sin cos sin 1 sin 2sin cos sin cos 2sin sinA B A B A A B B A B ，
22sin cos sin cos sin cos sin sinA B A A B B A B， .................................................... 4 分
因为sin cos 0AB ，所以 sin sinsin cos cos sin sin cos
ABA B A B AB，
所以sin tanCB ， .................................................................................................... 5 分
因为 3sin 3C ，所以 3tan 3B ，又因为 0,B，所以
6B ． .................. 6 分
（2）因为 D 是 AC 中点，所以 1
2BD BA BC，
所以 2 2 21 24BD BA BC BA BC ， ..................................................................... 7 分
因为 BD BC a，所以 2 2 24 2 cosa c a ac B ， .............................................. 8 分
又因为
2 2 2
cos 2
a c bB ac
，所以 2 2 2 2 2 24a c a a c b ，
所以 2 2 222a c b， .................................................................................................... 9 分
又因为 2 2 2 2c a b ab ，所以 2 2 2 22 2 2a b a ab b ，
所以 2244a b ab ，即
2
4 4 1 0aa
bb
， ....................................................... 10 分
解得 12
2
a
b
，因为 0, 0ab，所以 12
2
a
b
. ............................................ 12 分
解法三：（ 1）同解法一． ................................................................................................... 6 分
（2）在 ABC△ 中，由正弦定理知：
sinsin sin cos cos sin coscos sinsin sin sin sin
BCa A B C B C BCCb B B B B
，
............................................................................................................................... 7 分
又由（1）知sin tanCB ，所以 coscos tan cos 1sin
aBC B CbB ，
即 cos 1aC b， .......................................................................................................... 8 分
又 BD BC ，所以
2
a BC BD
b AC DC ，
又因为 BDC C ， 2DBC C BDC C ，
理科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 15 页）
在 BCD△ 中， sin sin 1
sin 2sinCcos 2cos
BD C C
DC DBC C C
，所以 1
4cos
a
bC ，
即 cos 4
bC a ， ............................................................................................................ 9 分
所以
2
4 4 1 0aa
bb
， ........................................................................................ 10 分
解得 12
2
a
b
，因为 0, 0ab，所以 12
2
a
b
. ............................................ 12 分
解法四：（ 1）同解法一． .................................................................................................. 6 分
（2）延长 BD 至 E ，使得 DE BD ，连接 ,CE AE ，如图所示.
因为 D 为 AC 中点，所以四边形 ABCE 是平行四边形，
所以 BCE ABC ，………………………….7 分
在 BCE△ 中，CE AB c, 2 2 2BE BD BC a ，
由余弦定理得： 222 222 3cos 22
a c a caBCE ac ac
，即
223cos 2
caABC ac
，
....................................................................................................................................... 8 分
在 ABC△ 中，
2 2 2
cos 2
c a bABC ac
，
所以 2 2 2 2 23c a b a c ，即 2 2 222c a b， ....................................................... 9 分
又因为 2 2 2 2c a b ab ， 所以 2 2 2 22 2 2ab b a a b ，
得 224 4 0a ab b ，即
2
4 4 1 0aa
bb
， ..................................................... 10 分
解得 12
2
a
b
，因为 0, 0ab，所以 12
2
a
b
. ............................................ 12 分
解法五：（ 1）同解法一． ................................................................................................... 6 分
（2）因为 BD BC ，所以 BDC C， 2DBC C BDC C ，
在 BCD△ 中，由正弦定理知：
sin
sin
CD CBD
BC BDC
，即 sin 2 2cos2 sin
Cb CaC
， .................................................. 7 分
所以 2 2 22
22
a b cb
a ab
，......................................................................................... 8 分
化简得 2 2 222a b c ， ................................................................................................ 9 分
