中考数学复习专题讲与练利用频率估计概率

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 利用频率估计概率 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 1．在一个 8 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 250 人有订报纸的习惯，则该镇有订 报纸习惯的人大约为______万人． 2．为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉 10 只，全部做上记号后放飞．过了一段时间后， 重新捕捉 40 只，其中带有标记的天鹅有 2 只．据此可估算出该地区大约有天鹅______ 只． 3．如果手头没有硬币，用来模拟实验的替代物可用( )． A．汽水瓶盖 B．骰子 C．锥体 D．两个红球 4．在“抛硬币”的游戏中，如果抛了 10000 次，则出现正面的概率是 50％，这是 ( )． A．确定的 B．可能的 C．不可能的 D．不太可能的 1．某口袋放有编号 1～6 的 6 个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 摸到的球相同的概率是( ) A． B． C． D． 2．某科研小组，为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞 200 条，作上标记后，放回河里， 经过一段时间，再从中捕捞 300 条，发现有标记的鱼有 15 条，则估计该河流中有野生鱼 ( ) A．8000 条 B．4000 条 C．2000 条 D．1000 条 3．一口袋中有 6 个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜 色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共 300 次，其中 120 次摸到红球，则口袋中 大约有______个白球． 4．某班级有学生 40 人，其中共青团员 15 人，全班分成 4 个小组，第一小组有学生 10 人， 其中共青团员 4 人．如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组 内的概率为______；现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第 一小组内的概率是______． 5．均匀的正四面体各面分别标有 1，2，3，4 四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们 着地一面数字相同的概率是______．如果没有正四面体，设计一个模拟实验用来替代此 实验：______________________________． 6．有 4 根完全相同的绳子放在盒子中，然后分别将它们的两端相接连成一条绳子，问一根 绳子的两端刚好都接有绳子的概率是______． 7．对某厂生产的直径为 4cm 的乒乓球进行产品质量检查，结果如下： (1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中； 抽取球数 n 50 100 500 1000 5000 优等品数 m 45 92 455 890 4500 优等品频率 (2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少? 8．某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目， 小亮向纸箱中放入 25 个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为 25％，摸 到黄球的频率为 40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目． 9．在 5 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从 5 瓶饮料中任取 2 瓶，则取到的 2 瓶都过了保质 期的可能性是多少?请你用替代物进行模拟实验，估计问题的答案． 10．某笔芯厂生产圆珠笔芯，每箱可装 2000 支．一位质检员误把一些已做标记的不合格产 3 6 1 1 8 1 6 1 2 1 n m天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 品也放入箱子里，若随机拿出 100 支，共做 10 次实验，这 100 支中不合格笔芯的平均 数是 5，你能估计箱子里有多少支不合格品吗?若每支合格品的利润为 0.5 元，如果顾 客发现不合格品，需双倍赔偿(即每支赔 1 元)，如果让这箱含不合格品的笔芯走上市场， 根据你的估算这箱笔芯是赚是赔?赚多少或赔多少? 11．为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将 100 尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机 捕捞，每次捕捞后做好记录，然后将鱼放回，如此进行 20 次，记录数据如下： 总条数 50 45 60 48 10 30 42 38 15 10 标记数 2 1 3 2 0 1 1 2 0 1 总条数 53 36 27 34 43 26 18 22 25 47 标记数 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 (1)估计池塘中鱼的总数．根据这种方法估算是否准确? (2)请设计另一种标记的方法，使得估计更加精准． 12．某数学兴趣小组为了估计 π 的值设计了投针实验．平行线间的距离 α＝0.5m，针长为 0.1m，向地面随机投了 150 次，经统计有 19 次针与平行线相交．试求出针与平行线相 交的概率的近似值，并估计出 π 的值． 13．