2020年3月高三第三次在线大联考 数学（山东卷）（全解全析答案）.docx

2020 年 3 月高三第三次在线大联考（山东卷） 数学全解全析 （满分：150 分 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 考试时间：120 分钟） 7 D 8 C 9 CD 10 AD 11 BCD 12 CD 1．【解析】 C 因为 A 故选 C． ? { x | 2 ? x ? 0} ? { x | x ? 2} ，B ? { x ? Z | y ? ln ( x ? 1)} ? { x ? Z | x ? ? 1} ， 所以 A ? B ? {0 ,1, 2} . 2． D 【解析】 因为满足 | z ? i |? | z ? i | ?0 的点 Z 为复平面内到点 ( 0 ,1) 和 ( 0 , ? 1) 的距离相等的点的集合， 所以 Z ( x , y ) .故选 D． a ? 0 .0 2 0 ? 2 ? 0 .0 4 0 ) ? 1 0 ? 1 ，解得 a ? 0 .0 1 0 的轨迹为 x 轴，其方程为 y 3．C【解析】由题可得 ( 0 .0 0 5 ? 2 ? 则 ( 0 .0 0 5 ? ， 0 .0 1 0 ? 0 .0 2 0 ) ? 1 0 ? 0 .3 5 ， 0 .3 5 ? 0 .0 4 0 ? 1 0 ? ? 0 .7 5 ? 0 .5 ， ，故选 C． 2 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为 1 7 0 4．B 【解析】 y ?t 2 0 .5 ? 0 .3 5 1 0 ? 0 .0 4 0 ? 1 0 ? 1 7 3 .7 5 ( c m ) ?2? t 1 2 ?1 ? (t 2 ? 1) ? t 1 2 ?1 ?3?2 (t 2 ? 1) ? t 1 2 ?1 ? 3 ? ?1 ，当且仅当 t a ?b |a |?|b | ?1? t 1 2 ?1 ，t 即 ?0 y a 时取等号， 取得最小值为 ? 1 .此时， ? ( ? 1, 0 ), b ? ( 2 , ? 1) ， cos 则 a ,b ? ? ?2 1? 5 ?? 2 5 5 .故选 B． 5．A 【解析】因为 又 f (?) ? 3 5? ? f (? x) ? 5 ( ? x ) ? 2 s in ( ? x ) 3 ?x ?3 x ? 5 x ? 2 s in x 3 ?3 x ?x ? f (x) ，所以函数 f (x) 是偶函数，排除 B、D， ?3 ?? ?0 ，排除 C，故选 A． 或n 2 6．【解析】 n D 当 ? 4k ? 3 ? 4k ? 2 2 时， ? 1) ( [ n ?1 2 ] ?1 ；n 当 2 ? 4k ? 1 或 n ? 4k 时， ? 1) ( [ n ?1 2 ] ? ?1 ， 所以 a 4 k ? 3 ? ? a4k ?2 ? a 4 k ? 1 ? a 4 k ? ( 4 k ? 3) ? ( 4 k ? 2 ) ? ( 4 k ? 1) ? ( 4 k ) ? ? 3 2 k ? 1 2 2 ，所以数列{ a n } 的前 60 项和 S 6 0 ?32 ? 12 ? 32 ? 15 ? 12 2 ? 15 ? ?3660 .故选 D． ，A A ' ? a ? b ， 所以 A 'B 2 ? A 'B 2 7．【解析】 D 如图， 连接 B D ， 因为 A B BD 2 ? a, AD ? b ?a 2 2 ? (a ? b ) 2 2 ， 'D 2 A 2 ? b ? (a ? b) 2 2 2 2 2 ， ? ?a ?b 2 2 ，结合余弦定理得 c o s ? B A 'D ? A 'D 2 ? BD 2 2 A 'B ? A 'D ? a ? (a ? b ) ? b 2 a 2 ? (a ? b ) ? (a 2 ?b ) 2 ? (a ? b) ? b 2 ? (a ? b ) 1 1? ( b a?b ) 2 ? 1? ( s i? n c o? s 1 a a?b ) 2 ? co s ? B A 'A ? co s ? D A 'A ．又因为 t a n? B A 'A ? t a ? D A 'A ? n a a?b ? b a?b ? ? 