又因为 2 2 2 2c a b ab ，所以 2 2 2 22 2 2a b a ab b ，
所以 2244a b ab ，即 224 4 0a ab b ，即
2
4 4 1 0aa
bb
， ................ 10 分
解得 12
2
a
b
，因为 0a ， 0b ，所以 12
2
a
b
. ........................................ 12 分
理科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 15 页）
18．本小题考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与
性质，三棱锥的体积与二面角等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求
解能力；考查化归与转化思想，函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算
等核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分．
解法一：（1）依题意得，在矩形 ABCD 中， 2AB ， 3BC ， 2BE EC ，
所以 3, 1AD EC．
在线段 1BA上取一点 M ，满足 12AM MB ，
又因为 12DF FB ，所以 11B M B F
MA FD ，
故 FM AD， ····················································· 1 分
又因为 EC AD ，所以 EC FM ， ......................................................................... 2 分
因为 1 13FM AD，所以 EC FM ， .................................................................... 3 分
所以四边形 FMEC 为平行四边形，所以CF EM ， .............................................. 4 分
又因为CF 平面 1B AE ， EM 平面 ，
所以CF 平面 . .................................................................................................. 5 分
（2）设 1B 到平面 AECD 的距离为 h ，
1
1
3B AED AEDV S h △ ，又 3AEDS △ ，
所以
1B AEDVh ，故要使三棱锥 1B AED 的体积取到最大值，须且仅需 取到最大值．
取 AE 的中点O ，连结 1BO，依题意得 1B O AE ，则 1 2h BO≤ ，
因为平面 1B AE 平面 AECD AE ， ， 1BO 平面 ，
故当平面 1B AE 平面 AECD 时， 1BO 平面 ， 1h B O ．
即当且仅当平面 平面 时，
1B AEDV 取得最大值，此时 2h ． ..... 6 分
如图，以 D 为坐标原点， DA ， DC 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐
标系 D xyz ，得 0,0,0D ， 1,2,0E ， 1 2,1, 2B ，
1 2,1, 2DB ， 1,2,0DE ， ······························ 7 分
设 ,,x y zn 是平面 1B ED 的一个法向量，
则 1 0,
0,
DB
DE
n
n
······················································ 8 分
得 2 2 0,
2 0,
x y z
xy
令 1y ，解得 32,1,
2
n ， ···· 9 分
又因为平面CDE 的一个法向量为 0,0,1m ， ................................................... 10 分
所以
3
3 192cos 199412
mnmn mn
， ....................................................... 11 分
因为 1B DE C为钝角，所以其余弦值等于 3 19
19 . ........................................... 12 分
h
理科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 15 页）
解法二：（1）依题意，在线段 AD 上取一点Q ，使得 2
3DQ DA ，
因为 12DF FB ，所以
1
DQ DF
DA DB ，所以 1FQ B A ，….1 分
因为 FQ 平面 1B AE ， 1BA 平面 1B AE ，
所以 FQ 平面 ， ............................................................................................... 2 分
在矩形 ABCD 中， AD BC ， 2BE EC ，所以 11
33EC BC AD AQ ，
又 AQ EC ，所以四边形QAEC 为平行四边形，故QC AE ，
又因为CQ 平面 ， AE 平面 ，所以CQ 平面 ， .................. 3 分
又因为CQ FQ Q ，所以平面QCF 平面 ， ............................................. 4 分
又因为CF 平面QCF ，所以CF 平面 ．. ................................................ 5 分
（2）设 1B 到平面 AECD 的距离为 h ，
1
1
3B AED AEDV S h △ ，又 3AEDS △ ，
所以
1B AEDVh ，故要使三棱锥 1B AED 的体积取到最大值，须且仅需 取到最大值．
取 AE 的中点O ，连结 1BO，依题意得 1B O AE ，则 1 2h BO≤ ，
因为平面 1B AE 平面 AECD AE ， ， 1BO 平面 1B AE ，
故当平面 1B AE 平面 AECD 时， 1BO 平面 ， 1h B O ．
即当且仅当平面 平面 时，
1B AEDV 取得最大值，此时 2h ． ..... 6 分
如图，以O 为坐标原点，EC ，CD 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标
系 O xyz ，得 1 0,0, 2B ， 2,1,0D ， 1, 1,0E ，
所以 1 1,1, 2EB ， 1,2,0ED ，………………..7 分
设 ,,x y zn 是平面 1B ED 的一个法向量，
则 1 0,
0,
EB
ED
n
n
······················································ 8 分
得 2 0,
2 0,
x y z
xy
令 1y ，解得 32, 1,
2
n ， ........................................... 9 分
又因为平面CDE 的一个法向量为 0,0,1m ， ................................................... 10 分
所以
3
3 192cos 199412
mnmn mn
， ....................................................... 11 分