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形 ABC．为了知道它的面积， 小明在封闭图形内划出了一个半径为 1m 的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下： 掷子次数 50 次 150 次 300 次 石子落在⊙O 内 (含⊙O 上)的次数 m 14 43 93 石子落在图形内的次数 n 19 85 186 你能否求出封闭图形 ABC 的面积?试试看． 14．地面上铺满了正方形的地砖(40cm×40cm)．现在向其上抛掷半径为 5cm 的圆碟，圆碟与 地砖间的间隙相交的概率大约是多少?天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 15．设计一个方案，估计 10 个人中有 2 个人生日相同的概率是多少?写出你的方案设计． 16．一次战争期间，参战的一方的一名间谍深入敌国内部，他侦察到的情报如下： (1)该国参战部队有 220 个班建制； (2)他在敌国参战部队的不同地点侦察了 22 个班；22 个班中有 20 个班严重缺员，另外 2 个班只是基本满员； (3)敌国的士气不振． 因此，他向本国发回消息：“敌国已基本失去战斗力”． 你认为这名间谍的消息正确吗? 17．小明在乒乓球馆训练完后，不慎将若干白球放入了装有 30 个橙色球的袋子中，已知两 种球除颜色外都相同，你能帮他设计一个方案来估计放进多少白球吗? 18．北京联通公司市场部经理小张想了解市内移动公司等对手的市场占有率及用户数量，你 能帮他设计一种方案估计出其他公司用户的数量吗? 19．一口袋中只有若干粒白色围棋子，没有其他颜色的棋子；而且不许将棋子倒出来数，请 你设计一个方案估计出其中白色棋子的数目．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 20．某学校有 50 位女教师，但不知其校男教师的人数，一位同学为了弄清该校男教师的人 数，他对每天进校时的第一位老师的性别进行了记录，他一共记录了 200 次，记录到女 教师有 80 次．你能根据这位同学的记录估计出该校男教师的人数吗?请说明理由． 利用频率估计概率参考答案 典题探究 1．2． 2．200． 3．A． 4．B．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 演练方阵 1．C． 2．B． 3． 9． 4． 5． 略． 6． 7．(1)频率依次为 0.90，0.92，0.91，0.89，0.90；(2)概率是 0.9． 8．可估计三色球总数为 个，则黄球约为 40 个，红球约为 100－40－25＝35 个． 9．可能性是 可取 3 个白球和两个红球，用红球代表过了保质期的饮料，从这 5 个球中 任取两个，这两个均为红球的概率即为所求． 10．(1) (支)，估计箱子里有 100 支不合格产品； (2)0.5×(2000－100)－1×100＝850(元)，这箱笔芯能赚钱，赚了 850 元． 11．(1)先求有标记数与总条数的比 得池塘鱼数 条，估计可能不太 准确，因为实验次数太少． (2)可以先捞出一定数目的鱼(比如 30 条)，做上标记再放回，一天后，在池塘里随机捞 取，每次捞 50 条，求带有标记和不带有标记鱼的数目比．重复实验 100 次，求出平 均值，然后用 30 除以平均比值，即可估计池塘里的鱼数． 12．估计 又 13．随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的频率趋近 0.5，有理由相信⊙ O 面积会占封闭图形 ABC 面积的一半，所以求出封闭图形 ABC 的面积为 2π. 14．如图，当所抛圆碟的圆心在图中边框内(宽为 5cm)部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交， 因此所求概率等于一块正方形地砖内的边框部分和该正方形的面积比，结果为 15．用计算器设定 1～365(一年按 365 天计)共 365 个随机数，每组取 10 个随机数，有两个 数相同的记为 1，否则记为 0，做 10 组实验，求出现两个数相同的频率，用此数据来估 计概率． 16．由于间谍侦查到的班是随机的，设敌国有 x 个班严重缺员，那么 解得 x＝ 200，可见敌国有 200 个班严重缺员，仅有的 20 个班基本满员，又加上士气不振，可以 说“敌国已基本上无战斗力了”． 17．从袋中随机摸取一球，记下颜色放回摇匀，摸 20 次为一次实验，若摸出 n 个橙球，则 ⋅ 1 5 4;4 1 ,4 1 ⋅ 2 1 100%25 25 = ;1 0 1 100100 52000 =× ,6 7 9 2 8 2425 679 28100 =÷= ,127.0 150 19 ==≈ N nP .149.35.0127.0 1.022π,π 2 =× ×=≈∴= Pa l a lP ⋅ 1 6 7 ,22022 20 x=天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 摸到橙球的频率为 重复多次实验，用实验频率估计理论概率；用 求出袋中 球的总数，再用总数减去 30 个橙球数，就得出放进去的白球数． 18．首先统计出联通用户数量 m，然后随机调查 1000 名手机用户，如果其中有 n 名中国联 通用户，则可估计对手的市场占有率为 对手用户数量为 名． 19．方案一：从口袋中摸出 10 粒棋子做上标记，然后放回口袋．拌匀后从中摸出 20 粒棋子， 求出标记的棋子与 20 的比值，不断重复上述过程 30 次，有标记的棋子与 20 的 比值的平均数为 则估计袋中棋子有 10m 粒． 方案二：另拿 10 粒黑色棋子放到袋中，拌匀后，重复方案一中的过程．黑棋子与 20 的 比值平均数为 估计袋中原有白棋子(10n－10)粒． 20．能．设男教师人数为 x，则 解得 x＝75，估计该校约有 75 位男教师． ;2 0 n 2 03 0 n÷ ,10001 n− mn m −1000 ,1 m ,1 n ,200 80 50 50 =+ x