2020 年高考模拟高考数学一模试卷
一、选择题
1．已知集合 A＝{x|x＞﹣1}，集合 B＝{x|x（x+2）＜0}，那么 A∪B 等于（ ）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|﹣1＜x＜2}
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝ B．f（x）＝xsinx C．f（x）＝x2+|x| D．y＝|x+1|
3．如果 b＜a＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．log2|b|＜log2|a| B．
C．b3＞a3 D．ab＜b2
4．双曲线 ）的一条渐近线方程为 x+2y＝0，那么它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．设直线 l 过点 A（0，﹣1），且与圆 C：x2+y2﹣2y＝0 相切于点 B，那么 ＝（ ）
A．±3 B．3 C． D．1
6．将函数 f（x）＝cos2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象，
如果 g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数 a 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．设点 A，B，C 不共线，则“ ，”是“ ”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个
顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最
上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．49．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
10．在声学中，声强级 L（单位：dB）由公式 给出，其中 I 为声强（单位
：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么 ＝（ ）
A．10 B．10 C．﹣ D．10
二、填空题
11．如果复数 z 满足 i•z＝1+i，那么|z|＝ （i 为虚数单位）．
12．已知 ，那么 tanα•sinα＝
13．设常数 a∈R，如果 的二项展开式中 x 项的系数为﹣80，那么 a＝ ．
14．如果抛物线 y2＝2px 上一点 A（4，m）到准线的距离是 6，那么 m＝ ．
15．某公园划船收费标准如表：
船型 两人船（限乘 2 人） 四人船（限乘 4 人） 六人船（限乘 6 人）
每船租金（元/小时） 90 100 130
某班 16 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，每只租船必须坐满，
租船最低总费用为 元，租船的总费用共有 种可能．
三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在△ABC 中， ， ．求 BC 边上的高．
，②sinA＝3sinC，③a﹣c＝2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取 100 名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表．
时间
人数
学生类别
[0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25） [25，30）
男 6 9 10 10 9 4性别
女 5 12 13 8 6 8
初中 x 8 11 11 10 7学段
高中
（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率：
（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取 3 人进行面谈，记 X 为抽到高中的人
数，求 X 的分布列；
（Ⅲ）当 x＝5 时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直
接写出结果）
18．如图，在三棱柱 ADF﹣BCE 中，平面 ABCD⊥平面 ABEF，侧面 ABCD 为平行四边形
，侧面 ABEF 为正方形，AC⊥AB，AC＝2AB＝4，M 为 FD 的中点．
（Ⅰ）求证：FB∥平面 ACM；
（Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣F 的大小．
19．已知函数 ，其中 a∈R．
（Ⅰ）当 a＝0 时，求 f（x）在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于 0．
20．已知椭圆 C： 0）的两个焦点是 F1，F2， 在椭圆 C 上，
且|MF1|+|MF2|＝4，O 为坐标原点，直线 l 与直线 OM 平行，且与椭圆交于 A，B 两点．连接 MA、MB 与 x 轴交于点 D，E．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）求证： 为定值．