因为 1B DE C为钝角，所以其余弦值等于 3 19
19 . ........................................... 12 分
h
理科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 15 页）
解法三：（1） 延长 ,AE DC 相交于点 N ，在矩形 ABCD 中， 2BE EC ，所以 2
3
DC
DN ，
………………………………………………………………………………………….2 分
又因为 12DF FB ，所以
1
DC DF
DN DB ，所以 1CF B N ，….4 分
又因为CF 平面 1B AE ， 1BN 平面 ，
所以CF 平面 …………………………………………5 分
（2）设 1B 到平面 AECD 的距离为 h ，
1
1
3B AED AEDV S h △ ，
又 3AEDS △ ，所以 1B AEDVh ，故要使三棱锥 1B AED 的体积取到最大值，须且仅需
取到最大值．
取 AE 的中点O ，连结 1BO，依题意得 1B O AE ，则 1 2h BO≤ ，
因为平面 1B AE 平面 AECD AE ， ， 1BO 平面 1B AE ，
故当平面 1B AE 平面 AECD 时， 1BO 平面 ， 1h B O ．
即当且仅当平面 平面 时， 1B AEDV 取得最大值，此时 2h ． .... 6 分
过 O 作OH DE ，垂足为 H ，连接 1BH，
因为 1BO 平面 AECD ，所以 1B O DE ，……………… 7 分
又因为 ， 1B O OH O ，所以 DE 平面 1B OH ，… 8 分
所以 1B H DE ，所以 1B HO 为二面角 1A DE B的平面角，
即 为二面角 1B DE C的平面角的补角. .................................................. 9 分
设 A 到直线 DE 的距离 d ， 11 322AEDS DE d AD DC △ ，
又因为 222 1 5DE ，得 6
5
d ，所以 3
2 5
dOH ， ............................ 10 分
在 1B OH△ 中， 1 2BO ， 3
5
OH ，且 1 90BOH，
所以 2 2 2
11
19
5B H B O OH ，所以 1
1
3 19cos 19
OHB HO BH ， ......................... 11 分
二面角 1B DE C的余弦值等于 3 19
19 ................................................................ 12 分
19．本小题主要考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础
知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考
查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分
12 分．
解法一：（1）因为椭圆 E 的焦距为 23，所以 3c ， ............................................... 1 分
所以 223ab，① ..................................................................................................... 2 分
h
理科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 15 页）
当 2l 垂直 x 轴时， 3MG ，因为 ABG△ 的面积为 33
2
，即 1 3 3
22AB MG，
所以 3AB ，不妨设 31, 2A
， ........................................................................... 3 分
代入椭圆 E 的方程得 22
1314ab，②
联立①② 解得 2 4a ， 2 1b ，所以椭圆 E 的方程
2
2 14
x y．. ........................ 5 分
（2）设 11,A x y ， 22,B x y ，则 14,Cy.
因为直线 2l 不与 x 轴重合，故可设 2l 方程为 1x my， ....................................... 6 分
联立 2
2
1,
1,4
x my
x y
整理得 224 2 3 0m y my ，
所以 2=16 3 0m ， 12 2
2
4
myym
， 12 2
3
4yy m
， ................................... 7 分
所以直线 :BC 12
1
2
44
yyy y xx
， ...................................................................... 8 分
令 0y ，则 12
12
4 4yxx yy
，所以 D 的横坐标 12
12
4 4D
yxx yy
， ................ 9 分
所以
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
4 3 2 3 3 35 5 342 2 2 2D
y x y my y my y yx y y y y y y
1 2 1 2
12
23
2
my y y y
yy
22
12
66
4402
mm
mm
yy
，所以 5
2Dx ， ................................ 11 分
因为 MG 中点的横坐标为 5
2 ，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以 MD DG ． ..................................................................................................... 12 分
解法二：（1）因为椭圆 E 的焦距为 23，所以 2 2 3c ，所以 3c ， ................... 1 分
所以 223ab， ........................................................................................................... 2 分
即 223ab，所以椭圆 E 的方程为
22
2213
xy
bb
，
当 2l 垂直 x 轴时，点 A 的横坐标为 1，将 1x 代入椭圆方程得 22
2
2
2
3
bb
y b
，
所以
2
2
222
3
bbAB y
b
， ...................................................................................... 3 分
又因为 3MG ，所以
2
2
1 3 2
2 3ABG
bbS AB MG
b
△ ，
理科数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 15 页）
因为
2
2
3 3 3 2 3 3,223ABG
bbS
b
△ 所以 ，解得 2 1b 或 2 9
4b （舍去），
所以椭圆 E 的方程为
2
2 14
x y. .................................................................................. 5 分
（2）设 11,A x y ， 22,B x y ，则 14,Cy.
