冲刺2020年高考数学（理）全真模拟演练（解析版）

冲刺 2020 年高考数学（理）全真模拟演练（十） 一、单选题 1．设全集为 ， ， ，则 （ ） A．{x|﹣3＜x＜﹣2} B．{x|﹣2≤x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜0} 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 ,可得 的值. 【详解】 解：由题意可得： ， ，可得 ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题，由题意求出集合 是解题的关键. 2．若复数 的虚部小于 0， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 可得 ，结合模长关系列方程，根据虚部小于 0 即可得解. 【详解】 由 ，得 ，因为 ，所以 . 又 z 的虚部小于 0，所以 ， . 故选：C 【点睛】 此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. R 3){ | }3 1x xA x +（＝ ＜ { | }2B x y ln x＝ ＝ （﹣﹣ ） CUA B（ ）＝ A B、 UA B（ ） { } { }3){ | }= |3 1 0( 3 0) | 3x xA x x x x x x+ + = −（＝ ＜ ＜ ＜ ＜ { | } { | 2 } { |2 0 }2B x y ln x x xx x= − − −=＝ ＝ （﹣﹣ ） ＞ ＜ { | 2}U xB x= ≥ − { }2 0|UA B x x≤（ ）= ﹣ ＜ A B、 z | z | 5= 4z z+ = iz = 1 3i+ 2 i+ 1 2i+ 1 2i− 4z z+ = ( )2z mi m= + ∈R 4z z+ = ( )2z mi m= + ∈R 2| | 4 5z m= + = 1m = ± 2z i= − 1 2iz i= +3．命题“∀x∈R，x2﹣2x+2≥0”的否定是（ ） A．∀x∈∅，x2﹣2x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x+2＜0 C．∃x0∈R，x02﹣2x0+2≥0 D．∃x0∈R，x02﹣2x0+2＜0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定形式，即可求出结论. 【详解】 命题“∀x∈R，x2﹣2x+2≥0”的否定是： “∃x0∈R，x02﹣2x0+2＜0”. 故选:D. 【点睛】 本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题. 4．如图，半径为 的圆 内有一内接正六边形 ，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆 心 成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角形面积公式以及几何概型中的面积型可得 ，计算即可. 【详解】 由三角形面积公式可得： ， 又 ， r O ABCDEF O 3 3 4π 3 3 8π 3 4π 3 8π ( ) SP A S = 阴 圆 2 21 3 33 sin 602 4S r r = ° =   ⋅阴 2S rπ=圆由几何概型中的面积型可得： ， 故选：A. 【点睛】 本题考查了几何概型中的面积型及三角形的面积公式，属于基础题. 5．已知圆 O 中，弦 PQ 满足 ，则圆 O 半径的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 延长 交圆 于点 ，连接 ，则 为圆 的直径，将 ，转化为 ， 再用 数量积展开 ，有 求解. 【详解】 如图所示： 延长 交圆 于点 ，连接 ，则 为圆 的直径， 所以 又因为 ， 为圆 的弦， 所以 ， ， ， 2 2 3 3 3 34( ) 4 rSP A S rπ π= = =阴 圆 1PQ PO⋅ =  2 2 1 2 2 PO O N QN PN O 1PQ PO⋅ =  2PQ PN⋅ =  2 2cos cos 2PQ PN PQ PN QPN PN QPN⋅ = ⋅ ⋅ ∠ = ∠ =     2 cosPN QPN = ∠  PO O N QN PN O 2 ,PN PO=  1PQ PO⋅ =  PQ O 2PQ PN⋅ =  90PQN∠ =  cos PQQPN PN ∠ =所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以当 时， 取得最小值 ， 所以圆半径的最小值为 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查平面向量的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 6．已知数列 ， 满足 ， ， ，则数列 的前 10 项的 和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列、等比数列定义以及通项公式确定数列 ， 通项公式，再根据分组求和法以及等比数 列求和公式求结果. 