21．记无穷数列{an}的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 ，则称{bn}是{an}
“极差数列”．
（Ⅰ）若 an＝3n﹣2，{bn}的前 n 项和；
（Ⅱ）证明：{bn}的“极差数列”仍是{bn}
（Ⅲ）求证：若数列{bn}是等差数列，则数列{an}也是等差数列．参考答案
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项
1．已知集合 A＝{x|x＞﹣1}，集合 B＝{x|x（x+2）＜0}，那么 A∪B 等于（ ）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】可以求出集合 B，然后进行并集的运算即可．
解：∵A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2＜x＜0}，
∴A∪B＝{x|x＞﹣2}．
故选：A．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝ B．f（x）＝xsinx C．f（x）＝x2+|x| D．y＝|x+1|
【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可．
解：A：y＝ 为非奇非偶函数，不符合题意；
B：y＝xsinx 在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
C：y＝x2+|x|为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合 题意；
D：y＝|x+1|为非奇非偶函数，不符合 题意．
故选：C．
3．如果 b＜a＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．log2|b|＜log2|a| B．
C．b3＞a3 D．ab＜b2
【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出．
解：∵b＜a＜0，∴log2|b|＞log2|a|， ＞ ，b3＜a3，ab＜b2．
故选：D．
4．双曲线 ）的一条渐近线方程为 x+2y＝0，那么它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据双曲线 ）的一条渐近线方程为 x+2y＝0，列出方程，求出m 的值即可．
解：∵双曲线 ）的一条渐近线方程为 x+2y＝0，
可得 ，∴m＝4，
∴双曲线的离心率 e＝ ．
故选：D．
5．设直线 l 过点 A（0，﹣1），且与圆 C：x2+y2﹣2y＝0 相切于点 B，那么 ＝（ ）
A．±3 B．3 C． D．1
【分析】过点 A（0，﹣1）的直线 l 与圆 C：x2+y2﹣2y＝0 相切于点 B，可得 ＝0
．因此 ＝ •（ + ）＝ + ＝ ＝ ﹣r2，即可得出
解：由圆 C：x2+y2﹣2y＝0 配方为 x2+（y﹣1）2＝1
C（0，1），半径 r＝1．
∵过点 A（0，﹣1）的直线 l 与圆 C：x2+y2﹣2y＝0 相切于点 B，
∴ ＝0；
∴ ＝ •（ + ）＝ + ＝ ＝ ﹣r2＝3；
故选：B．
6．将函数 f（x）＝cos2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象，
如果 g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数 a 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据条件先求出 g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
解：将函数 f（x）＝cos2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图
象，
则 g（x）＝cos2（x+ ）＝cos（2x+ ），
设 θ＝2x+ ，
则当 0＜x≤a 时，0＜2x≤2a， ＜2x+ ≤2a+ ，
即 ＜θ≤2a+ ，
要使 g（x）在区间[0，a]上单调递减，则 2a+ ≤π 得 2a≤ ，得 a≤ ，
即实数 a 的最大值为 ，
故选：B．
7．设点 A，B，C 不共线，则“ ，”是“ ”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】由于点 A，B，C 不共线，则 ⇔（ + ）• ＝0⇔（ + ）•
（ ﹣ ）＝ ﹣ ＝0⇔ ＝ ⇔“ ”，根据充分必要条件的
定义判断即可．
解：由于点 A，B，C 不共线，则 ⇔（ + ）• ＝0⇔（ + ）•（
﹣ ）＝ ﹣ ＝0⇔ ＝ ⇔“ ”；
故“ ，”是“ ”的充分必要条件．
故选：C．
8．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个
顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最
上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为： ＝4 ，从下往上第三层正方体
的棱长为： ＝4，从下往上第四层正方体的棱长为： ＝2
，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于 1 时该塔形中正方体的个数的最
