2020 年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3 月份）
一、选择题
1．集合 A＝{x||x﹣2|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则 A∩B＝（ ）
A．R B．（﹣2，2） C．[2，6） D．（﹣2，2]
2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母 A，B，C
，D，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（ ）
A．一样大 B．区域 A，C 可能性大
C．区域 B，D 可能性大 D．由指针转动圈数决定
3．如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小偶数 n，那么在 和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000 和 n＝n+1 B．A＞1000 和 n＝n+2
C．A≤1000 和 n＝n+1 D．A≤1000 和 n＝n+2
4．虚数（x﹣2）+yi 中 x，y 均为实数，当此虚数的模为 1 时， 的取值范围是（ ）
A．[﹣ ， ] B．[﹣ ，0）∪（0， ]
C．[﹣ ， ] D．[﹣ ，0）∪（0， ]
5．b 是区间 上的随机数，直线 y＝﹣x+b 与圆 x2+y2＝1 有公共点的概率为（
）A． B． C． D．
6．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且满足 + ＝ （n≥2），则 an＝（
）
A． B．2n﹣2 C．3﹣n D．
7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼
”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的
组合体）的体积为（ ）
A．63π B．81π C．33π D．36π
8．若 且 z＝2x+4y 取得最小值为﹣12，则 k＝（ ）
A．2 B．9 C．3 D．0
9．若|x﹣a|＜1 成立的充分不必要条件是 1＜x＜ ，则 a 的取值范围（ ）
A． ＜a＜2 B． ≤a≤2 C．a≤ 或 a≥2 D．a＜ 或 a＞2
10．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2﹣x）＝f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，
β 是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（cosα）＜f（cosβ）
C．f（cosα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）
11．设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成的角为 60°的直线 A1B1
和 A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，
则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．12．已知函数 f（x）＝ ，若关于 x 的方程 f（x）+1﹣a﹣lnx＝0 有 4
个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（ ﹣ln4，6﹣ln2） B．（4﹣ln3，6﹣ln2）
C．（1+ln3，4﹣ln3） D．（1+ln3，6﹣ln2）
二、填空题
13．直线 y＝x+3 和 x、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在椭圆 + ＝1 上运动，则椭圆
上点 C 到直线 AB 的最大距离为 ．
14．方程（x2﹣3| |x+8）（x2﹣3| |x+8）＝0 的四根组成首项为 1 的等比数列，且 ，
则| + |＝ ．
15．若有 7 个人排成一排，现要调整其中某 3 个人的位置，其余 4 个人的位置不动，则使
所要调整的某 3 个人互不相邻的调整方法的种数是 ．
16．△OAB 中，∠AOB 角平分线交 AB 于点 C．设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 ＝λ +μ
．给出下列结论：①λ+μ＝1；②λ＝ ，μ＝ ；③λ＝ ，μ＝ ；④λ＝ ，μ
＝ ；⑤λ＝ ，μ＝ ．其中命题一定正确的序号是 ．
（把你认为正确的都填上）
三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在平面四边形 ABCD 中，已知 ，AB⊥AD，AB＝1．
（1）若 ，求△ABC 的面积；
（2）若 ，AD＝4，求 CD 的长．
18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 R 的行业标准，予以地
方财政补贴，其补贴标准如下：出厂续驶里程 R（公里） 补贴（万元/辆）
150≤R＜250 3
250≤R＜350 4
R≥350 4.5
2017 年底随机调查该市 1000 辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程 R，得到频率分布直
方图如图所示．
用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
（1）求该市电动汽车 2017 年地方财政补贴的均值；
（2）某企业统计 2017 年起充电站 100 天中各天充电车辆数，得下面的频数分布表：
辆数 [5500，6500） [6500，7500） [7500，8500） [8500，9500]
天数 20 30 40 10
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2018 年 2 月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来
，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购
置．直流充电桩 5 万元/台，每台每天最多可以充电 30 辆车，每天维护费用 500 元/台；
