冲刺2020年高考数学小题狂刷卷（浙江专用解析版）

04 练 冲刺 2020 年高考数学小题狂刷卷（浙江专用） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知 ,复数 ，若 为纯虚数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由 ， 因为复数是纯虚数，所 以 满足题意，故选 B. 2．函数 是（ ） A．周期为 的偶函数 B．周期为 的偶函数 C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数 【答案】A 【解析】 ， ，为偶函数.故选 A. 3．已知集合 或 ，集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B a R∈ 1 22 , 1 2z ai z i= + = − 1 2 z z a 0 1 3 5 ( ) ( )1 2 2 (1 2 )2 2 2 ( 4) 2 2 4 1 2 1 2 (1 2 ) 5 5 5 ai iz ai a a i a a iz i i i + ++ − + + − += = = = +− − + 1a = ( ) 2 33sin 3 2f x x π = +   3π 2π 3π 4 3 π ( ) 2 3 23sin 3cos3 2 3f x x x π = + = −   3T π= { 1A x x ≤= − }1x ≥ { }0 1B x x= < < { }1A B∩ = RA B A∩ = ( ) ( ]R 0,1A B∩ = A B = R【解析】 故 A 错； 故 B 正确； ； ；故选 B. 4．点 到抛物线 准线的距离为 2，则 a 的值为（ ） A．1 B．1 或 3 C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】依题意可知 ，抛物线的标准方程为 当 时，抛物线的准线方程为 ，点 到 的距离为 ，解 得 .当 时，抛物线的准线方程为 ，点 到 的距离为 ，解得 .所以 的值为 或 .故选 C. 5．若 满足约束条件 ,且 的最大值为 9．则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出可域如下图，其中 x=m 是一条动直线，由于已知 ，所以当 经过可行 域某个顶点（或边界）时取到最大值，此时点 A(3,-3)，所以 m=3,选 D. 1 B∉ { }R 0 1B x x x= ≤ ≥或 ( ) ( ]R 0,1A B∩ ≠ RA B∪ ≠ ( )1,1M 22y ax= 1 8 1 24 − 1 4 − 1 12 0a ≠ 2 1 2x ya = 0a < 1 8y a = − ( )1,1M 1 8y a = − 1 11 1 28 8a a  − − = + =   1 24a = − 0a > 1 8y a = − ( )1,1M 1 8y a = − 1 11 1 28 8a a  − − = + =   1 8a = a 1 8 1 24 − x y， 0 3 0 0 x y x y x m + ≥  − + ≥  ≤ ≤ 2z x y= − m 12 1 2 3 max2x- 9y =（ ） 2 9x y− =6．电影院一排 10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有 空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A．40 B．36 C．32 D．20 【答案】A 【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有 7 个座位，共可形成六个空，三人从 6 个空中选三位置坐上去 有 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的 坐法有 种.故答案为 A. 7．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．-3 B．-5 C．-6 D．-9 【答案】D 【解析】由 可知 ， 设等差数列 的公差为 ，则 ，∵ ，∴ ，则 ， ， ,设 ， ，∴ 的极小值点为 ，∵ ，且 ， ，∴ ，故选 D. 3 6C 2 2A 3 6C 2 2 40A⋅ = { }na n nS 1 12, 0, 3( 2)m m mS S S m− += − = = ≥ nnS 1 12, 0, 3( 2)m m mS S S m− += − = = ≥ 12, 3m ma a += = { }na d 1d = 0mS = 1 2ma a= − = − 3na n= − ( 5) 2n n nS −= 2 ( 5) 2n n nnS −= 2 ( 5)( ) , 02 x xf x x −= > 23'( ) 5 , 02f x x x x= − > ( )f x 10 3x = n Z∈ (3) 9f = − (4) 8f = − min( ) 9f n = −8．已知随机变量 满足 ， ，其中 .令随机变量 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量 满足 , ,其中 . 则随机变量 的分布列为: 所以 ,随机变量 , 所以当 时, ,当 时, , 所以随机变量 的分布列如下表所示(当 时, 只有一个情况,概率为 1): 则 , , 当 即 ,解得 .