小值的求法．
解：最底层正方体的棱长为 8，
则从下往上第二层正方体的棱长为： ＝4 ，从下往上第三层正方体的棱长为： ＝4，
从下往上第四层正方体的棱长为： ＝2 ，
从下往上第五层正方体的棱长为： ＝2，
从下往上第六层正方体的棱长为： ＝ ，
从下往上第七层正方体的棱长为： ＝1，
从下往上第八层正方体的棱长为： ＝ ，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是 8．
故选：A．
9．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数．
解：由三视图还原原几何体如图，
其中△ABC，△BCD，△ADC 为直角三角形．
∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为 3．
故选：C．
10．在声学中，声强级 L（单位：dB）由公式 给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么 ＝（ ）
A．10 B．10 C．﹣ D．10
【分析】由 得 lgI＝ ﹣12，分别算出 I1 和 I2 的值，从而得到 的
值．
解：∵ ，
∴L＝10（lgI﹣lg10﹣12）＝10（lgI+12），
∴lgI＝ ﹣12，
当 L1＝60 时，lgI1＝ ＝ ＝﹣6，∴I1＝10﹣6，
当 L2＝75 时，lgI2＝ ＝ ＝﹣4.5，∴I2＝10﹣4.5，
∴ ＝10 ，
故选：D．
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分．
11．如果复数 z 满足 i•z＝1+i，那么|z|＝ （i 为虚数单位）．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算
公式求解．
解：∵i•z＝1+i，
∴z＝ ，
∴|z|＝ ．
故答案为： ．
12．已知 ，那么 tanα•sinα＝ ﹣
【分析】由已知利用诱导公式可求 cosα，进而根据同角三角函数基本关系即可求解．
解：∵ ，
∴cosα＝﹣ ，sin2α＝1﹣cos2α＝1﹣ ＝ ，∴tanα•sinα＝ ＝ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
13．设常数 a∈R，如果 的二项展开式中 x 项的系数为﹣80，那么 a＝ ﹣2 ．
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出
解：（x2+ ）5 的二项展开式的通项公式：Tr+1＝ （x2）5﹣r ＝ar x10﹣3r，
令 10﹣3r＝1，解得 r＝3．
∴a3 ＝﹣80，
解得 a＝﹣2．
故答案为：﹣2
14．如果抛物线 y2＝2px 上一点 A（4，m）到准线的距离是 6，那么 m＝ ．
【分析】首先求出抛物线 y2＝2px 的准线方程，然后根据点 M（4，m）到准线的距离为
6，列出 4+ ＝6，直接求出结果．
解：抛物线 y2＝2px 的准线方程为 x＝﹣ ，
由题意得 4+ ，解得 p＝4．
∵点 A（4，m）在抛物线 y2＝2px 上，
∴m2＝2×4×4，∴ ，
故答案为：±4 ，．
15．某公园划船收费标准如表：
船型 两人船（限乘 2 人） 四人船（限乘 4 人） 六人船（限乘 6 人）
每船租金（元/小时） 90 100 130
某班 16 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，每只租船必须坐满，
租船最低总费用为 360 元，租船的总费用共有 10 种可能．
【分析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果．
解：当租两人船时，租金为： ＝720 元，
当租四人船时，租金为： ＝400 元，当租 1 条四人船 6 条两人船时，租金为：100+6×90＝640 元，
当租 2 条四人船 4 条两人船时，租金为：2×100+4×90＝560 元，
当租 3 条四人船 2 条两人船时，租金为：3×100+2×90＝480 元，
当租 1 条六人船 5 条 2 人船时，租金为：130+5×90＝580 元，
当租 2 条六人船 2 条 2 人船时，租金为：2×130+2×90＝440 元，
当租 1 条六人船 1 条四人船 3 条 2 人船时，租金为：130+100+3×90＝500 元，
当租 1 条六人船 2 条四人船 1 条 2 人船时，租金为：130+2×100+90＝420 元，
当租 2 条六人船 1 条四人船时，租金为：2×130+100＝360 元，
综上，租船最低总费用为 360 元，租船的总费用共有 10 种可能．
故答案为：360，10．
三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在△ABC 中， ， 选择①（或②或③） ．求 BC 边上的高．
，②sinA＝3sinC，③a﹣c＝2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】选择①，利用正弦定理求得 a，利用余弦定理求得 c，再计算 BC 边上的高．
选择②，利用正弦定理得出 a＝3c，由余弦定理求出 c，再求 BC 边上的高．
选择③，利用余弦定理列方程求出 c，再计算 BC 边上的高．
