2020年3月高三数学第二次在线大联考（北京卷全解全析）

数学 全解全析 第 1 页（共 7 页） 2020 年 3 月高三第二次在线大联考（北京卷） 数 学 全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C A C B D C D D 1．A 【解析】由题可得集合 ， ，所以 ，故选 A． 2．D 【解析】由题可得 ，则复数 的共轭复数为 ，在复平面内对 应的点的坐标为 ，位于第四象限．故选 D． 3．C 【解析】对于 A，函数 的定义域为 ，不符合题意；对于 B， ，在 上单调递减，在 上单调递增，不符合题意；对于 C，函数 在 上单调递减，符合题意； 对于 D，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，不符合题意．故选 C． 4．A 【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 的坐标为 ，半径 ，则点 到直 线 的距离 ，所以 ，所以直线 与圆 相切．故选 A． 5．C 【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得函数 的图象，故选 C． 6 ． B 【 解 析 】 因 为 ， ， 所 以 由 向 量 与 向 量 的 夹 角 为 钝 角 ， 可 得 且 ，所以 且 ，所以“ ”是“向量 与向量 的夹角 为钝角”的必要不充分条件，故选 B． 7．D 【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，所以 ，所 以 ，所以 ，所以 ，故选 D． 8．C 【解析】如图，在长方体 中， ，由三视图可知该四棱锥的直观 图为四棱锥 ，所以该四棱锥的体积 ，故选 C． e 2{ }|= >xA x { | 0}= ≥B y y e( , )2 +∞=A B i i(1 2i) 2 1 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 −= = ++ + − i 1 2i+ 2 1 i5 5 − 2 1( , )5 5 − 0.5log=y x (0, )+∞ 21 3( )2 4 = + +y x 1( , )2 −∞ − 1[ , )2 − +∞ 1( )2 = xy R | 1|= +y x ( , 1)−∞ − [ 1, )− +∞ C 2 2( 2) ( 1) 5+ + − =x y C ( 2,1)− 5=r C l 2 2 | 2 2 1 1| 5 1 ( 2) − − × −= = + −d =d r l C cos(2 )6y x π= + 6 π cos[2( ) ]6 6y x π π= + + = cos(2 ) sin 22x x π+ = − (1, 2)= −a ( 2)λ,=b a b 2 4cos , 0 5 4 λ λ −〈 〉 = < × +a b 2 1 2 λ ≠ − 4λ < 1λ ≠ − 4λ < a b { }na q 1 2 9a a+ = 4 45S = 3 4 4 1 2( ) 36a a S a a+ = − + = 2 1 2( ) 36a a q+ = 2 4q = 4 6 4 5 6 1 245 ( ) 45 9 16 189S S a a a a q= + + = + + = + × = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2 2AB AA AD= = = 1 1 1 1A A B C D− 1 41 2 23 3V = × × × =数学 全解全析 第 2 页（共 7 页） 9．D 【解析】由题可得 ，因为 ，且圆 的半径为 ，所以 ．因为点 在直线 上，所以 的最 小值即点 到直线 的距离 ，所以 的最小值为 ，故选 D． 10．D 【解析】因为 ，所以 ，所以 可化为 ，所 以 ，两边同时除以 可得 ，则原问题等价于：当 时， 函数 单调递减．易得 ，令 ，可得 ，所以当 时， ， 所以当 时，函数 单调递减，所以实数 的最小值为 ．故选 D． 11． 【解析】由题可得二项式 的展开式的通项为 ，令 ，解得 ， 所以展开式中的常数项为 ． 12． 【解析】由题可得抛物线 的焦点坐标为 ，因为抛物线 的焦点与双曲线 的一 个焦点重合，所以 ，所以 ，所以 ，所以双曲线 的离心率为 ． 13． 【解析】由 及正弦定理可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ． 14．B 【解析】若 A 做了听课笔记，则 A、B、C、D 的回复都不正确，不满足题意；若 B 做了听课笔记， 则 A、B 的回复都不正确，C、D 的回复都正确，满足题意；若 C 做了听课笔记，则 A、B、C 的回复 都正确，D 的回复不正确，不满足题意；若 D 做了听课笔记，则 A 的回复正确，B、C、D 的回复都不 正确，不满足题意．故做了听课笔记的学生是 B． 15 ． ， 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 解 得 ， 又 ， 所 以 ，解得 ，所以 ，作出函数 的大致图象，如 下图所示．