2020年3月高三第三次在线大联考 数学（江苏卷）（全解全析答案）.doc

2020 年 3 月高三第三次在线大联考（江苏卷） 数学 全解全析 1．3 【解析】由 A ? 2． 2 ?i B ? {2 , 3} ,可知 2 ? A 且3? ，则 z A ，所以 b ?3 . ?2?i ? c ,b 2 【解析】由题意得 z ? 2 i ? 2 ? 3i ?2?i ，那么 z ?b 2 . 2 3．4 【解析】因为双曲线的焦距为 10，所以 c ?5 ，因为 a 2 ? 9, 所以 a 2 . ? 16, 又a ?0 ，所以 a ? 4. 4．6 【解析】由题意得，应从 B 部门中抽取的人数为 3 6 ? 5．21 【解析】执行题中的伪代码，可知：第一次循环， s s ? 1 3, i ? 4 ; 80 240 ? 80 ? 160 ? 3, i ? 2 ; ?6 第二次循环， s ? 7 , i ? 3; 第三次循环， 第四次循环， s ? 2 1, i ? 5 , 此时终止循环.故输出 s 的值是 21. 6． 1 8 【解析】根据题意易知 ( a , b ) 的所有可能情况有： （1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3） ， ， ， ， ， ， ， ? 2x （2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4） ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 16 个，若点 ( a , b ) 在直线 y 则b 1 27 上， ? 2a ，而满足 b ? 2a 的 ( a , b ) 的情况有： （1,2）（2,4） ， ，共 2 个,故所求概率为 . 8 1 7． 或 ? 2 【解析】∵ ? lo g 3 x , x ? 0 , f (x) ? ? ? f ( 2 7 ) ? lo g 3 2 7 ? 3 , 又 f ( m ) ? f ( 2 7 ) ? 0 , ? f ( m ) ? ? f ( 2 7 ) ? ? 3 . ? x ? 1, x ? 0 , 当m ?0 时，由 f ( m ) ? lo g 3 m ? ? 3 , 得m ? 1 27 ; 当m ?0 时，由 f ( m ) ? m ? 1 ? ? 3, 得m ? ?2. 8．94 【解析】设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为数列 { a n } 的各项均不相等，所以 d 为等比数列 { b n } 的前三项，所以 a 42 比数列 { b n } 的公比 q 9． 2 2 ?0 ，因为 a 1 , a 4 , a 1 0 恰 ，易知等 ? a1 a1 0 , 即 ( a1 ? 3 d ) ? a 1 ( a 1 ? 9 d ), 2 得 a1 ? 3 d , 所以 a k ? ( k ? 2 ) d ? a4 a1 ? 6d 3d ? 2 , 所以 b ? a ? 2 5 ? 9 6 d , 6 1 ? 1 ，所以 a 2 所以 ( k ? 2)d ? 96d , k ? 94. 7 2 a ? 2b 2 【解析】因为 a 2 2 ? 3ab ? 4b 2 ? 4b 2 ? 1 ? 3ab, 所以 ( a 2 ? 2b) 2 ? 1 ? 7ab ? 1 ? ?( ), 2 即 ( a ? 2 b ) ? 8 , 解得 ? 2 2 ? a ? 2b ? 2 2, 当且仅当 a ? 2,b ? 时， a ? 2b 取得最大值 2 2 . 2 10．36 【解析】因为斜 边 过 球 O 的 球 心 ,所 以 直 角 三 角 形 ABC 所 在 的 圆 是 过 球 心 的 一 个 大 圆 ,所 以 △ A B C 的 斜 边 长 为 12, S △ A B C ? 1 2 ? 1 2 sin 2 π 12 π cos ? 12 π 3 6 sin ? 6 1 因 为 P A ? P B? 8, ,所 以 点 PC 所以 VP? ? P在 平 面 ABC 上 的 射 影 为 △ A B C 的 外 心 O ,连 接 PO,则 1 3 S △ ABC ? P O ? 1 3 ? 18 ? 6 ? 36. PO ? 平面 ABC ,且 P O ? 6, ABC 11．3 【解析】解法一： A C ???? ???? ???? ???? ???? ???? 1 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 2 ? BD ? ( AD ? DC ) ? (BC ? CD ) = AD ? BC ? AD ? CD ? DC ? BC ? CD ? ? 2 ①， 数学 全解全析 第 1 页（共 10 页） 又 AC ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? 2 ? ??? ???? ???? ??? ? ? ???? ???? 1 ? BD ? ( AB ? BC ) ? (BA ? AD ) ? ? AB ? AB ? AD ? BC ? BA ? BC ? AD ? ? 