2020 年高考数学全真模拟 06
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结
束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 ．
柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高．
锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知复数 ，则 的虚部为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用复数的乘法和除法运算可得 ,进而可得其共轭复数,从而可得解.
【详解】
，从而 ， 的虚部为 3.
故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算及共轭复数和虚部的概念,属于基础题.
1 2, , , nx x x… ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
3
3 iz i
− −= z
1 3z i= −
( )3
3 3 3 1 3i iz i i ii i
− − − −= = = − − = −− 1 3z i= + z2．已知函数 ，则 = .
【答案】2
【解析】
【详解】 ，
3．设全集 ，集合 ， ，则
__________， __________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
分析可得集合 、 的几何意义，集合 为直线 中除 之外的所有点，集合 为平面直角坐
标系中除直线 外的所有点，由此可得 ， 的补集即可得答案．
【详解】
根据题意，分析可得集合 可变形为 ，
即直线 中除 之外的所有点，
，为平面直角坐标系中除直线 外的所有点；
，即平面直角坐标系中除点 之外的所有点，
所以 ，
故答案是： 或 ， .
4．已知角 的终边上一点 ，则 ______.
【答案】
【解析】
3
1( ) 0( ) { 2
log 0
x xf x
x x
≤=
>，
， 1( ( ))3f f
3( ) lo1 1
3g 13f = = − 11( 1) ( ) 22f −− = =
( ){ }, ,U x y x R y R= ∈ ∈ ( ) 3, 12
yM x y x
−= = −
( ){ }, 1P x y y x= ≠ + M P =U
( )U M P =U
( ){ , 2x y x ≠ }3y ≠ ( ){ }, 2, 3x y x y= =
M P M 1y x= + ( )2,3 P
1y x= + M P∪ M P∪
M ( ){ }, 1, 2M x y y x x= = + ≠
1y x= + ( )2,3
( ){ }, 1N x y y x= ≠ + 1y x= +
( ){ }, 2, 3M P x y x y∪ = ≠ ≠ ( )2 3，
( ) ( ){ }, 2, 3U M P x y x y∪ = = =
( ){ , 2x y x ≠ }3y ≠ ( ){ }, 2, 3x y x y= =
α ( 3, 1)A − sin( ) tan( )2
π α π α− + + =
3
6分析：先利用三角函数的坐标定义求出 ，再化简已知 ，把
的值代入即得解.
详解：由题得
又
故答案为 .
点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的
运算能力.(2) 点 p(x,y)是角 终边上的任意的一点（原点除外）,r 代表点到原点的距离， 则 sin
= , cos = ,tan = .
5．如图是一个算法的流程图，则输出 的值是__________．
【答案】25
【解析】
执行循环得： 结束循环，输出 25.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择
结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明
确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6．在等差数列 中， ，则 __________．
,tancosα α ( )sin tan2
π α π α − + + ,tancosα α
3 3cos ,tan ,2 3
α α= = −
( )sin tan2
π α π α − + + =
3 3 3cos tan .2 3 6
α α+ = − =
3
6
α 2 2r x y= +
α y
r
α x
r
α y
x
S
1, 3; 4, 5; 9, 7; 16, 9; 25, 11;S n S n S n S n S n= = = = = = = = = =
{ }na 4 6 10 12 60a a a a+ + + = 10 14
1
3a a− =【答案】10
【解析】
由 ， ，解得 ，
，故答案为 .
7．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，已知 ， ，则当
最大时，三棱锥 的体积为__________．
【答案】4
【解析】
设 ，则 ， ， ，
，当且仅当 ，即
时，等号成立.
,
故答案为：4
8．某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点
方向前进的格子数，（比如玩家一开始掷出的骰子点数为 3，则走到炸弹所在位置），若踩到炸弹则返回起点
重新开始，若达到终点则游戏结束.现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为
__________.
.