所以 A、B 错误. ξ ( 0) 1P pξ = = − ( 1)P pξ = = 0 1p< < | ( ) |Eη ξ ξ= − ( ) ( )E Eη ξ> ( ) ( )E Eη ξ< ( ) ( )D Dη ξ> ( ) ( )D Dη ξ< ξ ( 0) 1P pξ = = − ( 1)P pξ = = 0 1p< < ξ ξ 0 1 P 1 p− p ( ) ( ) ( ), 1E p D p pξ ξ= = − | ( ) |Eη ξ ξ= − 0ξ = ( )E pη ξ ξ= − = 1ξ = ( ) 1E pη ξ ξ= − = − | ( ) |Eη ξ ξ= − 0.5p = η η p 1 p− P 1 p− p ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1E p p p p p pη = − + − = − ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 1 2 1D p p p p p p p pη = − − ⋅ − + − − − ⋅       ( )( )21 2 1p p p= − − ( ) ( )E Eξ η= ( )2 1p p p= − 1 2p =恒成立.所以 C 错误,D 正确,故选 D. 9．在平行四边形 中，点 在对角线 上（包含端点），且 ，则 有（ ） A．最大值为 ，没有最小值 B．最小值为 ，没有最大值 C．最小值为 ，最大值为 4 D．最小值为 ，最大值为 【答案】C 【解析】如图： 所以 , （1）当点 在 上,设 , ,当 时,有最小值 ;（2）当点 在 上,设 , ,当 时,有最大值 4;综上 有最小值为 ,最大值为 4.故选 C. 10．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若存在过 的直线分别交双曲线 的左、右支于 ， 两点，使得 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） ( ) ( )D Dξ η− ( ) ( )( )21 1 2 1p p p p p= − − − − ( )224 1 0p p= − > ABCD P AC 2AC = ( )PB PD PA+ ⋅   1 2 1 2 − 1 2 − 4− 1 2 2PB PD PO+ =   2PB PD PA PO PA+ ⋅ = ⋅    （ ） P AO | | [0,1]PO a= ∈ ( ) 2 2 (1 )PB PD PA PO PA a a+ ⋅ = ⋅ = − −     1 2a = 1 2 − P CO | | [0,1]PO a= ∈ ( ) 2 2 (1 )PB PD PA PO PA a a+ ⋅ = ⋅ = +     1a = ( )PB PD PA+ ⋅   1 2 − 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F C A B 2 2 1 ∠ = ∠BAF BF F CA． B． C． D． 【答案】D 【解析】在 和 中，由 ,可得 , 即有 ,即为 . , . ,故选 D. 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为 的等腰直角三角形，正视图是边长为 的正方形，则此四面体的体积为 ；表面积为 . 【答案】 【解析】由三视图可知，几何体为一个以正视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，顶点为前面的右上 方的顶点，所以 , . (1,2 3]+ (1,2 5]+ (3,2 3]+ (3,2 5]+ 2BAF 2 1BF F 2 2 1 2 2 1,BAF BF F ABF F BF∠ = ∠ ∠ = ∠ 2 2 1BAF BF F ∽ 2 2 1 2 1 2 BF F ABA kBF BF F F = = = 1 1 2 2 1 2 , 2 AB BF AF kBF BF kBF AF k c = − =  =  = ⋅ 1 2 1 1 1 1 22 2 (1 ) 2 1 aBF BF a BF kBF a k BF a BF k − = − = ∴ − = ∴ = − ， ， 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1, , 2BF AF kBF AF BF kBF AF a BF k BF− = ∴ = − ∴ − = − ( )2 22 2 1 1 ak c a k k ∴ ⋅ − = − − 2 1, 3ak ec a ∴ = < ∴ >− 1 1 2 2 ( )1 2 , , 2 53 a a c aBF a BF c a ec a c a − − = = ≥ + ∴ ≤ + − −  1 1 8 3 8 4 2+ 1 82 2 23 3V = × × × = 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 22 2S = × + × × × + × × × = +12． 展开式中，各二项式系数的最大值是 ；常数项是 . 【答案】 【解析】由题意可知， 展开式中，各二项式系数的最大值是 ， 展开式通项为 ，令 ，得 . 因此，展开式中的常数项为 .故答案为： ； . 13．已知正实数 ，满足 ，若不等式 有解则实数 的取值范围 是 . 