2 ???? ②， ①+②得 A D ???? ???? ???? ???? ???? 2 ??? 2 ? ??? ???? ???? ??? ? ? ???? ? (BC ? CD ) ? DC ? BC ? CD ? AB ? AB ? AD ? BC ? (BA ? AD ) ? ?1 ， ???? ???? ???? ???? ???? 2 ??? 2 ??? ???? ???? ???? ? ? ? AD ? BD ? DC ? BC ? CD ? AB ? AB ? AD ? BC ? BD ? ?1 ， ???? ???? ??? ? ???? 2 ??? 2 ? ???? ???? ???? ???? 2 ???? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? A D ? ( B D ? A B ) ? C D ? A B ? B C ? ( B D ? D C ) ? ? 1 ,? A D ? B C ? C D ? A B ? ? 1 ， 又| BC ???? ??? ? ???? 2 2 |? 4 , | A B | ? | A D | ? 8 ??? ? ???? 2 2 AB | ? | AD | ? 8 ， ?| C D ，? ???? ???? 2 | ? 9 , | C D |? 3 . 解法二：∵ | 即 AC ???? 2 ???? ??? ? ???? ???? 2 2 ( A C ? C B ) ? ( A C ? C D ) ? 8, ??? 2 ? ???? ??? ? ???? 2 ???? 2 ???? ???? ? CB ? 2 AC ? CB ? AC ? CD ? 2 AC ? CD ? 8 , ??? 2 ? ???? ??? ? ???? ???? 2 ? C B ? 2 A C ? (C B ? C D ) ? C D ? 8 ，? C B ??? 2 ? ???? ???? ???? 2 ? 2 AC ? D B ? C D ? 8. 又| BC 12． ? 1 2 ???? ???? ???? 1 |? 4 , A C ? B D ? ? 2 ， ?| C D ???? ???? 2 | ? 9 , | C D |? 3 . 【解析】解法一：由题意可知 A 2 (1, 0 ) , B 1 ( 0 , ? 1) , B 2 ( 0 ,1) ，因为直线 B 2 P 的斜率为 k 1 ，所以直线 B 2 P ? y ? k1 x ? 1 ? ?x ? y ? 2 2 的方程为 y ? k1 x ? 1 ，由 ? ?1 得 P (? 2 k1 1 ? k1 2 , 1 ? k1 2 2 1 ? k1 ), 则直线 A 2 P 的方程为 y ? k1 ? 1 k1 ? 1 ( x ? 1) , 令x ? 0, 则y ? 1 ? k1 k1 ? 1 , 即M (0, 1 ? k1 k1 ? 1 ) ，易知直线 A 2 B 1 的方程为 y 1 ? k1 1 ? k1 ? 2 k1 1 ? k1 ?y ? x ?1 ? x ? 1, 由 ? ? y ? k1 x ? 1 ，得 N ( 1 ? k1 2 , ) 1 ? k1 1 ? k1 ， 1 ? k1 所以直线 M N 的斜率 k 2 ? 1 ? k1 ? 2 ，所以 1 2 k1 ? 1 k2 ?? 1 2 . 1 ? k1 解法二： 由题意可知 A 2 (1, 0 ) , B 1 ( 0 , ? 1) , B 2 ( 0 ,1) ,设 P ( x 0 , y 0 ) , 0 ? x 0 ? 1, 0 ? y 0 ? 1 ， k 1 ? 则 y0 ? 1 x0 ,所以直线 B 2 P 的方程为 y? y0 ? 1 x0 x ? 1. 易知直线 A2 B1 的方程为 y ? x ? 1, 则由 ?y ? x ?1 ? y0 ? 1 ? y? x ?1 ? x0 ? ，得 N( 2 x0 x 0 ? y 0? 1 x ?0 y ? 1 0 x0 ? y0 ? 1 x0 ? 1 , , x 0? y ?0 1 ) ,易知直线 1 ?? 1 2 . A2 P 的方程为 y? y0 x0 ? 1 ( x ? 1 ) .则 M ( 0 , y0 1 ? x0 ), 又 x 0 ? y 0 ? 1, 2 2 所以 k2 ? 则 1 2 k1 ? k2 13．( 4 3 3 , 4) 【解析】因为 △ A B C 是锐角三角形，且 a S , T ? ( a ? b ? c )( a ? b ? c ), ? b ? c, 所以 π 2 ? A?B?C ,故 π 3 ? A? π 2 . 记△ ABC 1 2 的 面积为 则由三角形的面积公式及余弦定理可得 S? b c s in A , 数学 全解全析 第 2 页（共 10 页） T ?a 2 ? b ? c ? 2 b c ? 2 b c (1 ? c o s A ), 2 2 所以 T ? T S ? 4 (1 ? c o s A ) s in A 2 s in ? 4? 2 A 2 A 2 ? 4 ta n A 2 2 s in A 2 cos ?( 4 3 3 , 4) 27 4 . e 2 14． ( ? ? , ? ) ? (e, ? ? ) ? { } 【解析】当 x ? 