【详解】 为以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 为以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 因此 所以其前 10 项的和为 故选：C 2 2cos cos 2PQ PN PQ PN QPN PN QPN⋅ = ⋅ ⋅ ∠ = ∠ =     2 cosPN QPN = ∠  cos (0,1]QPN∠ ∈ cos 1QPN∠ = PN 2 2 2 { }na { }nb 1 1 1a b= = 1 1 2n n n n ba a b + + − = = n∈ +N 1 30nab +   ( )101 4 13 − ( )91 4 13 − 104 3 94 3 { }na { }nb 1 2n na a+ − = ∴ { }na 1 2( 1) 2 1na n n= + − = − 1 2n n b b + = ∴ { }nb 1 11 2 2n n nb − −= × = 2 21 1230 30n n ab −+ = + 10 101 (1 4 ) 1 4101 4 30 3 × − + × =−【点睛】 本题考查等差数列、等比数列定义以及通项公式，考查分组求和以及等比数列求和，考查基本分析求解能 力，属中档题. 7．已知函数 图象过点 ，则 图象的一个对称中心是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：因为函数 的图象过点 ，所以 ，即 ，又因 为 ，所以 ，所以函数的解析式为 ，令 ，解得 ，当 ，所以函数的一个对称中心为 ，故选 B． 考点：三角函数的图象与性质． 8．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的 四棱锥.在堑堵 中， ，当阳马 体积为 时，堑堵 的外接球的体积的最小值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设 AC＝x，BC＝y，由阳马 B﹣A1ACC1 体积，得到 ，结合基本不等式求得外接球半径由此能求出外 接球体积． 【详解】 设 AC＝x，BC＝y，由题意得 x＞0，y＞0，又 体积为 ， 堑堵 的外接球即以 为棱的长方体的外接球 故 ，当且仅当 x＝y 时，取等号， ( ) ( )2sin 2 2f x x πϕ ϕ = + 11?n ≤ 11?n > 10 11S = 1 10, 1, 0 11 2 2S n S= = = + = −× 1 1 1 1 1 12, 1 1 + 12 2 3 2 2 3 3n S= = − + = − − = −× 11 1S n = − + 10 11S = 10n = 10 11S = 10n ≤ ？ 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > F M :3 4 0l x y− = E ,A B 4AF BF+ = M l 4 5 EA． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：设 是椭圆的左焦点，由于直线 过原点，因此 两点关于原点对称，从而 是平行四边形，所以 ，即 ， ，设 ，则 ， 所以 ， ，即 ，又 ，所以 ， ．故选 A． 考点：椭圆的几何性质． 【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出 就是 ，从而得 ，于是只有由点到直线的距离得出 的范围，就得出 的取值范围，从 而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义． 12．已知定义在 R 上的函数 的导数为 ，若满足 ，则下列结论： ① ；② ；③ ；④ 中，一定正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 的结构特点，构造函数 ， ，所以 ，得到 在 R 上是增函数，然后利用单调性一一验证. 【详解】 令 ， 所以 ， 因为函数 满足 ， 所以 ， 3(0, ]2 3(0, ]4 3[ ,1)2 3[ ,1)4 1F :3 4 0l x y− = ,A B 1AF BF 1 4BF BF AF BF+ = + = 2 4a = 2a = (0, )M b 4 5 bd = 4 4 5 5 b ≥ 1b ≥ 1 2b≤ < 2 2 2 24c a b b= − = − 0 3c< ≤ 30 2 c a < ≤ ,a c AF BF+ 2a 2a = b c ( )f x ( )f x′ ( ) ( ) 1f x xf x′+ > ( )1 0f − > ( )1 0f < ( ) ( )2 2 1f f− > − ( ) 12 1 2f f  >    ( ) ( ) 1f x xf x′+ > ( )( )h x xf x x= − ( )( ) ( ) 1h x xf x f x′ ′= + − ( ) 0h x′ > ( )h x ( )( )h x xf x x= − ( )( ) ( ) 1h x xf x f x′ ′= + − ( )f x ( ) ( ) 1f x xf x′+ > ( ) 0h x′ >所以 在 R 上是增函数， 因为 ， 所以 故①正确. 因为 ， 所以 ，故②错误. 因为 ， 所以 ，故③正确. 因为 ， 所以 ，故④正确. 故选：B 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性及单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题 13．定义在 R 上的函数 为奇函数， ，又 也是奇函数，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 由 为奇函数， 也是奇函数可得 为周期函数，且周期为 4，可得 ，可得答案. 