1 ? c o s? B A ' A s i n? B A ' A D A 'A ，所以 s i n (? B A ' A ? ，所以 ? B A ' D ? ? D A ' A) ? c o s ? B A ' A? c o s? D A ' A? c o s? B A ' D D A 'A 数学全解全析第 1 页（共 7 页） ? D A 'A ? ? B A 'A ? 9 0 ? ，故选 D． 8．C【解析】设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ，直线 AB 的方程为 x y1 ? y 2 ? 4 m ? my ? 4 ，与 y 2 ? 4x 联立得 y 2 ? 4m y ? 16 ? 0 ，则 ， y1 y 2 ? ?16 ，所以 O A ? O B ? OB ??? ??? ? ? ? ( m y 1 ? 4 )( m y 2 ? 4 ) ? y 1 y 2 ? (1 ? m ) y 1 y 2 ? 4 m ( y 1 ? y 2 ) ? 1 6 ? ? 1 6 (1 2 ? m ) ? 16m 2 2 ? 16 ? 0 ，所以 O A ，则 | O A | 2 ? | O B | ?| A B | 2 2 ,所以 | O A | ? | O B |? 2 (| O A | ? | O B | ) 2 2 ? ，所以 2 | A B | （当且仅当 | O A | ? | O B | 时等号成立） ? ?4, b ? 1 | OA | ? | OB | | AB | 的最大值为 2 .故选 C． 可知 B 错误；而 C， 9．CD 【解析】A，举反例，取 a D 显然正确．故选 CD． 10． 【解析】 AD 首先， 函数 所以函数 f (x) f (x) f (x) 可知 A 错误；B，举反例，取 a ? 1, b ? ? 2 的定义域为 { x | x ? 0} ， 关于原点对称， 因为 f ( ? x ) ? ln | ? x | ? 1 x +1 2 1 (? x) ? 1 2 ? f (x) ， 为偶函数，故 A 正确；当 x ? 0 时， f ( x ) ? ln x ? ，由复合函数的单调性可知，函数 f (x) 单调递增，由偶函数的图象关于 y 轴对称，可知当 x ? 0 时，函数 f (x) 单调递减，故 B 错误，C ， 错误；由函数 是偶函数及其单调性，得 x ? 0, 或 0 ? x ? 1 3 f ( x ? 1) ? f ( 2 x ) 等价于 | x ? 1 |? | 2 x | ，即 ( x ? 1) 2 ? ( 2 x ) 2 结合定义域解得 ? 1 ? 11．BCD 【解析】 f ( x ) ? 函数 f (x) ，故 D 正确．故选 AD． 2 cos x ? 2 6 s in x c o s x ? 2 2 ? 6 2 s in 2 x ? 2? 1 ? cos 2 x 2 ? 2 2 ? 2 s in ( 2 x ? π 6 ) ，将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 π 3 )? 2 s in ( 4π 3 ? ? π 6 π 6 ?x?? 2 2 1 2 ， 纵坐标不变， 得函数 g ( x ) π 3 ? 2 s in ( 4 x ? π 6 ) 的图象． 对 于选项 A， g ( )?? 2 ，故函数 g ( x ) 的图象不关于点 ( ,0) 成中心对称，A 错误；对 于选项 B， x ? ( ? π , π ) 得 4 x 由 B 正确；对于选项 C，由 ? 最大值为 ? ? 6 ? k? 2 π 2 ? (? π 4 23π 25π , ) 6 6 ， 结合函数图象可得函数 g ( x ) 在 ( ? π , π ) 上有 8 个极值点， ? 4x ? π 6 ?? 5π 6 ，得 ? 1 1π 6 ，则 ? ? 2 2 2 ? g(x) ? 2 ，所以函数 g ( x ) 的 ? 2 k ? ?k ?Z 2 ，最小值为 ? ? 12 ? k? 2 ,k ? Z ，C 正确；对于选项 D，由 ? ? 6 ?x? ? 12 ? 2k ? ? 4 x ? π 12 ? 6 ? ? 2 ，解得 ?x? ，取 k ? 0 ，得 ? ，故函数 g ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递增，D 正确．