【答案】21
【解析】
种数有（3,4,5），（3,6,3），（3，5，4），（1,3,5），（1,4,4），（1,5,3），（1,6,2），（2,2,5）,(2,3,4,),（2,4,3），
4 6 10 12a a a a+ + + = ( ) ( )4 12 6 10 60a a a a+ + + = 6 10 830 2a a a∴ + = = 8 15a =
( ) ( )10 14 1 1 1 8
1 1 2 2 29 13 7 15 103 3 3 3 3a a a d a d a d a− = + − + = + = = × = 10
P ABC− PC ⊥ ABC AC CB⊥ 2AC = 2 6PB = PA AB+
P ABC−
xBC = 2 2 2PB BC 24PC x= − = − 2 2 2PA PC AC 28 x= + = − 2AB 4 x= +
( ) ( )2 2 2 228 4 2 28 4 8PA AB x x x x + = − + + ≤ − + + = 2 228 4x x− = + x 2 3=
1 1 1 1 2 2 3 2 3 43 2 3 2P ABCV AC BC PC− = × × × × = × × × × =（2,5,2），（2,6,1），（4,1,4），（4,2,3），（4,3,2），（4,4,1），（5,1,3），（5,2,2），（5,3,1），（6,1,2），（6,2,1）.共
21 种．
【点睛】把所有的情况一个个的列举出来．
9．已知 是离心率为 2 的双曲线 右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为_______，
到直线 的距离与 到点 的距离之和的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线的离心率求出 m，然后求解渐近线方程；利用双曲线的定义，转化求解 P 到直线 y＝2x 的距离
与 P 到点 F（﹣2，0）的距离之和的最小值．
【详解】
离心率为 2 的双曲线 ，可得 ，解得 m＝3，双曲线方程为：x2 ，故
双曲线的渐近线方程为：y ；
双曲线的焦点坐标（±2，0），
PF′﹣PF＝2，PF′+PD＝2+PF+PD，显然 PDF 三点共线，并且 PF 垂直直线 y＝2x 时，
P 到直线 y＝2x 的距离与 P 到点 F（﹣2，0）的距离之和的最小值：2 2 ．
故答案为：y ；2 ．
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．
P ( )2
2 1 0yx mm
− = > P
( )1y m x= − P ( )2,0F −
3y x= ± 4 5 25
+
( )2
2 1 0yx mm
− = ＞ 1 21
m+ =
2
13
y− =
3x= ±
2
4
1 2
+ =
+
4 5
5
+
3x= ± 4 5
5
+10．给定下列四个命题：
①“ ”是“ ”的充分不必要条件；
②若 am2＜bm2, 则 a＜b;
③若三个实数 既是等差数列，又是等比数列，则 ；
④若不等式 的解集 则 =-10．
其中为真命题的是 ．（填上所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【解析】
试题分析：①中由 可得 ，命题成立；②不等式两边同时除以正数 ，不等号方向不变，命
题成立；③中需满足 ；④中不等式 的解集 ，则方程
的根为
考点：1．充分条件必要条件；2．三个二次关系；3 等差等比数列；4．不等式性质
11．已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
, ,切点为 ,代入 ,得 ,
为正实数, ,
则 ,
令 ,则 ,
则函数 为增函数,
6x
π= 1sin 2x =
, ,a b c a b c= =
2 2 0ax bx+ + > a b−
6x
π= 1sin 2x = 2m
2 2 0ax bx+ + >
2 2 0ax bx+ + = 1 1,2 3
− 1 2 1 12, 2 106 6
b a b a ba a
∴− = − ∴ = − ∴ = − = − ∴ − = −
,a b y x a= − ( )lny x b= + 2
2
a
b+
10, 2
1' 1y x b
= =+ 1x b∴ = − (1 ,0)b− y x a= − 1a b+ =
,a b (0,1)a∴ ∈
2 2
2 3
a a
b a
=+ −
2
( ) 3
ag a a
= − 2
(6 )'( ) 0(3 )
a ag a a
−= >−
( )g a
12．如图，已知正六边形 的边长为 ，点 为 的中点，则 __________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据题意，建立直角坐标系，进而可得 、 、 、 、 、 的坐标，由中点坐标公式可得 的坐标，
由向量的坐标公式可得向量 ， 的坐标，进而由数量积的坐标计算公式计算可得答案
【详解】
根据题意，如图建立直角坐标系，则 ，
则 ， ， ， ， ， ，
又由点 为 的中点，则 ，则有 ， ，则
，故答案为 .
【点睛】
2 1(0, )2 2
a
b
∴ ∈+
ABCDEF a G CD AE GF⋅ =
23
4 a−
A B C D E F G
AE GF
2AD a=
( )0A a− ， ( )0D a， 3,2 2
aF a
−
3,2 2
aE a
3,2 2
aB a
− −
3,2 2
aC a
−
G CD 3 3,4 4
aG a
−
3 3,2 2
aAE a
=
5 3 3,4 4
aGF a
= −
23 5 3 3 3 3
2 4 2 4 4
a a a aAE GF a
⋅ = × − + × = −
（ ） 23
4 a−本题考查向量数量积的坐标计算，关键是建立直角坐标系，求出点的坐标，属于基础题.
13． 在 上的单调增区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【详解】
.