交流充电桩 1 万元/台，每台每天最多可以充电 4 辆车，每天维护费用 80 元/台．
该企业现有两种购置方案：
方案一：购买 100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩；
方案二：购买 200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩．
假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生 25 元的收入，用 2017 年的统计数据，分别
估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入﹣日维护费用）19．如图，等腰直角△ABC 中，∠B＝90°，平面 ABEF⊥平面 ABC，2AF＝AB＝BE，∠
FAB＝60°，AF∥BE．
（Ⅰ）求证：BC⊥BF；
（Ⅱ）求二面角 F﹣CE﹣B 的正弦值．
20．已知椭圆的一个顶点为 A（0，﹣1），焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 x﹣y+2 ＝0
的距离为 3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线 y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点 M、N．当|AM|＝|AN|时，求 m
的取值范围．
21．已知函数 f（x）＝ ﹣a2x，其中 e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 a＞e，证明：函数 f（x）有两个零点 x1，x2（x1＜x2），且 x1 ＜x2＜2lna
．
请考生在[22]、[23]题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，
已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数，
0≤α＜π），射线 θ＝φ，θ＝φ+ ，θ＝φ﹣ 与曲线 C1 交于（不包括极点 O）三点 A
、B、C．
（I）求证：|OB|+|OC|＝ |OA|；
（Ⅱ）当 φ＝ 时，B，C 两点在曲线 C2 上，求 m 与 α 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|．
（1）求 f（x）＞﹣5 的解集；
（2）若关于 x 的不等式|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|）（a，b∈R，a≠0）能成立，
求实数 m 的取值范围．参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求
1．集合 A＝{x||x﹣2|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则 A∩B＝（ ）
A．R B．（﹣2，2） C．[2，6） D．（﹣2，2]
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝（﹣2，2]．
故选：D．
2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母 A，B，C
，D，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（ ）
A．一样大 B．区域 A，C 可能性大
C．区域 B，D 可能性大 D．由指针转动圈数决定
【分析】指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，区域 B，D 可能性
大．
解：指针停留在哪个区域的可能性大，
即表明该区域的张角大，
区域 B，D 可能性大．
故选：C．
3．如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小偶数 n，那么在 和
两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000 和 n＝n+1 B．A＞1000 和 n＝n+2
C．A≤1000 和 n＝n+1 D．A≤1000 和 n＝n+2
【分析】通过要求 A＞1000 时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输
入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定 n＝n+2．
解：因为要求 A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“ ”内不能输入“A＞1000”，
又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0，
所以“ ”中 n 依次加 2 可保证其为偶数，
所以 D 选项满足要求，
故选：D．
4．虚数（x﹣2）+yi 中 x，y 均为实数，当此虚数的模为 1 时， 的取值范围是（ ）
A．[﹣ ， ] B．[﹣ ，0）∪（0， ]
C．[﹣ ， ] D．[﹣ ，0）∪（0， ]
【分析】点（x，y）在以（2，0）为圆心，1 为半径的圆上（与 x 轴交点除外）， 表
示圆上的点与原点连线的斜率，数形结合可得．
解：由题意可得 y≠0，且（x﹣2）2+y2＝1，
∴点（x，y）在以（2，0）为圆心，1 为半径的圆上（与 x 轴交点除外），
∵ 表示圆上的点与原点连线的斜率，易得直线 OA 与 OB 的斜率分别为 ，﹣
数形结合可知 的取值范围为：[﹣ ，0）∪（0， ]
故选：B．
5．b 是区间 上的随机数，直线 y＝﹣x+b 与圆 x2+y2＝1 有公共点的概率为（
）
A． B． C． D．
【分析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的 b，最后根据几何概型的
概率公式可求出所求．
解：b 是区间 上的随机数．即﹣2 ，区间长度为 4 ，
由直线 y＝﹣x+b 与圆 x2+y2＝1 有公共点可得， ，
∴﹣ ，区间长度为 2 ，
直线 y＝﹣x+b 与圆 x2+y2＝1 有公共点的概率 P＝ ＝ ，
故选：C．
6．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且满足 + ＝ （n≥2），则 an＝（