解：选择①，在△ABC 中，由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，解得 a＝2；
由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 ＝22+c2﹣2×2×c× ，
化简得 c2﹣2c﹣3＝0，解得 c＝3 或 c＝﹣1（舍去）；
所以 BC 边上的高为 h＝csinB＝3× ＝ ．
选择②，在△ABC 中，由正弦定理得 ＝ ，
又因为 sinA＝3sinC，所以 ＝ ，即 a＝3c；由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 ＝（3c）2+c2﹣2×3c×c× ，
化简得 7c2＝7，解得 c＝1 或 c＝﹣1（舍去）；
所以 BC 边上的高为 h＝csinB＝1× ＝ ．
选择③，在△ABC 中，由 a﹣c＝2，得 a＝c+2；
由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 ＝（c+2）2+c2﹣2×（c+2）×c× ，
化简得 c2+2c﹣3＝0，解得 c＝1 或 c＝﹣3（舍去）；
所以 BC 边上的高为 h＝csinB＝1× ＝ ．
17．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取 100 名学生，收集
了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表．
时间
人数
学生类别
[0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25） [25，30）
男 6 9 10 10 9 4性别
女 5 12 13 8 6 8
初中 x 8 11 11 10 7学段
高中
（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率：
（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取 3 人进行面谈，记 X 为抽到高中的人
数，求 X 的分布列；
（Ⅲ）当 x＝5 时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直
接写出结果）
【分析】（Ⅰ）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；
（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2，3．由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；
（Ⅲ）由图表直接判断结果．
解：（Ⅰ）100 名学生中共有男生 48 名，
其中共有 20 人参加公益劳动时间在[10，20），设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的事件为 A，
那么 P（A）＝ ；
（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2，3．
∴P（X＝0）＝ ；P（X＝1）＝ ，
P（X＝2）＝ ；P（X＝3）＝ ．
∴随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（Ⅲ）初中生平均参加公益劳动时间较长．
18．如图，在三棱柱 ADF﹣BCE 中，平面 ABCD⊥平面 ABEF，侧面 ABCD 为平行四边形
，侧面 ABEF 为正方形，AC⊥AB，AC＝2AB＝4，M 为 FD 的中点．
（Ⅰ）求证：FB∥平面 ACM；
（Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣F 的大小．
【分析】（I）连接 BD，交 AC 与 O，连接 MO，由 MO∥FB，得出结论；
（II）以 A 为原点，AC，AB，AF 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 ACM
的法向量，利用夹角公式求出即可
解：（I）连接 BD，交 AC 与 O，连接 MO，
在△DFB 中，MO∥FB，
又 FB⊄平面 ACM，MO⊂平面 ACM，
所以 FB∥平面 ACM；
（II）由平面 ABCD⊥平面 ABEF，AC⊥AB，AB 为平面 ABCD 与平面 ABEF 的交线，故 AC⊥平面 ABEF，故 AF⊥AC，又 AF⊥AB，所以 AF⊥平面 ABCD，
以 A 为原点，AC，AB，AF 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（4，0，0），B（0，2，0），D（4，﹣2，0），F（0，0，2），
M（2，﹣1，1），
设平面 ACM 的法向量为 ， ，
由 ，得 ，
平面 ACF 的法向量为 ，
由 cos＜ ＞＝ ，
故二面角 M﹣AC﹣F 的大小为 45°．
19．已知函数 ，其中 a∈R．
（Ⅰ）当 a＝0 时，求 f（x）在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于 0．
【分析】（Ⅰ）求导，代入 a＝0，求出在 x＝1 处的导数值及函数值，由此即可求得切
线方程；
（Ⅱ）分类讨论得出极大值即可判断．
解：（Ⅰ） ＝ ，
当 a＝0 时， ，