， ，
当 即 时， 单调递增，
的单调递增区间为
【点睛】
本题主要考查二倍角公式及两角差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．
14．设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为 4， 的周期为 2，且 是奇函数.
当 时， ， ，其中 .若在区间 上，关于
的方程 有 8 个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
2 1( ) sin cos 22 3f x x x
π = + − ,3 4
π π −
[ , ]6 4
π π−
2 1 1 cos2 1 3( ) sin cos(2 ) cos2 sin 22 3 2 4 4
xf x x x x x
π −= + − = + +
1 3 1 1 1 1( sin 2 cos2 ) sin(2 )2 2 2 2 2 6 2x x x
π= − + = − +
,3 4x
π π ∈ −
52 ,6 6 3x
π π π ∴ − ∈ −
2 ,6 2 3x
π π π − ∈ − ,6 4x
π π ∈ − ( )f x
( )f x∴ ,6 4
π π −
( ), ( )f x g x R ( )f x ( )g x ( )f x
2( ]0,x∈ 2( ) 1 ( 1)f x x= − −
( 2),0 1
( ) 1 ,1 22
k x x
g x
x
+ < ≤= − < ≤
0k > (0 ]9， x
( ) ( )f x g x= k
1 2,3 4
分别考查函数 和函数 图像的性质，考查临界条件确定 k 的取值范围即可.
【详解】
当 时， 即
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使
在 上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
当 时，函数 与 的图象有 个交点；
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当
与 图象相切时，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，得 ，函
数 与 的图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点，
此时 ，得 .
综上可知，满足 在 上有 个实根的 的取值范围为 .
【点睛】
本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，
根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
15．在锐角 中，角 所对的边分别是 .已知 .
（1）求 ；
（2）求 周长的取值范围.
( )f x ( )g x
( ]0,2x∈ ( )2( ) 1 1 ,f x x= − − ( )2 21 1, 0.x y y− + = ≥
( )f x 4 ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x=
( ]0,9 8 8
1g( ) 2x = − ( )f x ( )g x 2
g( ) ( 2)x k x= + ( )g x ( )2,0− ( )f x ( )g x 6
( )f x ( )g x ( )1,0 2 0kx y k− + = 1 2
2 1
1
k k
k
+ =
+
2
4k =
( )f x ( )g x 3 g( ) ( 2)x k x= + 1,1（ ） ( )f x ( )g x 6
1 3k= 1
3k =
( ) ( )f x g x= ( ]0,9 8 k 1 2
3 4
，
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) ( )3 , , sin ,cos , 3m a c n A C m n= = =
C
ABC∆【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】试题分析：
(1)利用题意求得 的值，然后结合特殊角的三角函数值求解角 的大小即可.
(2)首先利用题意求得边 的长度，然后结合(1)中的结论和正弦定理得到关于 的三角函数式，结合角
的范围讨论边的范围即可.
试题解析：
（Ⅰ）因为 ，则 ，
由正弦定理知： ，所以 ，得
（Ⅱ）∵ ， ，
又 为锐角三角形，则 得 ，
由正弦定理知： ，则 ， ，
所以 ，
化简得： ，
则
16．如图，在四面体 中， 平面 ， ， ， ，且 ， ， 分别为
， ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
3C
π= 3 3 3 9
2 2a b c
+ < + + ≤
tanC C
c a b+
3m n= 3 cos sina C c A=
3sin cos sin sinA C C A= tan 3C =
3C
π=
3C
π= 3 3{
3
a sinA
c cosC
= ⇒
=
3
2c =
ABC∆ 2{
2
A C
C
π
π
+ >
< 6 2A
π π< <
sin sin sin
a b c
A B C
= = 3sina A= 3sinb B=
( ) 3 33 sin sin 3 sin sin2 3 2a b c A B A A
π + + = + + = + + +
33sin ( )6 2 6 2a b c A A
π π π + + = + + <
−
3 3AOBS∆ ≤ OA
,a b 2y a b= + 3 22 ab b a= + 3 1 2
2 a b
= +
( )1 OA a= OB b= AOB POB AOPS S S∆ ∆ ∆= +
AOB POB AOPS S S∆ ∆ ∆= +
1 1 1sin120 2 sin30 22 2 2ab b a° °= × + ⋅
3 22 ab b a= +
4
3 2
ab
a
=
−
4 0
3 2
ab
a
= >
−
2 2 3
33
a > =
1 3 3 4sin120 3 32 4 4 3 2AOB
aS ab ab a
a
°
∆ = = = ≤
−
2 3 3 6 0a a− + ≤ 3 2 3a≤ ≤
OA 3 2 3
( )2 y
1 14 2 sin30 2sin90 22 2y b a a b° °= × × × + × = +因为 ,所以
所以
当且仅当 时,即 时 成立
又因为 ,所以
答： 为 百米
【点睛】
本题主要考查了实际情景中的解三角形以及基本不等式的综合运用,需要根据题意设对应的量表达面积以及
成本等式子,再利用不等式求解即可.属于中档题.