）
A． B．2n﹣2 C．3﹣n D．
【分析】由递推关系 a1＝2，a2＝1，且满足 + ＝ （n≥2），可得
数列{ }是首项为 ，公差 d＝ 的等差数列，从而可得答案．
解：∵ + ＝ （n≥2），∴数列{ }是等差数列，其首项为 ＝ ，公差 d＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
∴ ＝ +（n﹣1）× ＝ ，
∴an+1＝ ，
∴an＝ ．
故选：A．
7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼
”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的
组合体）的体积为（ ）
A．63π B．81π C．33π D．36π
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解：如图：
由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半
球的半径为 3，
所以组合体的体积为 V＝ ＝63π，
故选：A．8．若 且 z＝2x+4y 取得最小值为﹣12，则 k＝（ ）
A．2 B．9 C．3 D．0
【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线
移至点 A 时，纵截距最大，z 最大．
解：画出可行域，如图．
将 z＝2x+4y 变形为 y＝﹣ x+ ，
画出直线 y＝﹣ x+ ，平移至点 A 时，纵截距最大，z 最大，由 ，解 A（
2，﹣4），
x+y+k＝0 过点（2，﹣4），∴k＝2，
故选：A．
9．若|x﹣a|＜1 成立的充分不必要条件是 1＜x＜ ，则 a 的取值范围（ ）
A． ＜a＜2 B． ≤a≤2 C．a≤ 或 a≥2 D．a＜ 或 a＞2
【分析】求解绝对值的不等式可得﹣1+a＜x＜1+a，再由|x﹣a|＜1 成立的充分不必要条
件是 1＜x＜ ，得关于 a 的不等式组求解．
解：由|x﹣a|＜1，得﹣1+a＜x＜1+a，
根据题意知 （等号不同时成立），
解得 ≤a≤2．
故选：B．10．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2﹣x）＝f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，
β 是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（cosα）＜f（cosβ）
C．f（cosα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）
【分析】由 α，β 是钝角三角形的两个锐角可得 0°＜α+β＜90°即 0°＜α＜90°﹣β，
从而有 0＜sinα＜sin（90°﹣β）＝
cosβ＜1
由 f（x）满足 f（2﹣x）＝f（x）函数为偶函数即 f（﹣x）＝f（x）可得 f（2﹣x）＝f（
x），即函数的周期为 2，因为函数在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得
在[2，3]单调递增，根据周期性可知在 0，1]单调递增，从而可判断
解：∵α，β 是钝角三角形的两个锐角可得 0°＜α+β＜90°即 0°＜α＜90°﹣β
∴0＜sinα＜sin（90°﹣β）＝cosβ＜1
∵f（x）满足 f（2﹣x）＝f（x），∴函数关于 x＝1 对称
∵函数为偶函数即 f（﹣x）＝f（x）∴f（2﹣x）＝f（x），即函数的周期为 2
∴函数在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期
性可知在 0，1]单调递增
∴f（sinα）＜f（cosβ）
故选：D．
11．设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成的角为 60°的直线 A1B1
和 A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，
则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】不妨令双曲线的方程为 ，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线
的对称性知 A1，A2，B1，B2 关于 x 轴对称，由满足条件的直线只有一对，得
，由此能求出双曲线的离心率的范围．
解：不妨令双曲线的方程为 ，
由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知 A1，A2，B1，B2 关于 x 轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与 x 轴夹角为 30°时，双曲线的渐近线与 x 轴夹角大于 30°，
双曲线与直线才能有交点 A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 30°，则无交点，
则不可能存在|A1B1|＝|A2B2|，
当直线与 x 轴夹角为 60°时，双曲线渐近线与 x 轴夹角大于 60°，
双曲线与直线有一对交点 A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于 60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30° ，即 ，
∴ ，
∵b2＝c2﹣a2，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴双曲线的离心率的范围是 ．
故选：A．
12．已知函数 f（x）＝ ，若关于 x 的方程 f（x）+1﹣a﹣lnx＝0 有
4 个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ）A．（ ﹣ln4，6﹣ln2） B．（4﹣ln3，6﹣ln2）
C．（1+ln3，4﹣ln3） D．（1+ln3，6﹣ln2）
【分析】关于 x 的方程 f（x）+1﹣a﹣lnx＝0 有 4 个不相等的实根等价于 y＝f（x）的图
象与 y＝lnx+a﹣1 的图象有 4 个不同的交点，作出 y＝f（x）与 y＝lnx+a﹣1 的图象，数
形结合即可
解：条件等价于 y＝f（x）的图象与 y＝lnx+a﹣1 的图象有 4 个不同的交点，作出 y＝f（