故 选 BCD． 12． 【解析】 CD 如图所示， 连接 A C , B D ， A C 设 O ? BD ? H ， 连接 S H ， 根据题意可得 S H ? 平面 A B C D ． 设 为四棱锥 S ? A B C D 的外接球的球心，则 O 在 S H 上．连接 O C ，设此四棱锥的外接球的半径为 R ， 数学全解全析第 2 页（共 7 页） 则 O S ? O C ? R ．因为正方形 A B C D 的边长为 2 ，所以 C H ? 1 ， S C ?1 ? 2 ， S H ? 1 ，所以 H , O 重合， 即四棱锥的高 S H ? 1 ，四棱锥的外接球的半径 R S ? 4πR 2 ，直径为 2，所以四棱锥的外接球的表面积 ? 4π ，体积 V ? 4 3 ?R 3 ? 4 3 ? ．故选 CD． 13． ? 1 1 【 解 析 】 ( x 1 2 4 4 ? 2 y) (x ? y) 3 5 的展开式中含 5 0 5 3 xy 3 5 的 项 为 C 3 x 0 ( 2y 3 3 ) C x ? y )? ( 5 3 2 3 2 Cx (2 y 3 2 ) 5 Cx ? ( y ?) 2 3 2 3 C 3 x (2 y )C 5 x (? y ) ? C 3 x (2 y ) C 5 x (? y ) ? ? 1 1x y 0 3 0 5 ， 所以 ( x ?? ? 2 y) (x ? y) 5 的展开式中 x 3 y 5 的系数为 ? 1 1 ． 2 14． 2 m 2 2?2 2 【解析】设 | M F1 2 |? m , | M F 2 |? n ? 2 1 ? cos ? ， ? F1 M F 2 ，则 4 c 2 ?m 2 ? n ? 2 m n cos ? .又 m ? n ? 2a 2 cos ? 1 ? cos ? ，即 ? ? n ? 2mn ? 4a 2 ，解得 m n π 4 , π 3 ，所以 M F1 ? M F 2 2 2 ???? ????? ? ???? ? ????? ? | M F1 | ? | M F 2 | ? c o s ? ? m n c o s ? ? ?2 1 cos ? ， 因为 ? ?1 ?[ ]， 所以 1 2 ? cos ? ? ， 2? 1 cos ? ， 2 ?1? 1 cos? ?1?1， 2 ? 则 2 1 cos ? ?1 ? 2 2 ?1 ?2 ???? ????? ? 2 ? 2 ，所以 M F1 ? M F 2 的最大值为 2 2?2 ． 1 m )( m ? 0 ) 1 m 2 15． ? 3 3 2 【解析】设直线 l 与函数 1 x 2 f (x) 及 g ( x ) 的图象分别相切于 A ( m , ? 1 m 2 ， B (n, n 2 ? a) ， 1 m 2 2 因为 f ?( x ) ? ? ， 所以函数 f (x) 的图象在点 A 处的切线方程为 y ?? (x ? m) ，y 即 ?? x? 2 m ， ， 因为 g ? ( x ) ? 2x ， 所以函数 g ( x ) 的图象在点 B 处的切线方程为 y ? n ? a ? 2n(x ? n) ，y 即 ? 2x ? nn ? a 2 因为存在直线 l 与函数 1 ? 2n ? ? 2 ? ? m f ( x ) 及 g ( x ) 的图象都相切，所以 ? 2 ??n ? a ? 2 ? m ? ? 1 4 t 4 ，所以 a ? 1 4m 4 ? 2 m ， 令t 当t ? 1 m (t ? 0 ) ，设 h ( t ) 0 ? 2 t (t ? 0 ) ，则 h ? ( t ) ?t ?2 3 ， 时， h ? ( t ) ． ?0 ?? 3 2 时， h ? ( t ) ? ? h(? 3 ，函数 h ( t ) 单调递减；当 ? 3 3 3 2?t?0 ，函数 h ( t ) 单调递增， 所以 h ( t ) m in 16．408， 5 17 2) ? ? 2 ，所以实数 a 的最小值为 ? 3 3 2 2 2 【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余 5 节课，故有 A 5 种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一 5 数学全解全析第 3 页（共 7 页） 门，有 C 14 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有 C 13 种排法，余下的四门课程可任意 排列， A 4 种排法， 有4 故上午第一节课不排数学共有 C 14 不同的排法．