18．已知函数 （ 是自然对数的底数）.
（1）当 时，求函数在 上的最大值和最小值；
（2）当 时，讨论函数 的单调性.
【答案】（1） ， （2）见解析
【解析】
分析：（1）当 时， ， ，
令 ，可得 或 ， 列表可求函数在 上的最大值和最小值；
（2）由题意
，
分类讨论可求函数 的单调性.
详解：
（1）当 时， ， ，
令 ，可得 或 ，
则有：
3 22 ab b a= + 3 1 2
2 a b
= +
( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 5 5 2 6 3
3 3 3
b a b ay a b a b a b a b a b
= + = + × + = + + ≥ + ⋅ =
2 2b a
a b
= a b= " "=
3 1 2
2 a b
= + 2 3a b= =
OA 2 3
2( ) ( 1) 2xf x ax x e= + + − e
1a = − [ 3,2]−
0a > ( )f x
max ( )f x = 2e − min ( )f x = 2e 2− −
1a = − ( ) ( )2 1 2xf x x x e= − + + − ( ) ( )( )1 2 xf x x x e= − − +′
( ) 0f x′ = 1x = 2x = − [ ]3,2−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 1 1 2 1 2 1 2x x x xf x ax e ax x e ax a x e ax x e = + + + + = + + + = + + ′
( )f x
1a = − ( ) ( )2 1 2xf x x x e= − + + − ( ) ( )( )1 2 xf x x x e= − − +′
( ) 0f x′ = 1x = 2x = −减
极小值
增
极大值
减
因为 ， ，
所以 ， .
（2）
，
当 时， ，函数在 上单调递增；
当 时， ，当 或 时， ，函数单调递增，当
时， ，函数单调递减；
当 时， ，当 或 时， ，函数单调递增，当
时， ，函数单调递减；
综上所述，当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当
时， 在 在上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减.
点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.
19．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆： 的离心率为 ，y 轴于椭圆相交于 A、
x 3− ( )3, 2− − 2− ( )2,1− 1 ( )1,2 2
( )f x′ - 0 + 0 -
( )f x 311 2e−− −
25 2e−− − 2e −
2 2e− −
311 2 2e e−− − < − 25 2e−− − > 2 2e− −
( )maxf x = 2e − ( )minf x = 2 2e− −
( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 1 2x x xf x ax e ax x e ax a x e = + + + + = + + + ′
( )( )1 2 xax x e= + +
1
2a = ( ) ( )21 2 02
xf x x e= + ≥′ ( ).−∞ + ∞
10 2a< < 1 2a
− < − 1,x a
∈ −∞ −
( )2,x∈ − +∞ ( ) 0f x′ >
1 , 2x a
∈ − −
( ) 0f x′ <
1
2a > 1 2a
− > − ( ), 2x∈ −∞ − 1 ,x a
∈ − +∞
( ) 0f x′ > 12,x a
∈ − −
( ) 0f x′ <
10 2a< < ( )f x 1, a
−∞ −
( )2,− +∞ 1 , 2a
− −
1
2a = ( )f x ( ).−∞ + ∞ 1
2a > ( )f x ( ), 2−∞ − 1 ,a
− +∞
12, a
− −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2B 两点， ，C、D 是椭圆上异于 A、B 的任意两点，且直线 AC、BD 相交于点 M，直线 AD、BC
相交于点 N．
求椭圆的方程；
求直线 MN 的斜率．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
运用离心率公式和 ，解方程可得 ；
设 ， ， ，
，同理 可设直线 AC 方程为 ，直线
方程为 ，则直线 BC 方程为 ，直线 BD 方程为
可得直线 AC、BD 相交点 直线 AD、BC 相交点
可得直线 MN 的斜率．
【详解】
解： 椭圆： 的离心率为 ，
y 轴于椭圆相交于 A、B 两点， ，
， ， ， ．
椭圆的方程为： ；
设 ， ，
2 3AB =
( )1
( )2
2 2
16 3
x y+ = 0MNk =
( )1 2 3AB = ,a b
( )2 ( )0, 3A ( )0, 3B − ( ) 2 2 2
1 1 1
1 1 2
1
3 1, . 16 3 2
x y yC x y x
−+ = ⇒ = −
( )( )1 1
2
1
3 3 1
2ac BC
y y
k k x
− +
⋅ = = − 1 .2AD BDk k⋅ = − 3y kx= + AD
3y mx= + 1 32y xk
= − − 1 32y xm
= − −
4 3 4 3, 3 .2 1 2 1
m kmM mk km
− − + + +
4 3 4 3, 3 .2 1 2 1
k kmN km km
− − + + +
( )1
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
2 3AB =
2 2 3b∴ = 2
2
c
a
= 2 2 2 3a b c b c= + ⇒ = = 6a =
∴ 2 2
16 3
x y+ =
( )2 . ( )0, 3A ( )0, 3B − ( )1 1, .C x y，
同理
可设直线 AC 方程为 ，直线 AD 方程为
则直线 BC 方程为 ，直线 BD 方程为
由 可得直线 AC、BD 相交点
同理可得直线 AD、BC 相交点
直线 MN 的斜率 ．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线
的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．
20．定义函数 如：对于实数 （ ， ），如果存在整数 ，使得 ，则
.