因为直线 2l 不与 x 轴重合，故可设 2l 方程为 1x my， ....................................... 6 分
联立 2
2
1,
1,4
x my
x y
整理得 224 2 3 0m y my ，
所以 2=16 3 0m ， 12 2
2
4
myym
， 12 2
3
4yy m
，................................... 7 分
要证 MD DG ，只要证 D 5 02
， ， ....................................................................... 8 分
只须证 22( , )B x y ， 1(4, )Cy与点 5 02
， 三点共线，只须证
12
2
35
22
yy
x
， ............... 9 分
又 221x my，只须证 2 1 2
35122y y my
， 只须证 1 2 1 2
3
2 y y my y ，
..................................................................................................................................... 10 分
因为 12 2
2
4
myym
， 12 2
3
4yy m
，所以 1 2 1 2
3
2 y y my y 成立， ............... 11 分
所以 MD DG ． ..................................................................................................... 12 分
解法三：（1）同解法一． ................................................................................................... 5 分
（2）设 ， ，则 .
因为直线 2l 不与 x 轴重合，故可设 2l 方程为 1x my， ....................................... 6 分
联立 2
2
1,
1,4
x my
x y
整理得 224 2 3 0m y my ，
所以 2=16 3 0m ， 12 2
2
4
myym
， 12 2
3
4yy m
，................................... 7 分
所以 1 2 1 2
3
2my y y y，
又因为直线 :BC 12
1
2
44
yyy y xx
， .................................................................. 8 分
令 0y ，则 12
12
4 4yxx yy
，所以 D 的横坐标 12
12
4 4D
yxx yy
， ............... 9 分
又因为 221x my，
理科数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 15 页）
所以 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
3 434 4 2
D
y y y yy my y y my y y yx y y y y y y
12
12
55
522
2
yy
yy
， ......................................................................................... 11 分
因为 MG 中点的横坐标为 5
2 ，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以 MD DG ． ..................................................................................................... 12 分
20．本小题主要考查回归直线、数列和二项展开式等基础知识，考查数据处理能力、运算
求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学建
模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性．满分 12 分．
解：（1）依题意得： 1 2 3 4 5 6 3.56x ， .................................................. 1 分
故 6 8610 4106 6 3.5
xyy x
，....................................................................................... 2 分
所以
66
11
6 9310 8610 700i i i i
ii
x x y y x y xy
，………………………3 分
6 2
1
25 9 1 1 9 25 17.54 4 4 4 4 4i
i
xx
，所以
6
1
6 2
1
700ˆ 4017.5
ii
i
i
i
x x y y
b
xx
，
....................................................................................................................................... 4 分
ˆˆ 410 40 3.5 270a y bx ，
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 40 270yx．........................................................ 5 分
令 12x 时，得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为 40 12 270 750 元，
所以，2020 年第一季度每月的人均月纯收入均为 2750 5003 元，
所以，2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为500元． .......................................... 6 分
（2）因为每月的增长率为 ，设从 3 月开始到 12 月的纯收入之和为 ，则
29
10 500 500 1 500 1 500 1S a a a
10500 1 1 a
a
，
......................................................................................................................................... 8 分
依题意，令
10500 1 1
8000 500 500 7000
a
a
≥ （*）， ............................. 9 分
a 10S
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当 0.15a≥ 时， 10
10
500 1.15 1 30500= 70000.15 3S
≥ ，（*）成立； ........................ 10 分
当 0 0.15a ＜ 时，由（*）得 10117000 14500
a
a
≥ ，
即
231 10 45 120 1 14a a a
a
≥ ，
所以 2120 45 4 0aa≥ ，解得 0.074a≥ 或 0.449a ≤ （舍去），
综上 ， ............................................................................................................ 11 分
所以，为使该家庭 2020 年能实现小康生活， 至少应为8% ． ............................ 12 分
21．本小题主要考查函数的单调性与极值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推
理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、
数形结合等思想、特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等
核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分．
解法一：（1）因为 0ax ， 11xafx a x ax
， ........................................................ 1 分
① 当 0a 时， 0x ，若 0 xa，则 0fx ， fx在 0,a 单调递减；若 xa ，则
0fx ， fx在 ,a 单调递增.