1 时, f ( x ) ? e x , f ?( x ) ? e ( x ? 1) x 4 x x 2 ? 0, 所以 f (x) 在 [1, ? ? ) 上单调 递增，作出 y ? f (x) 的大致图象如图所示： ①当直线 y ? ax 与曲线 y ? e x ( x ? 1) x 相切时， 设切点为 A ( x 1 , e x1 ) .由 x ? 1 时，f ( x ) ? e x ，f ?( x ) ? e ( x ? 1) x x1 x x 2 , 得 e x1 2 ? e 1 ( x 1 ? 1) x x1 x1 2 , 解得 x 1 ?2 ，此时 a ? e 2 . 结合图象可知，当 a ? e 2 时，若 x ? 1 ，则方程 f ( x ) ? a x 有 4 4 1 个根，若 x 以曲线 y ? e x ? 1 ，则方程 f ( x ) ? a x ( x ? 1) 也有 1 个根.故 g ( x ) ? f (x) ? ax 在 R 上有 2 个零点.因为 时， g ( x ) ? 1) ), 3 f (1) ? e ，所 的左端点的坐标为 (1, e ) ，由图象可知，当 a ? ? ( x ? 1) ( x ? 1) 3 ?e ? f (x) ? ax 有 2 个零点. 3 3 2 x ②当直线 y ? ax 与曲线 y 相切时，设切点为 B ( x 2 , ? ( x 2 ? ( x 2 ? 1) x2 3 由y ? ? ( x ? 1) ? ? x ? 3 x ? 3 x ? 1 ，得 y ? ? ? 3 x ? 6 x ? 3 ? ? 3 ( x ? 1) 2 2 ，所以 ? ? 3( x 2 ? 1) , 2 解得 x 2 ?? 1 2 ，此时 a ?? 27 4 . 由图 可得，当 a 个零点. ?? 27 4 时，直线 y ? ax 与曲线 y ? ? ( x ? 1) ( x ? 1) 3 有 2 个不同的交点，即 g ( x ) ? f (x) ? ax 有2 综上可得，当 a ?? 27 4 或a ?e 或a ? e 2 时，函数 g ( x ) ? f ( x) ? ax (a ? R ) 有 2 个零点. 4 15．（本小题满分 14 分） 【解析】 （1）因为 C D∥ 平面 A B E , 所以 C D ∥ A B . （3 分） CD ? 平面 A B C D ，平面 A B C D ? 平面 A B E ? AB ， 数学 全解全析 第 3 页（共 10 页） 因为 C D ? 平面 P A B , A B ? 平面 P A B ， 所以 C D∥ 平面 P A B .（6 分） （2）因为 C D ∥ A B , A E 所以 A B ? AE , ? CD, （8 分） 平面 P A D ,平面 A B E ? 又平面 A B E 所以 A B 因为 P D 所以 A B 又 PB ? ? ? 平面 P A D ? AE , AB ? 平面 A B E , 平面 P A D .（10 分） 平面 P A D , （12 分） 平面 P A B , A B ? ? PD , ? PD , PB ? 平面 P A B , P B ? AB ? B, 所以 P D ? 平面 P A B .（14 分） 16．（本小题满分 14 分） 【解析】 （1）设 ? A O B ? ?BOC ? ? , 因为点 B ( ? 1 ? cos ? ? 2 1 3 , y1 ) 在单位圆 O 上，所以 c o s ? 1 3 ) 2 ?? 1 3 . （2 分） 因为点 B 在第二象限，所以 s in ? 所以 c o s 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? (? 2 ? 1 ? (? ? 2 3 2 , （4 分） 1 3 ) ?1? ? 2 7 9 , s in 2 ? ? 2 s in ? c o s ? ? 2 ? 7 9 2 3 2 ? (? 1 3 )?? 4 9 2 , （6 分） 所以点 C 的坐标为 ( ? ,? 4 9 2 ) .（7 分） ? ? C O A ? 2? BO C , （2）因为 ? A O B , ? B O C , ? C O A 的弧度数成等差数列，所以 ? A O B 又 ?AOB 设 ?AOB ? ?COA ? ?BOC ? 2π ? ?, , 所以 ? B O C 2 3 π? ?)? 4 3 ? 2 3 π . （9 分） 则?COA 1 3 ? 2π ? ( π? ?, （10 分） 由题得 c o s ? ?? , s in ? ? 4 3 2 3 2 , 4 3 π c o s ? ? s in 4 3 π s in ? 所以 c o s ? C O A ?? 1 2 ? (? 1 3 ? cos( π ? ? ) ? cos ) ? (? 3 2 )? 2 3 2 ? 1? 2 6 6 . （14 分） 17．（本小题满分 14 分） 【解析】（1）因为当猪肉市场价格为 26 元/千克时，日需求量为 13.2 万千克， 所以 m ? 2880 30 2 ? 1 3 .2 , 解得 m ? 1 0 . （1 分） 数学 全解全析 第 4 页（共 10 页）