（1）若等差数列 满足： ， ，求数列 的通项公式；
（2）证明：函数 是奇函数且 ；
（3）已知等比数列 具有单调性，其首项 ，且 ，求公比 的取值范围.
2 2 2
1 1 1
2
1
3 116 3 2
x y y
x
−+ = ⇒ = − ( )( )1 1
2
1
3 3 1
2ac BC
y y
k k x
− +
⋅ = = −
1
2AD BDk k⋅ = −
∴ 3y kx= + 3y mx= +
1 32y xk
= − − 1 32y xm
= − −
3
1 32
y kx
y xm
= + = − −
4 3 4 3, 3 .2 1 2 1
m kmM mk km
− − + + +
4 3 4 3, 3 .2 1 2 1
k kmN km km
− − + + +
∴ 0MNk =
( )f x x 1
2x k≠ + k ∈Z k 1| | 2x k− <
( )f x k=
{ }na 1
1 1( , )2 2a ∈ − 1 ( 1)n na f a+ = + { }na
( )y f x= ( ) ( 1)f x f x< +
{ }nb 1 1b = 1 2 3( ) ( ) ( ) 3f b f b f b+ + = q【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）等差数列 中求出 即可写出公差及通项公式（2）根据新函数定义及奇函数的定义证明（3）
利用新定义函数 ，对 分类讨论即可.
【详解】
（1）因为 ，
，
所以 ，即 ，
故 ，
因为 为等差数列，
所以 ，
所以 .
（2） ，
则 ，
，
是奇函数.
若 ，则 ，
，
，
故 .
（3）因为等比数列 具有单调性，其首项 ，
所以 或 ，
1na n= − 2 6( ,1) (1, )2 2
{ }na 2 3,a a
( )f x q
1
1 1( , )2 2a ∈ −
1
1 31 ( , )2 2a + ∈
1
1| 1 1| 2a + − < 2 1( 1) 1a f a= + =
3 2( 1) (2) 2a f a f= + = =
{ }na
3 2 1 21, 0d a a a a d= − = = − =
1na n= −
1| | | | 2x k x k− = − + > 1q >因为 ，所以 ， ，
若 时，则 ，
或 ， 或 ，
又 ，
，
，
，
，解得 ，
若 ，则
，
，
，
，
，解得
综上： 的取值范围为 .
【点睛】
本题主要考查了新函数的定义及应用，奇函数，等差数列，等比数列，分类讨论的思想，属于难题.
数学Ⅱ（附加题）
（ 考试时间：30 分钟 试卷满分：40 分）
注意事项：
1 1b = 1( ) 1f b = 2 3( ) ( ) 2f b f b+ =
1 0q> > 2 30 1,0 1b b< < < <
( )2 0f b∴ = ( )2 1f b = ( )3 0f b = ( )3 1f b =
2 3( ) ( ) 2f b f b+ =
( ) ( )2 31, 1f b f b∴ = =
2 3
1 11 , 12 2b b∴ − < − <
2 3
1 3 1 3,2 2 2 2b b∴ < < < <
2
1 3
2 2
1 3
2 2
q
q
< >
( ) ( )2 31, 1f b f b∴
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 32, 1, 1f b f b f b f b+ = ∴ = =
2 3
1 11 , 12 2b b∴ − < − <
2 3
1 3 1 3,2 2 2 2b b∴ < < < <
2
1 3
2 2
1 3
2 2
q
q
<
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