所以 的极小值为 1 2lnf a a ，无极大值. ................................................... 3 分
②当 0a 时， 0x ，若 xa ，则 0fx ， 在 ,a 单调递减；若 0ax，
则 0fx ，所以在 ,0a 单调递增.
所以 的极小值为 1 2lnf a a ，无极大值． ............................................ 5 分
综上所述，当 0a 时， fx的极小值为 1 2lnf a a ，无极大值；当 0a 时， fx
的极小值为 1 2lnf a a ，无极大值．
（2）由（1）知，当 =1a 时， lnf x x x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，
所以 min 11f x f，所以 ln 1xx ≥ ， ................................................................. 6 分
因为 2e ln 1 e 0xxx mx x+ m ≤ ，
所以 2e ln 0x x x mx x+ m ≤ ，所以
2
lnex
mx x m xx ≤ ，（*）， .................... 7 分
令
2
ex
mx x mhx ， 0,x ，
则 2 2
2
2 1 e e 2 1 1 1 1
e e e
xx
x x x
mx mx x m mx m x m mx m xhx
，
...................................................................................................................................... 8 分
因为 0m ，所以 111m，
①若 01m ≤ ，则 110m ≤ ，当 01x时，则 0hx ，所以 hx在 0,1 单调递增；
a
理科数学参考答案及评分细则 第 11 页（共 15 页）
当 1x 时，则 0hx ，所以 hx在 1, 单调递减．
所以 max
211 e
mh x h ，又因为 1fx≥ ，且 hx和 fx都在 1x 处取得最值，
所以 211e
m ≤ ，解得 e1
2m -≤ ，所以 e10 2m -≤ ， .................................................. 10 分
②若 1m ，则 10 1 1m ，当 101x m 时， 0hx ， hx在 10,1 m
单调递减；
当 111xm 时， 0hx ， hx在 11 ,1m
单调递增；当 1x＞ 时， 0hx ， hx在
1, 单调递减，所以 2111e
mh ＞ ，与（*）矛盾，不符合题意，舍去． .. 11 分
综上，正实数 m 的取值范围为 e10, 2
． ................................................................ 12 分
解法二：（1）同解法一． .................................................................................................. 5 分
（2）由（1）知，当 =1a 时， lnf x x x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，
所以 min 11f x f，所以 ln 1xx ≥ ， .................................................................. 6 分
因为 2e ln 1 e 0xxx mx x+ m ≤ ，所以 2e ln 0x x x mx x+ m ≤ ，
所以
2
lnex
mx x m xx ≤ ， .......................................................................................... 7 分
要使原不等式成立，则当 1x 时上式必须成立，代入得 e1
2m -≤ ，此时 e10 2m -≤ ．
...................................................................................................................................... 8 分
下面证明：当 e10 2m -≤ 时，原不等式恒成立．
令
2
ex
mx x mhx ， 0,x ，
则 2 2
2
2 1 e e 2 1 1 1 1
e e e
xx
x x x
mx mx x m mx m x m mx m xhx
，
因为 e10 2m -≤ ， 0x ，所以 10mx m ，
所以当01x时， ( ) 0hx ，当 1x 时， ( ) 0hx ，
所以 ()hx 在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减， ................................................. 10 分
max
2111e
mh x h ≤ ， ...................................................................................... 11 分
所以不等式
2
lnex
mx x m xx ≤ 恒成立，即原不等式恒成立，
所以正实数 m 的取值范围为 e10, 2
- ．...................................................................... 12 分
理科数学参考答案及评分细则 第 12 页（共 15 页）
解法三：（1）同解法一． ................................................................................................... 5 分
（2）由（1）知，当 =1a 时， lnf x x x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，
所以 min 11f x f，所以 ln 1xx ≥ ， .................................................................. 6 分
因为 2e ln (1 e ) 0xxx mx x+m ≤ ，所以 2e ln 0x x x mx x+ m ≤ ，
所以
2
lnex
mx x m xx ≤ ， .......................................................................................... 7 分
要使原不等式成立，则当 1x 时上式必须成立，
代入得 e1