当 时，令 ，解得 或 ，此时函数 的图象与直线 有 个交点；当 时，令 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，因为 ， ，所以函数 在 上有且仅有 个零点， 2 ( ) ( ) ( )PM PN PC CM PC CN PC PC CM CN CM CN⋅ = + ⋅ + = + ⋅ + + ⋅            CM = CN− C 2 2| | 4PM PN PC⋅ = −   P 2 0x y− + = | |PC (2,0)C 2 0x y− + = 2 2 | 2 0 2 | 2 2 1 ( 1) d − += = + − PM PN⋅  2(2 2) 4− = 4 1 2x x< 1 2 0x x− < 2 1 1 2 1 2 ln ln 1x x x x x x − − 2 1 2 1 2 1ln lnx x x x x x+ > + 1 2x x 1 2 1 2 ln 1 ln 1x x x x + +> x a≥ ln 1( ) xh x x += 2 ln( ) xh' x x = − ( ) 0h' x = 1x = 1x > ( ) 0h' x < 1x ≥ ( )h x a 1 180 104 2( )x x + 10 5 4 1 102 C r r r rT x − + = ⋅ ⋅ 10 5 04 r− = 2r = 2 2 3 102 C 180T = × = 3 2 4 2 1 : 12C y x= (3,0) 1C 2C 2 21 3a + = 2 8a = 2 2a = 2C 3 3 2 42 2 = 1 7 cos 2 sinb A a B= sin cos 2sin sinB A A B= sin 0B ≠ cos A = 2sin A 1tan 2A = 2 2tan 4tan 2 1 tan 3 AA A = =− tan 2 1 1tan(2 )4 1 tan 2 7 AA A π −− = =+ 2 3 ( 4) (0)f f− = 4 0 2 2 b− + = − 4b = ( 2) 2f − = − 2( 2) 4 ( 2) c− + × − + = 2− 2c = 2 4 2( 0)( ) ln( 1) 2( 0) x x xf x x x  + + ≤=  + + > ( )f x 0x ≤ 2 4 2x x x+ + = 1x = − 2x = − ( )f x y x= 2 0x > ( ) ln( 1) 2h x x x= + + − 1( ) 1 01 1 xh' x x x = − = − (9) 7 ln10 0h = − + < ( )h x (0, )+∞ 1数学 全解全析 第 3 页（共 7 页） 即当 时，函数 的图象与直线 有 个交点，所以关于 的方程 有 个实数根． 16．（本小题满分 14 分） 【解析】（1）因为 ，所以当 时， ，解得 ， 当 时， ，所以 ，（2 分） 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ．（4 分） 因为 ，其中 ， ，所以令 ，可得 ， 又 ，所以 ，即 ，（5 分） 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ．（7 分） （2）由（1）可知， ， ，所以 ，（9 分） 所以 ， ，（11 分） 以上两式相减，可得 ，（13 分） 所以 ．（14 分） 17．（本小题满分 14 分） 【解析】（1）如图，设 的中点为 ，连接 ， ， 因为 ， 为 的中点，所以 ，（2 分） 因为 ， ，所以 为等边三角形，所以 ，（4 分） 因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，（6 分） 又 ，所以 ．（7 分） 0x > ( )f x y x= 1 x ( )f x x= 3 *1( )n nS a n+ = ∈N 1n = 1 1 12 1S a a+ = = 1 1 2a = 2n ≥ 1 1 11 (1 )n n n n n n na S S a a a a− − −= − = − − − = − 1 1 2n na a −= { }na 1 2 1 2 11 1 1( )2 2 2 n n na −= × = m n m nb b b+ = + *m∈N *n∈N 1m = 1 1n nb b b+ = + 1 1b = 1 1n nb b+ = + 1 1n nb b+ − = { }nb 1 1 1 ( 1) 1nb n n= + − × = 1 2n na = nb n= 2n n n n nc a b= ⋅ = 1 2 1 1 11 22 2 2n nT n= × + × + + × 2 3 1 1 1 1 11 22 2 2 2n nT n += × + × + + × 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 12 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n nT n n+ + + += + + + − × = − − × = − 22 2n n nT += − AB D CD 1DA AC BC= D AB AB CD⊥ 1AB AA= 1 60BAA∠ = ° 1ABA△ 1AB DA⊥ 1CD DA D= AB ⊥ 1CDA 1AC ⊂ 1CDA 1AC AB⊥ 1 1AB A B∥ 1 1 1AC A B⊥数学 全解全析 第 4 页（共 7 页） （2）由（1）知 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ，所以 ，所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，（9 分） 设 ，因为 ，所以 ， 所以 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ，（10 分） 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，可得 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，（12 分） 设直线 与平面 所成的角为 ，则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．