2020年3月高三数学第二次在线大联考（北京卷考试版）

数学 第 1 页（共 4 页） 2020 年 3 月高三第二次在线大联考（北京卷） 数 学 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 ， ，其中 为自然对数的底数，则 A． B． C． D． 2．已知 为虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，在区间 上单调递减的是 A． B． C． D． 4．直线 与圆 的位置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 5．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象对应的解析式为 A． B． C． D． 6．已知 ， ，则“ ”是“向量 与向量 的夹角为钝角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知数列 是等比数列，设其前 项和为 ，若 ， ，则 A．144 B．90 C．225 D．189 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 A． B． C． D． ln({ 2| e)}= = −y xA x 5 }{ 2| = −=B yy x e =A B e( , )2 +∞ [ e, )+∞ e 5( , ]2 2 5( , ]2 −∞ i i 1 2i+ ( ,0)−∞ 0.5log=y x 2 1= + +y x x 1( )2 = xy | 1|= +y x : 2 1 0− − =l x y 2 2: 4 2 0+ + − =C x y x y cos(2 )6y x π= + 6 π cos(2 )3y x π= + cos2y x= − sin2y x= − cos(2 )6y x π= − (1, 2)= −a ( 2)λ,=b 4λ < a b { }na n nS 1 2 9a a+ = 4 45S = 6S = 16 3 8 3 4 3 2数学 第 2 页（共 4 页） 9．已知圆 ， 为圆 的一条直径，点 在直线 上，则 的最小值 为 A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知 ， ， ，若当 时， 恒成立，则实数 的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分． 11．二项式 的展开式中的常数项为_________．（用数字作答） 12．已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则双曲线 的离心率为 _________． 13 ． 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若 ， 则 _________． 14．某班 4 名学生 A、B、C、D 同时参加网络课堂学习，已知这 4 名学生中有且仅有一名学生做了听课笔 记．当授课老师通过交流对话框问他们谁做了听课笔记时，A 回复道：“C 或 D 做了听课笔记”；B 回复道：“C 做了听课笔记”；C 回复道：“A 和 D 都没有做听课笔记”；D 回复道：“B 做了听课笔 记 ” ． 假 设 这 四 名 学 生 中 有 且 仅 有 两 名 学 生 的 回 复 是 正 确 的 ， 那 么 做 了 听 课 笔 记 的 学 生 是 _________． 15．已知函数 ， ，若 ， ，则 _________，关于 的方程 有_________个实数根． 三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 14 分） 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ； 数 列 满 足 ， ， 其 中 ， ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 17．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 中， ， ， ． （1）求证： ； 2 2:( 2) 4C x y− + = MN C P 2 0x y− + = PM PN⋅  1 0x > 2 0x > a∈R 1 2a x x≤ < 2 1 1 2 1 2 ln ln 1x x x x x x − 2C ABC△ A B C a b c cos 2 sinb A a B= tan(2 )4A π− = 2 ( 0)( ) ln( 1) 2( 0) x bx c xf x x x  + + ≤=  + + > c∈R ( 2) 2f − = − ( 4) (0)f f− = c = x ( )f x x= { }na n nS *1( )n nS a n+ = ∈N { }nb 1 1b = m n m nb b b+ = + *m∈N *n∈N { }na { }nb n n nc a b= ⋅ { }nc n nT 1 1 1ABC A B C− AC BC= 1AB AA= 1 60BAA∠ = ° 1 1 1AC A B⊥数学 第 3 页（共 4 页） （2）若平面 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 18．（本小题满分 14 分） 甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙各射击一次．根据统计资料可知，甲击中 环、 环、 环的概率分别为 ， ， ，乙击中 环、 环、 环的概率分别为 ， ， ，且甲、乙 两人射击相互独立． （1）若独立进行四场比赛，求甲恰好击中两次 环、一次 环、一次 环的概率； （2）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率； （3）若独立进行三场比赛，其中 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求 的分布列与数学期 望． 19．（本小题满分 15 分） 已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）试判断函数 的单调性； （3）若 且 ，求实数 的取值范围． 20．（本小题满分 14 分） 已知 为坐标原点，点 是 轴上的动点，点 是 轴上的动点，且 ，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹 的标准方程； （2）设动直线 与圆 交于 ， 两点，且点 ， 均不在坐标轴上，若直线 与曲线 有 且仅有一个公共点，求直线 与直线 的斜率之积． 21．（本小题满分 14 分） 设集合 、 中的元素均为实数，若 ，则称集合 为集合 的“对随集”． （1）当集合 时，求集合 的“对随集” ； （2）设集合 的“对随集”为集合 ，若 ，求集合 ； （ 3 ） 若 对 于 （ 2 ） 中 的 集 合 ， 取 集 合 中 不 相 等 的 正 整 数 元 素 ， 使 得 关 于 的 方 程 ABC ⊥ 1 1ABB A AB BC= 1CB 1A BC 8 9 10 0.7 0.2 0.1 8 9 10 0.6 0.2 0.2 8 9 10 X X 1( ) ln ( 0)f x a x ax = + ≠ 1a = ( )y f x= (1, (1))f ( )f x { | ( ) 0}x f x ≤ ≠ ∅ { | ( ) 0} { | 0 1}x f x x x≤ ⊆ < < a O 0 0( ),A x x 0(0, )B y y | | 1AB = ( , )P x y 2 3OP OA OB= +   P C l 2 2 7x y+ = 1P 2P 1P 2P l C 1OP 2OP A B 2{ | log , }B y y x x A= = ∈ B A 2{ | 6 8 0}A x x x= ∈ − + =R A B M P 2 { | 0}1 log 3 xP x x = ∈ ≥− +R M M M ,a b x数学 第 4 页（共 4 页） 有两个不相等的实数根，设有序数对 构成的集合为 ，求集合 的子集个数．2 2 4 0x ax b+ + = ( , )a b N N