数学排第一节课的概率 P 17． （本小题满分 10 分） 【解析】 （1）因为 所以数列 { 1 an } ?C3 ?A4 1 4 种排法， 综上， A 5 有5 5 17 ? C 4 ? C 3 ? A 4 ? 408 1 1 4 种 ? A5 408 5 ? 5 17 ．故答案为 408， ． an a n ?1 ? an a n ?1 ? 2(n ? 2) 1 an ，所以 a n } ?0 ，所以 1 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 2 an ， ， 分） （2 1 a3 ? 2d ) ? ( 1 a3 ? d) 2 是等差数列，设数列 { 的公差为 d ，由 a 1 ，所以 2 ? a2 可得 d 1 a3 ?0 因为 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列，所以 a 1 a 5 因为 a 3 ? 1 5 ? a2 2 1 a1 ? 1 a5 ? 1 a2 2 ，所以 ( ? 2 d )( ， ，所以 (5 ? 2 d )(5 ? 2 d ) ? (5 ? d ) 1 an ? 1 a3 ， 分） （4 ，所以 a n ? 1 2n ? 1 解得 d ? 0 （舍去）或 d （2）由（1）知 a n 所以 b n ? a n a n + 1 S n ? 所以 T n ? 1 4 n? 1 8 ? 1 ?2 ，所以 ，Sn ? ? (n ? 3)d ? 2 n ? 1 ． 分） （5 n (1 ? 2 n ? 1) 2 2n ? 1 ?n 2 ， ? 1 4 ? 1 1 1 ( ? ) 8 2n ? 1 2n ? 1 n 2 ( 2 n ? 1) ( 2 n ? 1) ? 1 4 ? 1 4 ( 2 n ? 1) ( 2 n ? 1) ， ． （10 分） ? (1 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 5 ?? ? 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1 )? 1 4 n? 1 8 ? (1 ? 1 2n ? 1 )? n ?n 2 4n ? 2 18．（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）在 R t △ A B D 中，由 c o s ? A B D 所以 B D ? AD s in ? A B D ?3 ? 5 3 ，得 s in ? A B D ? 1 ? cos ? A B D ? 2 2 3 ， .（3 分） ? BD 2 在 △ B C D 中， 由余弦定理得 B C 2 所以 B C ? 25 ? 12 3 ? CD 2 ? 2 B D ? C D cos ? B D C ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 3 2 ? 25 ? 12 3 ， .（6 分） ? ?ADC （2）设 ? C B D ?x ，由 ? C ，?BDC ? ? π 6 可得 ? C ? ? 5π 6 ?x ，?ABD ?x? π 6 ， 在 R t △ A B D 中，因为 A D ?2 ，所以 B D AD s in ? A B D 2 s in ( x ? BD s in ( 5π 6 ? x) π 6 ) ， 分） （8 在 △ B C D 中，由正弦定理得 BD s in ? C ? CD s in ? C B D ，即 ? 4 s in x ， 所以 s in ( x ? 2 π 6 ) s in ( 5π 6 ? x) ? 4 s in x ，整理得 4 s in 2 x ? 2 s in x ? 1 ? 0 .（10 分） 由 sin x ?0 得 s in x? 1? 4 5 ，所以 s in ? C B D ? 1? 4 5 .（12 分） 数学全解全析第 4 页（共 7 页）