（14 分） 18．（本小题满分 14 分） 【解析】（1）设甲恰好击中两次 环、一次 环、一次 环为事件 ， 则 ．（4 分） （2）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件 ， 则事件 包括：甲击中 环乙击中 环，甲击中 环乙击中 环，甲击中 环乙击中 环，（6 分） 则 ．（9 分） （3）由题可知 的所有可能取值为 ， ， ， ， 由（2）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为 ， 所以 ， ， ， ，（12 分） AB CD⊥ 1AB DA⊥ ABC ⊥ 1 1ABB A ABC  1 1ABB A AB= CD ⊥ 1 1AA B B 1CD DA⊥ D DA 1DA DC x y z D xyz− 2AB = AB BC= 1 2AB BC AC AA= = = = (0,0,0)D 1(0, 3,0)A (0,0, 3)C ( 1,0,0)B − 1( 2, 3,0)B − 1 (0, 3, 3)AC = − ( 1,0, 3)CB = − − 1 ( 2, 3, 3)CB = − − 1A BC 1 1 1( , , )x y z=n 1 0 0 AC CB  ⋅ ⋅ = =   n n 1 1 1 1 3 3 0 3 0 y z x z − + = − − = 1 1z = 1 3x = − 1 1y = 1A BC ( 3,1,1)= −n 1CB 1A BC θ 1 1 1 | | | 2 3 6sin | cos , | 5| | 10 5| CBCB CB θ ⋅= 〈 〉 = = = ⋅ ×   nn n 1CB 1A BC 6 5 8 9 10 A 2 2 1 4 2( ) C 0 7 C 0 2 0 1 0.1176P A . . .= × × × × = B B 9 8 10 8 10 9 ( ) 0 2 0 6 0 1 0 6 0 1 0 2 0.2P B . . . . . .= × + × + × = X 0 1 2 3 0.2 0 0 3 3( 0) C 0.2 (1 0 2) 0.512P X .= = × × − = 1 2 3( 1) C 0 2 (1 0 2) 0.384P X . .= = × × − = 2 2 3( 2) C 0 2 (1 0 2) 0 096P X . . .= = × × − = 3 3 0 3( 3) C 0 2 (1 0 2) 0 008P X . . .= = × × − =数学 全解全析 第 5 页（共 7 页） 故 的分布列为 所以 （或 ）．（14 分） 19．（本小题满分 15 分） 【解析】（1）当 时， ，其定义域为 ，则 ，（2 分） 所以 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．（4 分） （2）由题可得函数 的定义域为 ， ， 当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减；（6 分） 当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．（8 分） 综上，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．（9 分） （3）当 时，由（2）可知函数 在 上单调递减， 因为 ，且 ， 所以 ，不符合题意；（10 分） 当 时，由（2）可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 的最小值为 ，（11 分） 若 ，即 ，则 ，不符合题意； 若 ，即 ，则 ，符合题意；（12 分） 若 ，即 ，则 ， 因为 ，函数 在 上单调递增，所以当 时， ， 又函数 的定义域为 ，所以 ，符合题意．（14 分） 综上，可得 ，故实数 的取值范围为 ．（15 分） 20．（本小题满分 14 分） X X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0 096. 0 008. ( ) 1 0 384 2 0 096 3 0 008 0.6E X . . .= × + × + × = ( ) 3 0.2 0.6E X = × = 1a = 1( ) lnf x x x = + (0, )+∞ 2 1 1( )f x x x ′ = − (1) 1f = (1) 0f ′ = ( )y f x= (1, (1))f 1y = ( )f x (0, )+∞ 2 2 1 1( ) ( 0)a axf x xx x x −′ = − = > 0a < ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ < 10 x a < < ( ) 0f x′ > 1x a > ( )f x 1(0, )a 1[ , )a +∞ 0a < ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 1(0, )a 1[ , )a +∞ 0a < ( )f x (0, )+∞ 1 1 1 1 (e ) ln(e ) e 1 e 0a a a af a − −= + = − + < 1 e 1a − > 1 e { | 0 1}a x x − ∉ < < 0a > ( )f x 1(0, )a 1[ , )a +∞ ( )f x 1( ) ln (1 ln )f a a a a aa = − + = − 1( ) 0f a > 0 ea< < { | ( ) 0}x f x ≤ = ∅ 1( ) 0f a = ea = 1{ | ( ) 0} { } { | 0 1}ex f x x x≤ = ⊆ < < 1( ) 0f a < ea > 10 1a < < (1) 1 0f = > ( )f x 1( , )a +∞ 1x ≥ ( ) 1f x ≥ ( )f x (0, )+∞ { | ( ) 0} (0,1)x f x ≤ ⊆ ea ≥ a [e, )+∞数学 全解全析 第 6 页（共 7 页） 【解析】（1）因为 ，所以 ， 所以 ， ，所以 ，（3 分） 因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 所以动点 的轨迹 的标准方程为 ．