2m -≤ ，此时 e10 2m -≤ ． ............................................................................. 8 分
下面证明：当 e10 2m -≤ 时，原不等式恒成立．
因为 e10 2m -≤ ，所以
22(e 1) 2 (e 1)
e 2exx
mx x m x x ≤ ， .................................. 9 分
令 2e 1 2 e 1
2ex
xxhx ， 0,x ，
则 2 1 e 1 e 3e 1 2 e 2 e 3
2e 2exx
xxxxhx
，
所以当01x时， 0hx ，当 1x 时， 0hx ，
所以 hx在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减，. ................................................. 10 分
所以 max 11h x h，所以 1hx≤ ， ..................................................................... 11 分
即
2
1ex
mx x m≤ ，所以当 时，
2
lnex
mx x m xx ≤ 成立，即原不等式恒成立．
所以当正实数 m 的取值范围为 e10, 2
- ．. ................................................................. 12 分
解法四：（1）同解法一． ................................................................................................... 5 分
（2）因为 2e ln 1 e 0xxx mx x+ m ≤ ，又因为 2 10x ，
所以
2
e ln 1 e
1
xxxx
m x
≤ ， .......................................................................................... 6 分
由（1）知，当 =1a 时， ( ) lnf x x x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，
所以 min 11f x f，所以 ln 1xx ≥ ，所以ln 1xx≤ ，当且仅当 1x 时等号成立．
.......................................................................................................................................... 7 分
所以
2 2 2
e ln 1 e e 1 1 e e
1 1 1
x x x x xx x x x x
x x x
≥ ，当且仅当 1x 时等号成立．
....................................................................................................................................... 8 分
令 2
e
1
x xHx x
， 0,x ，则
22
1 e 1 + 1
1
xx x x+
Hx
x
， .................... 9 分
理科数学参考答案及评分细则 第 13 页（共 15 页）
令 e 1 + 1xK x x x+ ，
则 e 1 > 0xK x x + ，所以 Kx在 0, 单调递增，所以 00K x K，
所以当01x时， 0Hx ，当 1x 时， 0Hx ， ...................................... 10 分
所以 Hx在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，所以 min
e11= 2H x H ，
综上当 1x 时，
2
e ln 1 e
1
xxxx
y x
取得最小值 e1
2
， ....................................... 11 分
所以正实数 m 的取值范围为 e10, 2
- ．. ..................................................................... 12 分
解法五：（1）同解法一． ................................................................................................... 5 分
（2）要使得原不等式成立，则必须当 1x 时上式成立，代入得 e1
2m -≤ ， ............... 6 分
下面证明：当 e1
2m -≤ 时，原不等式恒成立．
因为 e1
2m -≤ ，且 2 10x ，
所以 22e1e ln 1 e e ln 1 1 e2
x x x xx mx x+m x x x -≤ ， ............................ 7 分
令 2e1e ln 1 1 e2
xxk x x x x - ， 0,x ，
则 1e ln 1 e 1 1xk x x x xx
- ， .................................................................. 8 分
令 1e ln 1 e 1 1xx x x xx
- ，所以 2
21e ln 2 e 1xx x xxx
，
由（1）知，当 1a 时， lnf x x x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，
所以 min 11f x f，所以 ln 1xx ≥ ，即ln 1xx≤ ，当且仅当 1x 时等号成立．
所以
2 2 1 2
2 1 1 2 1 1 2e ln 2 e 1 e + 3 e 1 e + 3 1e
x x x
xx x xx x x x x x
≤ ，
...................................................................................................................................... 9 分
再令 12
1 1 2+ 3 0exM x xxx ，下面证明 0Mx ，
由 ln 1xx ≥ ，得 1ex x ≥ ，因为 0x ，所以 1
11
ex x ≤ ，
所以
2
1 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 3 3 3 1+ 3 + 3 + 3 0ex
xxMx x x x x x x x x
，
所以 e 1 0xMx - ，所以 0x ，所以 kx 在 0, 单调递减，.................. 10 分