x）与 y＝lnx+a﹣1 的图象，如图：
当 y＝lnx+a﹣1 经过 时，a＝1+ln3，直线 AB 与 y＝lnx+a﹣1 的图象相切于 A
点，
此时 y＝f（x）图象与 y＝lnx+a﹣1 图象有 3 个不同的交点，
当 y＝lnx+a﹣1 经过 B（2，5）时，a＝6﹣1n2，此时 y＝f（x）图象与 y＝lnx+a﹣1 图
象有 3 个不同的交点，
观察图象不难发现，y＝f（x）的图象与 y＝lnx+a﹣1 的图象有 4 个不同的交点，a∈（
1+ln3，6﹣ln2），
故选：D．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．直线 y＝x+3 和 x、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在椭圆 + ＝1 上运动，则椭圆
上点 C 到直线 AB 的最大距离为 4 ．
【分析】由椭圆的方程用参数设 P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出 P 到直线 AB
的距离，由三角函数的有界性可得最大距离．
解 ： 设 C （ 4cosθ ， 3sinθ ） ， 则 点 C 到 AB 的 距 离 d ＝ ＝
＝4 ，故答案为： ．
14．方程（x2﹣3| |x+8）（x2﹣3| |x+8）＝0 的四根组成首项为 1 的等比数列，且 ，
则| + |＝ ．
【分析】可设 x1，x2 是 两根，x3，x4 是 两根，然后根
据题意即可设 x1＝1，则得出 x2＝8，x3＝2，x4＝4，然后根据韦达定理即可得出
，再根据 即可求出 ．
解：设 x1，x2 是 两根，x3，x4 是 两根，
∵方程（x2﹣3| |x+8）（x2﹣3| |x+8）＝0 的四根组成首项为 1 的等比数列，
∴不妨设 x1＝1，则 x2＝8，x3＝2，x4＝4，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．若有 7 个人排成一排，现要调整其中某 3 个人的位置，其余 4 个人的位置不动，则使
所要调整的某 3 个人互不相邻的调整方法的种数是 20 ．
【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①，先在位置不动的 4 个人所成的 5 个空位中任
意选取 3 个，用来位置调整，②，分析剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻的
情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分 2 步进行分析：
①，7 个人排成一排，4 个人的位置不动，位置不动的 4 个人所成的 5 个空位，从中任
意选取 3 个，用来位置调整，有 种选法，
②，剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻，三人乱序只有两种安排位置的方法
，
故调整方法种数是 ，
故答案为：20．
16．△OAB 中，∠AOB 角平分线交 AB 于点 C．设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 ＝λ +μ．给出下列结论：①λ+μ＝1；②λ＝ ，μ＝ ；③λ＝ ，μ＝ ；④λ＝ ，μ
＝ ；⑤λ＝ ，μ＝ ．其中命题一定正确的序号是 ①④
．（把你认为正确的都填上）
【分析】根据题意，作出简图，由平面向量基本定理分析：设 ＝t ，由加法原理分
析可得①成立，②、③不一定成立，再设 ，结合
①的结论分析可得④成立，⑤不成立，即可得答案．
解：根据题意，如图：A、C、B 三点共线，则设 ＝t ，
则 ＝ + ＝ +t ＝ +t（ ﹣ ）＝（1﹣t） +t ，
又由 ＝λ +μ ＝，则 λ＝1﹣t，μ＝t，则必有 λ+μ＝1，
则①成立，②、③不一定成立；
再设 ，则 ， ，
又 由 λ+μ ＝ 1 得 ， 变 形 可 得 ，
，则④成立，⑤不成立；
故答案为：①④．
三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在平面四边形 ABCD 中，已知 ，AB⊥AD，AB＝1．
（1）若 ，求△ABC 的面积；（2）若 ，AD＝4，求 CD 的长．
【分析】（1）在△ABC 中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，解得 BC，然后求
解三角形的面积．
（2）∵ ，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，
结合余弦定理求解即可．
解：（1）在△ABC 中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，
，
解得 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴
＝
＝
在△ABC 中， ，∴ ，
∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝ ，
∴ ．
18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 R 的行业标准，予以地
方财政补贴，其补贴标准如下：
出厂续驶里程 R（公里） 补贴（万元/辆）
150≤R＜250 3250≤R＜350 4
R≥350 4.5
2017 年底随机调查该市 1000 辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程 R，得到频率分布直
方图如图所示．
用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
（1）求该市电动汽车 2017 年地方财政补贴的均值；
（2）某企业统计 2017 年起充电站 100 天中各天充电车辆数，得下面的频数分布表：
辆数 [5500，6500） [6500，7500） [7500，8500） [8500，9500]
天数 20 30 40 10
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2018 年 2 月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来
