九年级数学下册第27章相似单元测试题5（新人教版）

1 第 27 章相似单元测试题 5 （时间 90 分钟，满分 120 分） 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、如图 1，在△ABC 中，AB：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC 的面积为 9，则四边形 DBCE 的面 积为 。 2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 。 3、图 2 中，x= 。 2 4、在△ABC 中，AB＞BC＞AC，D 是 AC 的中点，过 D 作直线 l，使截得的三角形与原三角形 相似，这样的直线 l 有 条。 5、已知 M 是线段 AB 延长线上的一点，且 AM：BM=7：3，那么 AM：AB= 。 6、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面 2m 远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶 端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为 40m，该学生的眼部高度为 1.5m，那么旗杆的高 为 。 7、已知两个相似多边形的周长比为 1：2，它们的面积和为 25，则这两个多边形的面积分别 是 和 。 8、如图 3，已知在等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，四边形 EFDH 为内接正方形，则 AE： AB= 。 9、如果点 C 是线段 AB 靠近 B 的黄金分割点，且 AC=2，那么 AB= 。 2 2 A B C D E 图 1 1 （ ）30° 45° x 30°） （105° 图 2 A B C DF E H 图 32 10、如图 4，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm， AB=8cm，则图中阴影部分面积为 cm2。 二、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 11、如图 5，点 A、B、C、D、E、F、G、H、K 都是 7×8 方格纸上的格点，为使△DEM∽△ ABC，则点 M 应是 F、G、H、K 四点中的（ ） A、F B、G C、H D、K 12、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC 与△DEF 的周长比等于（ ） A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1 13、（2006 年天津）如图 6，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD 分别交 BC 于点 G、H，则图中共有相 似三角形（ ） A、 4 对 B、5 对 C、6 对 D、7 对 14、已知 = = ，且 a-b+c=10，则 a+b-c 的值为（ ） 4 a 5 b 6 c A B CF E D 图 4 ·A B C C K H G F D E A B C DE G H F 图 63 A、6 B、5 C、4 D、3 15、两个相似五边形，一组对应边的长分别为 3cm 和 4.5cm，如果它们的面积之和是 78cm2， 则较大的五边形面积是（ ）cm2。 A、44.8 B、52 C、54 D、42 16、如图 7 所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果已知物体 AB=30，则 CD 的长应是（ ） A、15 B、30 C、20 D、10 17、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1：100 和 1：500，那么甲地图与乙 地图表示这一地块的三角形的面积之比是（ ） A、25：1 B、5：1 C、1：25 D、1：5 18、如图 8，在等边△ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1， CD= ，则△ABC 的边长是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 19、一个钢筋三角架三边长分别为 20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角 架，而只有长为 30cm 和 50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段 （允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）种 A、 一 B、二 C、三 D、四 20、如图 9，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，如果 AE=4，EF=3，AF=5，那 3 2 A B C D O 图 7 A B C D P ） 60° 图 8 A B E C F D 图 9 12 364 么正方形 ABCD 的面积等于（ ） A、 B、 C、 D、 三、解答题（每小题 7 分，共 35 分） 21、（1）若 = ，判断代数式 - +1 值的符号 （2）若 = = ，求 的值。 22、已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似，且 AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四 边形 A′B′C′D′的周长为 26，求四边形 A′B′C′D′各边的长。 23、如图 10，为了测量一棵树 AB 的高度，测量者在 D 点立一高 CD 等于 2m 的标杆，现测量 者从 E 处可以看到标杆顶点 C 与树顶 A 在同一条直线上，如果测得 BD=20m，FD=4m， EF=1.8m，求树高。 24、如 11 图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥CD，垂足为 E，连结 AE，F 为 AE 上一 点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF∽△EAD （2） 若 AB=4，S ABCD= ，求 AE 的长 （3） 在（1）、（2）条件下，若 AD=3，求 BF 的长（计算结果可含根号） 25、如图 12，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点 D 是 BC 上一个动点（不与 B、C 重合）， 16 225 15 256 17 256 16 289 b a d c cdab ca + + 22 22 db cdab + + c ba + a cb + b ac + abc accbba ))()(( +++ 3 316 A B C D E F 图 10 △ △ A B CD E F 图 115 在 AC 上取 E 点，使∠ADE=45° （1） 求证：△ABD∽△DCE （2） 设 BD=x，AE=y，求 y 与 x 的函数关系式 四、拓广探索题（共 15 分） 26、（7 分）已知，如图 13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 交于点 E，EF⊥ BD，垂足为 F，我们可以证明 + = 成立，若将图 13 中的垂直改为斜交，如图 14，AB∥CD，AB 与 BC 交于点 E，过点 E 作 EF∥AB 交 BD 于 F，则 （1） + = 还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由。 （2） 请找出 S△ABC，S△BED 和 S△BDC 间的关系，并给出证明。 27、（8 分）若矩形的一个短边与长边的比值为 ，（黄金分割数），我们把这样的矩形 叫做黄金矩形 （1） 操作：请你在如图 15 所示的黄金矩形 ABCD（AB＞AD）中，以短边 AD 为一边作正方 形 AEFD。 （2） 探究：在（1）中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请 说明理由。 （3） 归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明） AB 1 CD 1 EF 1 AB 1 CD 1 EF 1 2 15 − A B C D E 图 12 A B C D E F 图 13 A B C D E F 图 146 A B CD 图 157 参考答案 一、填空题 1～10 8 2 4 7：4 30 5，20 1+ 30 提示：4、如图 1，过 D 分别作 BC、AB 的平分线有两条，另外，作∠ADE=∠ABC 又一条，作∠ CDF=∠ABC 又一条，共 4 条 8、 = = = = 9、∵ = = ，又∵ = ∴ = ∴BC= -1 ∴AB=2+ -1=1+ 10、如题图：EF=DE=8-3=5 ∵EC=3，∴FC=4，易证△ABF∽△EFC ∴BF：3=8：4 BF=6 ∴S 阴影= ·6·8+ ·4·3=30 二、选择题 11～20 CACAC DAABC 提示：18、∵△ABC 为等边三角形 ∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60° ∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC，∴△APB∽△PCD ∴ ：1=（AB-1）：AB ∴AB=3 20、∵AE2+EF2=42+32=52=AF2 ∴∠AEF=90°，∴易证△ABE∽△EFC ∴AB：EC=4：3 设 AB=x x：（x- ）=4：3 ∴x2= 三、解答题 4 1 3 1 5 AB AE BC EH DCFDBF EH ++ EH EH 3 3 1 AB AC AC BC 2 BC AB AC 2 15 − 2 BC 2 15 − 5 5 5 2 1 2 1 3 2 2 16x − 17 256 A B C D E F 图 18 21、解：（1）设 = =k，则 a=bk，c=dk，代入，得，求值式= - +1=k-k+1=1＞0，故所求式的符号为正 （2）当 a+b+c≠0 时，因为 abc≠0，所以由等比性质得： = = = 所以 a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，代入得，求式= =8 当 a+b+c=0，a+b=--c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式= =-1 22、解：∵四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似，且 AB：BC：CD：DA=20：15：9：8， ∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′=20：15：9：8 设 A′B′=20x，B′C′=15x，C′D′=9x，D′A′=8x，由四边形 A′B′C′D′的周长为 26，得 20x+15x+9x+8x=26，解得 x= ∴A′B′=10，B′C′=7.5，C′D′=4.5，D′A′=4 23、解：如图 2，过 E 作 EN⊥AB，交 AB 于 N 点交 CD 于 M 点，由题意知，MN=BD=20， EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，则 CM=0.2 由 CM∥AN，得△ECM∽△EAN ∴CM：AN=EM：EN ∴AN= =1.2 ∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3 所以树高为 3m 24、证明：（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠BAF=∠AED ∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D=∠BFA ∴△ABF∽△EAD （2）解：∵S ABCD= ，∴AB·BE= ，∵AB=4 ∴BE= ∴AE2=AB2+BE2=42+（ ）2 AE= （3）解：由（1）有 = ，又 AD=3，∴BF= =4×3× = b a d c kdkb kdkb 22 2222 + + 22 22 db kdkb + + cba cba ++ ++ )(2 c ba + a cb + b ac + abc bac 222 ×× abc bac ))(( −−− 2 1 CM EN EM × 3 316 3 316 3 34 3 34 3 38 EA AB AD BF EA ADAB × 38 3 2 33 A B C D E F 图 2 △ △ M N9 25、（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45° ∴∠ADB+∠DAB=135°，∵∠ADE=45°，∴∠ADB+∠EDC=135° ∴∠DAB=∠EDC，∴△ABD∽△DCE (2)解：∵△ABD∽△DCE，∴ = ∴AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴BC= ，CD= -x， ∴ = ∴CE= x-x2 ∴AE=AC-CE=1-（ x-x2）=x2- x+1 即 y=x2- x+1（0＜x＜ ） 四、拓广探索题 26、（1）解：成立，证明如下 由 AB∥EF∥CD 得， = ， = 两式相加，得 + = + = = =1 ∴EF·CD+EF·AB=AB·CD，两边同除以 AB·CD·EF 得 + = （2）解： + = 证明如下：作 AG⊥BD 于 G，EH⊥BD 于 H，CK⊥BD 交 BD 延长线于 k，由平行线性质得： = = ， = = 所以 + =1，∴ + = ∴ + = CD AB CE BD 2 2 x−2 1 CE x 2 2 2 2 2 AB EF DB DF CD EF DB BF AB EF CD EF DB DF DB BF DB BFDF + DB DB AB 1 CD 1 EF 1 BDAS∆ 1 BDCS∆ 1 BDES∆ 1 AG EH DA DE DB DF CK EH BC BE BD BF AG EH CK EH AGBD× 2 1 1 CKBD × 2 1 1 EHBD × 2 1 1 ABDS∆ 1 BDCS∆ 1 BDES∆ 110 27、解（1）以 AD 为边可作出两个正方形 AEFD 与 AE′F′D′（AB＞AD），如图 4 所示 （2）矩形 EBCF 不是黄金矩形，理由如下： 设 AB=a，AD=b（a＞b），则 BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b， 由 ABCD 为黄金矩形，得 = ∴ = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠ ∴矩形 EBCF 不是黄金矩形 矩形 E′BCF′是黄金矩形 证明：如图 4，∵ = =（1- ）÷ =（1- ）÷ = ∴E′BCF′是黄金矩形 （3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则 剩余矩形必为黄金矩形。 a b 2 15 − BE BC ba b + a b a b 2 15 − 2 15 − 2 53 − 2 15 − BC BE' b ba − a b a b 2 15 − 2 15 − 2 15 − A B G E F H D C K 图 3 A B C D E F F’ E’ 图 4