【详解】 解：因为 是 R 上的奇函数，故 ，又 是奇函数，所以 图象关 于点 对称，可得： ， ( )h x ( )( 1) 1 1 (0) 0h f h− = − − + < = ( )1 1 0f − > > ( )(1) 1 1 (0) 0h f h= − > = ( )1 1>f ( ) ( )( 2) 2 2 2 ( 1) 1 1h f h f− = − − + < − = − − + ( ) ( )2 2 1 1 ( 1)f f f− > − + > − ( ) 1 1 1 1(1) 1 1 ( )2 2 2 2h f h f  = − > = −   ( ) 1 12 1 1 ( )2 2f f f > + >   ( )f x ( )1 1f = ( ) ( )2g x f x= + ( )2020f = 0 ( )f x ( ) ( )2g x f x= + ( )f x ( )2020 (0) 0f f= = ( )f x ( ) ( )f x f x= − − ( ) ( )2g x f x= + ( )f x ( )2,0 ( )2 ( 2)f x f x+ = − − +故 ， 为周期函数，且周期为 4， 所以 ， 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查函数周期性的相关知识，其中由 为奇函数 也为奇函数求出函数 的周期 为 4 是解题的关键. 14．已知 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 运用二倍角公式和同角三角函数关系公式计算出结果. 【详解】 由题意结合二倍角公式化简 ,得 ,又 即得 ,联立 ,解得 . 故答案为: 【点睛】 本题考查了二倍角公式和同角三角函数关系,运用公式 来求值,需要熟练掌握公式,运用 公式来求解. 15．在三棱锥 中，底面为 ，且 ，斜边 上的高为 ，三棱锥 的外接 球的直径是 ，若该外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 分析：由题意,画出图形,设 ,把棱锥的体积用含有 的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到 答案. 详解：如图所示， ( )4 [ ( 2) 2] ( ) ( )f x f x f x f x+ = − − + + = − − = ( )f x ( ) ( ) ( )2020 4 505 0 0f f f= × = = 0 ( )f x ( )2f x + ( )f x π0, 2 α  ∈   2sin 2 cos2 1α α= + cosα = 2 5 5 2sin 2 cos2 1α α= + 24sin cos 2cos 1 1α α α= − + π0, 2 α  ∈   2sin cosα α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 5cos 5 α = 2 5 5 2 2sin cos 1α α+ = A BCD− Rt∆ BC CD⊥ BD 1 A BCD− AB 16π A BCD− 4 3 AD x= x由外接球的表面积为 ，可得外接球的半径为 ，则 ， 设 ，则 ， 又 变式上的高 ， 当 平面 时，棱锥 的体积最大， 此时 ， 当 时，体积 最大，此时最大值为 . 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的 合理运用，把球的体积表示关于 的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 以及推理与运算能力. 16．已知函数 ，若对于任意的 ， 不等式 恒成立，求实数 的取值范围__________ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得： ，分类讨论 a>0,a=0,a 0x > ( )g x∴ ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( ) ( )min 0 0g x g∴ = = ( )1 0,x∴∀ ∈ +∞ ( )2 1 1 12 1 ln 0ax a x x− + + ≤即只需 当 时，令 则 ，与 矛盾 当 时， 解得 在 单调递增，在 单调递减 综上所述： 【点睛】 本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题. 三、解答题 17．已知 为等差数列 的前 n 项和，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 n 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求 ，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公 差，进而求出等差数列 的通项公式； （2）直接利用等比数列的前 n 项和公式求出 . 【详解】 ( )max 0f x ≤ ( ) ( ) ( )( )2 ' 2 2 1 1 2 1 112 2 1 ax a x ax xf x ax a x x x − + + − −= − − + = = 0a > 2 1ax a += 2 1 2 1 1ln ln 2 0a af a a a + +     = = + >           ( ) 0f x ≤ 0a ≤ 2 1 0ax − < ( )' 0f x∴ > 1x < ( )f x∴ ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( ) ( )max 1 2 1 1f x f a a a∴ = = − + = − − 1 0 1a a∴− − ≤ ⇒ ≥ − [ ]1,0a∈ − nS { }na 7 228, 2S a= = { }na 14 na nb −= { }nb nT na n= 4 1 3 n nT −= 7 228, 2S a= = { }na nT解：（1）由 ，解得 ， 所以 . （2） ，所以 的前 项和 . 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式、等比数列前 n 项和公式，考查了数学运算能力、解方程 组的能力. 18．