，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购
置．直流充电桩 5 万元/台，每台每天最多可以充电 30 辆车，每天维护费用 500 元/台；
交流充电桩 1 万元/台，每台每天最多可以充电 4 辆车，每天维护费用 80 元/台．
该企业现有两种购置方案：
方案一：购买 100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩；
方案二：购买 200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩．
假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生 25 元的收入，用 2017 年的统计数据，分别
估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入﹣日维护费用）
【分析】（1）求出纯电动汽车地方财政补贴的分布列，由此能求出纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列，采用方案一，100
台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 6600 辆，从而得到实际充电车辆
数的分布列，进而求出方案一下新设备产生的日利润均值；采用方案二，200 台直流充
电桩和 400 台交流充电桩每天可充电车辆数 7600 辆，从而求出实际充电车辆数的分布列
，进而求出方案二下新设备产生的日利润利润均值．
解：（1）依题意得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
补贴（万元/辆） 3 4 4.5
概率 0.2 0.5 0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为：
3×0.2+4×0.5+4.5×0.3＝3.95（万元）．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为：
辆数 6000 7000 8000 9000
概率 0.2 0.3 0.4 0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为：
30×100+4×900＝6600（辆），
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数 6000 6600
概率 0.2 0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为：
25×（6000×0.2+6600×0.8）﹣500×100﹣80×900＝40000（元）．
若采用方案二，200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩每天可充电车辆数为：
30×200+4×400＝7600（辆），
可得实际充电车辆数的分布列为：
实际充电车辆数 6000 7000 7600
概率 0.2 0.3 0.5
于是方案二下新设备产生的日利润利润均值为：
25×（6000×0.2+7000×0.3+7600×0.5）﹣500×200﹣80×400＝45500（元）．
19．如图，等腰直角△ABC 中，∠B＝90°，平面 ABEF⊥平面 ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE．
（Ⅰ）求证：BC⊥BF；
（Ⅱ）求二面角 F﹣CE﹣B 的正弦值．
【分析】（1）推导出 BC⊥AB，从而 BC⊥平面 ABEF，由此能证明 BC⊥BF．
（2）由 BC⊥平面 ABEF，以 B 为原点，建立空间直角坐标系 B﹣xyz，利用向量法能求
出二面角 F﹣CE﹣B 的正弦值．
【解答】证明：（1）∵等腰直角△ABC 中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵平面 ABEF⊥平面 ABC，平面 ABEF∩平面 ABC＝AB，
∴BC⊥平面 ABEF，
∵BF⊂平面 ABEF，∴BC⊥BF．
解：（2）由（1）知 BC⊥平面 ABEF，
故以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣xyz，
设 2AF＝AB＝BE＝2，∵∠FAB＝60°，AF∥BE．
∴B（0，0，0），C（0，2，0），F（ ），E（﹣1，0， ），
＝（1，2，﹣ ）， ＝（ ）， ＝（0，2，0），
设平面 CEF 的一个法向量 ＝（x，y，z），
则 ，即 ，令 x＝ ，得 ＝（ ，5），
设平面 BCE 的一个法向量 ＝（x，y，z），
则 ，即 ，取 x＝ ，得 ＝（ ），
设二面角 F﹣CE﹣B 的平面角为 θ．则|cosθ|＝| |＝ ＝ ，
∴sinθ＝ ，
∴二面角 F﹣CE﹣B 的正弦值为 ．
20．已知椭圆的一个顶点为 A（0，﹣1），焦点在 x 轴上．若右焦点到直线 x﹣y+2 ＝0
的距离为 3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线 y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点 M、N．当|AM|＝|AN|时，求 m
的取值范围．
【分析】（1）依题意可设椭圆方程为 ，由题设 解得 a2＝
3，故所求椭圆的方程为 ．
（2）设 P 为弦 MN 的中点，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0，由于
直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即 m2＜3k2+1．由此可推导出 m 的取值范围．
解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，
则右焦点 F（ ）由题设
解得 a2＝3 故所求椭圆的方程为 ；
（2）设 P 为弦 MN 的中点，由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即 m2＜3k2+1①
∴ 从而
∴ 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则 即 2m＝3k2+1②
把②代入①得 2m＞m2 解得 0＜m＜2 由②得 解得 ．
故所求 m 的取范围是（ ）．