（6 分） （2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 将 代入 ，消去 可得 ， 因为直线 与曲线 有且仅有一个公共点， 所以 ，即 ．（8 分） 将 代入 ，消去 可得 ， 所以 ，即 ，所以 ，即 ．（9 分） 设 ，则 ， ， 设直线 的斜率分别为 ， 则 ， 将 代入上式，可得 ．（11 分） 当直线 的斜率不存在时，由题可知直线 的方程为 ， 当直线 的方程为 时，假设点 位于第一象限， 则 ，所以 ，（13 分） 同理可得，当直线 的方程为 时， ． 综上，可得 ，所以直线 与直线 的斜率之积为 ．（14 分） 21．（本小题满分 14 分） 【解析】（1）由 ，可得 ， 解得 或 ，所以 ，（2 分） 当 时， ，当 时， ， 2 3OP OA OB= +   0 0 0 0( , ) 2( ,0) 3( (0, ) 2 , )3x y x y x y= + = 02x x= 03y y= 0 0 1 3,2 3x x y y= = | | 1AB = 2 2 0 0 1x y+ = 2 21 3( ) ( ) 12 3x y+ = 2 2 14 3 x y+ = P C 2 2 14 3 x y+ = l l y kx m= + y kx m= + 2 2 14 3 x y+ = y 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = l C 2 2 2 1 (8 ) 4(4 3)(4 12) 0km k m∆ = − + − = 2 24 3m k= + y kx m= + 2 2 7x y+ = y 2 2 2( 1) 2 7 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 (2 ) 4( 1)( 7) 0km k m∆ = − + − > 2 27 7m k< + 2 24 3 7 7k k+ < + 2 4 3k > − 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y 1 2 2 2 1 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 7 1 mx x k −= + 1 2,OP OP 1 2,k k 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x mk k x x x x x x + + + + += = = 2 2 2 2 22 2 2 2 2 7 2 71 1 7 7 1 m kmk km m m kk k m m k − −⋅ + ⋅ + −+ += =− − + 2 24 3m k= + 2 2 2 1 2 2 23 4 3 7 3 3 3 4 7 4 4 4 k k kk k k k + − − += = = −− −+ l l 2x = ± l 2x = 1P 1 2(2, 3), (2, 3)P P − 1 2 3 0 3 0 3 2 0 2 0 4k k − − −= × = −− − l 2x = − 1 2 3 4k k = − 1 2 3 4k k = − 1OP 2OP 3 4 − 2 6 8 0x x− + = ( 2)( 4) 0x x− − = 2x = 4x = {2,4}A = 2x = 2 2log log 2 1x = = 4x = 2 2log log 4 2x = =数学 全解全析 第 7 页（共 7 页） 所以集合 的“对随集” ．（4 分） （2）由 ，可得 ， 解得 ，所以 ，（6 分） 令 ，解得 ， 因为集合 的“对随集”为集合 ，所以 ．（8 分） （3）由（2）可知 ，则集合 中的正整数元素为 1，2，3，4，5， 则 ， ，且 ．（9 分） 因为关于 的方程 有两个不相等的实数根，所以 ，即 ， 当 时，不存在 ，使得 ，且 ； 当 时，不存在 ，使得 ，且 ； 当 时， ， ； 当 时， ， ， ； 当 时， ， ， ， ，（12 分） 所以 ， 因为集合 中共有 9 个元素，所以集合 的子集个数为 ．（14 分） A {1,2}B = 2 01 log 3 x x ≥− + 2 01 log 3 x x ≤− − 20 log 6x≤ < 2{ | 0 log 6}P x x= ≤ < 2 20 log log 6x≤ < 1 6x≤ < M P { |1 6}M x x= ≤ < { |1 6}M x x= ≤ < M {1,2,3,4,5}a∈ {1,2,3,4,5}b∈ a b≠ x 2 2 4 0x ax b+ + = 24 16 0a b∆ = − > 2 4 ab < 1a = {1,2,3,4,5}b∈ 2 4 ab < a b≠ 2a = {1,2,3,4,5}b∈ 2 4 ab < a b≠ 3a = 1b = 2 4a = 1b = 2 3 5a = 1b = 2 3 4 {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}N = N N 92 512=