又因为 10k ，所以当01x时， 0kx ，当 1x 时， 0kx ，
所以 kx在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减，所以 max 10k x k， ........ 11 分
所以 0kx≤ ，所以 2e ln 1 e 0xxx mx x+ m ≤ ，当且仅当 1x= 时等号成立，
所以正实数 m 的取值范围为 e10, 2
- ．. ..................................................................... 12 分
理科数学参考答案及评分细则 第 14 页（共 15 页）
22．选修 44 ：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，
考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等核
心素养，体现基础性、综合性．满分 10 分．
解：（1）因为 1C 的参数方程为 cos ,
sin
x
y
（ 为参数），
所以 22
1 :1C x y． ··········································································· 2 分
因为 2C 的极坐标方程为 2
2
12= 3+sin
，由 2 2 2xy ， sin y 得，
22
2 :143
xyC ． ················································································ 5 分
（2）如图，设 l 的倾斜角为 ，依题意 0 2
， ，
则 P 在 1C 中的参数角
2，故 sin ,cosP ，
所以可设l 的参数方程 sin cos
cos sin
xt
yt
，（t 为参数）．
································································································· 6 分
把 l 的参数方程代入
22
143
xy，得 2 2 2sin 3 2 sin cos cos 9 0tt ，
所以
2
12 2
cos 9= sin 3tt
． ·········································································· 8 分
则
22
12 22
cos 9 9 cos| | | | | | sin 3 sin 3PA PB t t
，
又 7| | | | = 3PA PB ，所以
2
2
9 cos 7=sin 3 3
，所以 3sin 2 ，
故
3 ，即直线l 的倾斜角为
3
． ······················································ 10 分
23．选修 45 ：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性、
综合性．满分 10 分．
解法一：（1）由题意得， 12f x x x ，
①当 1x≤ 时，原不等式可化为1 +2 5xx≤ ，即 1x≥- ， ······························ 1 分
故 11x ≤ ≤ ． ····················································································· 2 分
②当12x时，原不等式可化为 1+2 5xx≤ ，即 xR ，
故 ． ······················································································ 3 分
③当 2x≥ 时，原不等式可化为 1+ 2 5xx≤ ，即 x≤4 ，
故 24x≤ ≤ ． ······················································································· 4 分
综上不等式的解集为 1,4 ． ·································································· 5 分
理科数学参考答案及评分细则 第 15 页（共 15 页）
（2）因为 +2 +2 2f x x a x b x a x b a b ≥ ， ····························· 6 分
当且仅当 20x a x b≤ 时，取到最小值 2ab ，即 22ab． ··············· 7 分
因为 0ab ，故 22ab， 2 1 2 1
a b a b ，
所以 2 1 1 2 1 1 2 12222aba b a b a b
········································ 8 分
144 2 42
14422
ba
a
ba
ab b
≥ . ·················· 9 分
当且仅当 4ba
ab ，且 ，即 11, 2ab或 11, 2ab 时，等号成立.
所以 21
ab 的最小值为 4 ． ·································································· 10 分
解法二：（1）由题意得，
2 3 1
1 2 1 1 2
2 3 2
xx
f x x x x
xx
， ≤，
， ＜ ＜ ，
， ≥ ，
························· 2 分
如图，直线 5y 与 y f x 的图象交于 ,AB两点，
令 2 3 5x ，解得 1x ，令 2 3 5x ，解得 4x ， ·· 4 分
由图象知：当且仅当 14x ≤ ≤ 时， 5fx≤ 成立，
综上不等式的解集为 ． ··································· 5 分
（2）因为 +2 +2 2f x x a x b x a x b a b ≥ ， ···························· 6 分
当且仅当 20x a x b≤ 时，取得最小值 ，即 ． ··············· 7 分
因为 0ab ，故 ，因为| | 2 | | 2 2 | |a b ab ≥ ，所以 1||2ab ≤ ， ········· 8 分
所以 2 1 2 2| | | | | | 4ab
a b ab ab
≥ ， ······························································ 9 分
当且仅当| | 2 | |ab ，且 ，即 或 时，等号成立，
所以 21
ab 的最小值为 4 ． ··································································· 10 分
1,4
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