21．已知函数 f（x）＝ ﹣a2x，其中 e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 a＞e，证明：函数 f（x）有两个零点 x1，x2（x1＜x2），且 x1 ＜x2＜2lna
．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由零点定理知，f（x）在（0，1）上有一个零点 x1，根据函数的单调性得 f（x）
取最小值 f（lna）＝a2（ ﹣lna），设 h（a）＝ ﹣2lna（a＞e），由零点定理知，f（
x）在（lna，2lna）上有一个零点 x2，求出 0＜x1＜1＜lna＜x2＜2lna，得到 x2﹣x1＞lna﹣
1＝ln ，从而证明结论．
解：（Ⅰ）f′（x）＝e2x﹣a2＝（ex+a）（ex﹣a）…（1 分）
①当 a＜0 时
当 x≥ln（﹣a）时，f′（x）≥0，故 f（x）单调递增
当 x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0，故 f（x）单调递减
∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在[ln（﹣a），+∞）上单调递增…
当 a＝0 时，f′（x）＝e2x＞0，故 f（x）在 R 上单调递增…
当 a＞0 时
当 x≥lna 时，f′（x）≥0，故 f（x）单调递增，
当 x＜lna 时，f′（x）＜0，故 f（x）单调递减，
∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增，∴综上所述，当 a＜0 时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在[ln（﹣a），+∞
）上单调递增，
当 a＝0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在 R 上单调递增
当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a＞e 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上
单调递增
∴f（x）至多有两个零点
∵a＞e
∴f（1）＝ e2﹣a2＜0，又∵f（0）＝ ＞0，
∴由零点定理知，f（x）在（0，1）上有一个零点 x1…
又∵f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增，
∴当 x＝lna 时，f（x）取最小值 f（lna）＝a2（ ﹣lna），
∵a＞e，∴f（lna）＜0…
设 h（a）＝ ﹣2lna（a＞e），
则 h′（a）＝a﹣ ＞0，故 h（a）在（e，+∞）上单调递增，
∴当 a＞e 时，h（a）＞h（e）＝ ﹣2＞0，
∴f（2lna）＝a2（ ﹣2lna）＞0，
∴由零点定理知，f（x）在（lna，2lna）上有一个零点 x2，
∴f（x）有且仅有两个零点 x1，x2，且 0＜x1＜1＜lna＜x2＜2lna…
∴x2﹣x1＞lna﹣1＝ln ，即 x1+ln ＜x2
∴x1 ＜x2＜2lna．…
请考生在[22]、[23]题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标
系与参数方程]
22．极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，
已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数，
0≤α＜π），射线 θ＝φ，θ＝φ+ ，θ＝φ﹣ 与曲线 C1 交于（不包括极点 O）三点 A、B、C．
（I）求证：|OB|+|OC|＝ |OA|；
（Ⅱ）当 φ＝ 时，B，C 两点在曲线 C2 上，求 m 与 α 的值．
【分析】（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos（φ+ ），|OC|＝4cos（φ﹣ ），
利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为 4 cosφ，＝ |OA|，命题得证．
（Ⅱ）当 φ＝ 时，B，C 两点的极坐标分别为（2， ），（2 ，﹣ ）．再把它
们化为直角坐标，根据 C2 是经过点（m，0），倾斜角为 α 的直线，又经过点 B，C 的直
线方程为 y＝﹣ （x﹣2），由此可得 m 及直线的斜率，从而求得 α 的值．
解：（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos（φ+ ），|OC|＝4cos（φ﹣ ），…
则|OB|+|OC|＝4cos（φ+ ）+4cos（φ﹣ ）＝2 （cosφ﹣sinφ）+2 （cosφ+sinφ
）＝4 cosφ，
＝ |OA|．…
（Ⅱ）当 φ＝ 时，B，C 两点的极坐标分别为（2， ），（2 ，﹣ ）．
化为直角坐标为 B（1， ），C（3，﹣ ）．…
C2 是经过点（m，0），倾斜角为 α 的直线，
又经过点 B，C 的直线方程为 y＝﹣ （x﹣2），故直线的斜率为﹣ ，…
所以 m＝2，α＝ ．…
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|．
（1）求 f（x）＞﹣5 的解集；
（2）若关于 x 的不等式|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|）（a，b∈R，a≠0）能成立，
求实数 m 的取值范围．
【分析】（1）利用绝对值不等式，去掉绝对值符号，然后转化求解不等式即可．
（ 2 ） 不 等 式 化 为 能 成 立 ， 可 得
能成立，利用换元法以及绝对值不等式的几何意义，
求解即可．解：（1） ，
可得 或 或 ，解得 x∈（﹣2，8），
故 f（x）＞﹣5 的解集为（﹣2，8）．…………
（2）由|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|），（a≠0）能成立，
得 能成立，
即 能成立，
令 ，则|t+2|﹣|2t﹣1|≥（|x+1|+|x﹣m|）能成立，
由（1）知， ，
又∵|x+1|+|x﹣m|≥|1+m|，
∴ ，
∴实数 m 的取值范围：
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