【答案】 【解析】由已知 得： 由题意： ，解得 ,故答案为 . 14．已知圆 ： （ ），点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ， 的取 值范围是 . 【答案】 【解析】过 点作圆 的切线 ，切点为 ,∵ 圆 ： （ ），且在圆 上存在点 ，使得 .∴只需 ,∵ ,∴ ,∴ , 故答案为 . 61x x  −   20 15 61x x  −   3 6 20C = ( ) 366 2 1 6 6 1 1 r rrr r r rT C x C x x −− +  = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅   36 02 r− = 4r = ( )44 6 1 15C ⋅ − = 20 15 ,x y 3 5x y xy+ = 23 4 4x y m m+ ≤ − m ( ] [ ),1 5,−∞ ∪ +∞ 1 3 5,y x + = 1 1 3 1 3 12 13 4 (3 4 )( ) ( 13) (2 36 13) 55 5 5 x yx y x y y x y x + = + + = + + ≥ + = 2 2 min(3 4 ) 4 , 4 5 0x y m m m m+ ≤ − ∴ − − ≥ 1 5m m或≤ ≥ ( ] [ ),1 5,−∞ ∪ +∞ C 2 2 2( )x y r r+ − = 0r > (1,0)A C Q 60CAQ∠ = ° r [ 3, )+∞ A C AT T C ( )22 2x y r r+ − = 0r > C Q 60CAQ∠ = ° 60CAT∠ ≥ ° sinr CA CAT= ∠ 2 3sin 60 1 2r CA r≥ ° = + ⋅ 3r ≥ [ 3, )+∞15．如图，矩形 ADFE，矩形 CDFG，正方形 ABCD两两垂直，且 ，若线段DE 上存在点 P使得 ， 则边 CG 长度的最小值为 . 【答案】 【解析】以 DA，DC，DF 为坐标轴建立空间坐标系，如图所示： 设 ，则 ,即 .又 ， 所以 . 显然 且 .所以 .因为 ，所以 . 所以当 ， 取得最小值 12.所以 的最小值为 .故答案为 . 16．已知函数 ，则 ；若方程 在区间 有三个不等实根，实数 a 的取值范围为 . 【答案】 2AB = GP BP⊥ 2 3 0CG a P x z，（ ，， ）= 2 x z a = 2 axz = 2 2 0 0 2B G a（ ，，）， （ ，， ） 2, 2, , , 2, .2 2 ax axBP x GP x a   = − − = − −         ( )2 4 02 2 ax axPB PG x x a = − + + − =      0x ≠ 2x ≠ 2 2 16 42a x x = −− ( )0,2x∈ ( ]22 0,1x x− ∈ 22 1x x− = 2a a 2 3 2 3 [ ] ( ) 1 1 , 2,0( ) 2 ( 2), 0, x xf x f x x  − + ∈ −=  − ∈ +∞ ( )3f = ( )f x x a= + [ ]2,4− 4 { } ( )1 2,0∪ −【解析】由 ，则 ; 作出函数 在区间 上的图像，如图所示， 设 ，由图像可知要使方程 在区间 有 个不等实根， 则直线 应位于 与 之间或直线 的位置，所以实数 a 的取值范围为 或 .故答案为 . 17．设 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， .若 ，则 ； 的最大值是 . 【答案】-2 【解析】 ; ,故 ,因为 故 为锐角. [ ] ( ) 1 1 , 2,0( ) 2 ( 2), 0, x xf x f x x  − + ∈ −=  − ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 1 2 2 1 2 4 1 4 1 0 4f f f f f= − = = × − = − = × − = ( )f x [ ]2,4− y x a= + ( )f x x a= + [ ]2,4− 3 y x a= + 1l 2l 3l 2 0a− < < 1a = { } ( )1 2,0∪ − ABC∆ a b c A B C 2 2 23b a c+ = tan tan C B = tan A 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan sin cos 2 tan sin cos 2 a c bcC C B a c bac a b cB B C a b cb ab + −⋅ + −= = =+ − + −⋅ ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 4 223 a b a b a aa b b a + + −= = = −−+ − + tan 2tanC B= − [ ] tan tantan tan ( ) tan( ) tan tan 1 B CA π B C B C B C += − + = − + = ⋅ − ( ) 2 tan tan2tan 2tan 1 1tan 1 2tan 1 2tan tan B BB BB B B B − −= = =⋅ − + + 2 2 23b a c+ = B故 .故答案为 -2; . 1 1 2 1 412tan 2 2tantan tan B BB B ≤ = + ⋅ 2 4