则 f（x）在（1，f（1））的切线方程为 ；（Ⅱ）证明：令 f′（x）＝0，解得 x＝2 或 x＝﹣a，
①当 a＝﹣2 时，f′（x）≤0 恒成立，此时函数 f（x）在 R 上单调递减，
∴函数 f（x）无极值；
②当 a＞﹣2 时，令 f′（x）＞0，解得﹣a＜x＜2，令 f′（x）＜0，解得 x＜﹣a 或 x＞
2，
∴函数 f（x）在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，
∴ ；
③当 a＜﹣2 时，令 f′（x）＞0，解得 2＜x＜﹣a，令 f′（x）＜0，解得 x＜2 或 x＞﹣
a，
∴函数 f（x）在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，
∴ ，
综上，函数 f（x）的极大值恒大于 0．
20．已知椭圆 C： 0）的两个焦点是 F1，F2， 在椭圆 C 上，
且|MF1|+|MF2|＝4，O 为坐标原点，直线 l 与直线 OM 平行，且与椭圆交于 A，B 两点．
连接 MA、MB 与 x 轴交于点 D，E．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）求证： 为定值．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义可得 a＝2，将 M 代入椭圆方程，即可求得 b 的值，求
得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，求得直线 MA 和 MB 的方程，求得 D 和 E 的
横坐标，表示出 ，根据韦达定理即可求证 为定值．
解：（Ⅰ）因为，|MF1|+|MF2|＝4，由椭圆的定义得 2a＝4，a＝2，
点 在椭圆 C 上，代入椭圆方程，解得 b2＝2，
所以 C 的方程为 ；
（Ⅱ）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的斜率为 ，设直线 l 的方程为
，联立方程组 ，消去 y，整理得 ，
所以 ， ，
直线 MA 的直线方程为 ，令 y＝0，则 ，
同理 ，
所以： ＝ ＝
＝ ＝
，
代入整理得 ＝ ，
所以 为定值．
21．记无穷数列{an}的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 ，则称{bn}是{an}
“极差数列”．
（Ⅰ）若 an＝3n﹣2，{bn}的前 n 项和；
（Ⅱ）证明：{bn}的“极差数列”仍是{bn}
（Ⅲ）求证：若数列{bn}是等差数列，则数列{an}也是等差数列．
【分析】（Ⅰ）由{an}是递增数列，得 bn＝ ，由此能求出{bn}的前 n
项和．
（Ⅱ）推导出 bn+1≥bn，（n＝1，2，3，…}，max{b1，b2，…，bn}﹣min{b1，b2，…，bn}
＝bn﹣b1＝bn，由此能证明{bn}的“极差数列”仍是{bn}
（Ⅲ）证当数列{bn}是等差数列时，设其公差为 d′，bn﹣bn﹣1＝ ﹣ ＝
﹣ ＝d′，{an}是一个单调递增数列，从而 Mn＝an，mn＝a1，由 d′＞0，d′＜0，d′＝0，分类讨论，能证明若数列{bn}是等差数列，则数列{an}也是等差数
列．
解：（Ⅰ）解：∵无穷数列{an}的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn， ，
an＝3n﹣2，
{an}是递增数列，∴bn＝ ，
∴{bn}的前 n 项和 Sn＝ ＝ ．
（Ⅱ）证明：∵max{a1，a2，…，an}≤max{a1，a2，…，an+1}，（n＝1，2，3，…}，
min{a1，a2，…，an}≥min{a1，a2，…，an+1}，（n＝1，2，3，…}，
∴max{a1，a2，…，an+1}﹣min{a1，a2，…，an+1}≥max{a1，a2，…，an}﹣min{a1，a2，
…，an}，（n＝1，2，3，…}，
∴bn+1≥bn，（n＝1，2，3，…}，
∵b1＝a1﹣a1＝0，
∴max{b1，b2，…，bn}﹣min{b1，b2，…，bn}＝bn﹣b1＝bn，
∴{bn}的“极差数列”仍是{bn}
（Ⅲ）证明：当数列{bn}是等差数列时，设其公差为 d′，
bn﹣bn﹣1＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝d′，
根据 Mn．mn 的定义，得：
Mn≥Mn﹣1，mn≤mn﹣1，且两个不等式中至少有一个取等号，
当 d′＞0 时，必有 Mn＞Mn﹣1，∴an＝Mn＞Mn﹣1≥an﹣1，
∴{an}是一个单调递增数列，∴Mn＝an，mn＝a1，
∴bn﹣bn﹣1＝ ＝ ＝d′，
∴an﹣an﹣1＝2d′，∴{an}是等差数列，
当 d′＜0 时，则必有 mn＜mn﹣1，∴an＝mn＜mn﹣1≤an﹣1，
∴{an}是一个单调递减数列，∴Mn＝a1，mn＝an，
∴bn﹣bn﹣1＝ ﹣ ＝ ＝d′，
∴an﹣an﹣1＝﹣2d′．∴{an}是等差数列，
当 d′＝0 时，bn﹣bn﹣1＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝0，∵Mn﹣Mn﹣1，mn﹣mn﹣1 中必有一个为 0，
根据上式，一个为 0，为一个必为 0，
∴Mn＝Mn﹣1，mn＝mn﹣1，
∴数列{an}是常数数列，则数列{an}是等差数列．
综上，若数列{bn}是等差数列，则数列{an}也是等差数列．
微信/支付宝扫码支付