如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形， ， ，平面 底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点， ， ， 求证：平面 平面 PAD； 若 ，求二面角 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式 求解． 试题解析： （1）∵ 为 的中点， ， ， ∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ， ∵底面 为直角梯形， ， ，∴ ． 又 ，∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴平面 平面 ．…………6 分 （2）∵ ，平面 底面 ，平面 底面 ， 2 1 7 1 2 7 21 28 a a d S a d = + =  = + = 1 1 1 a d =  = na n= 14n nb −= { }nb n 1 4 4 1 1 4 3 n n nT − −= =− P ABCD− / /AD BC 90ADC∠ =  PAD ⊥ 2PA PD AD= = = 1BC = 3CD = ( )1 PQB ⊥ ( )2 3PM MC= M BQ C− − 6 π Q AD 2PA PD AD= = = 1BC = PQ AD⊥ / /QL BC BCDQ / /DC QB ABCD / /AD BC 90ADC∠ =  BQ AD⊥ BQ PQ Q∩ = AD ⊥ PQB AD ⊂ PAD PQB ⊥ PAD PQ AD⊥ PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD=∴ 底面 ， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴 ，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设 ，则 ， 即 ， ∴ ， ， ，∴ ， ， ， 设平面 的法向量 ，则 ， 取 ，得 ，平面 的法向量 ． 设二面角 的平面角为 ，则 ， ∴ ， ∴二面角 的大小为 ．………………12 分 考点：空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额 元）、专业二等奖学金（奖金额 元）及专业三等奖学金（奖金额 元），且专业奖学金每个学 生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校 年 名学生周课外平均学习时间频率分布直方图， PQ ⊥ ABCD Q QA x QB y QP z (0,0,0)Q (0, 3,0)B ( 1, 3,0)C − (0,0, 3)P ( , , )M a b c 3 4PM PC = 3 3 3 3 3 3( , , 3) ( 1, 3, 3) ( , , )4 4 4 4a b c − = − − = − − 3 4a = − 3 3 4b = 3 4c = 3 3 3 3( , , )4 4 4M − 3 3 3 3( , , )4 4 4QM = − (0, 3,0)QF = MQB ( , , )r x y z= 3 3 3 3· 0{ 4 4 4 · 3 0 n QM x y z n QB y = − + + = = =   1x = (1,0, 3)r = BQC (0,0,1)n = M BQ C− − θ · 3cos 2· m n m n θ = =    6 πθ = M BQ C− − 6 π 3000 1500 600 2018 500图（2）是这 名学生在 年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图. （Ⅰ）求这 名学生中获得专业三等奖学金的人数； （Ⅱ）若周课外平均学习时间超过 小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列 联表并 判断是否有 的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ （Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生 年获得的专业奖学金额为随机变量 ， 求随机变量 的分布列和期望. 【答案】（Ⅰ）160 人；（Ⅱ）有；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据频率之和为 1，得到获得三等奖学金的频率，再由总人数得到答案；（Ⅱ）根据频率分布直方 图和频率柱状图，填写好列联表，再计算出 进行判断，得到答案；（Ⅲ）先得到 可取的值，再分别 求出其概率，根据数学期望的公式，得到答案. 【详解】 获得三等奖学金的频率为: , 500 2018 500 35 2 2× 99.9% 2018 X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2K X ( )I ( ) ( ) ( )0.008 0.016 0.04 5 0.15 0.04 0.056 0.016 5 0.4 0.016 0.008 5 0.4 0.32+ + × × + + + × × + + × × = 500 0.32 160× =故这 名学生获得专业三等奖学金的人数为 人. 每周课外学习时间不超过 小时的“非努力型”学生有 其中获得一、二等奖学金学生有 每周课外学习时间超过 小时称为“努力型”学生有 人， 其中获得一、二等奖学金学生有 人， 联表如图所示: “非努力型”学生 “努力型”学生 总计 获得一二等奖学金学生 未获得一二等奖学金学 生 总计 故有 的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关； 的可能取值为 , , , 的分布列 0 600 1500 3000 0.424 0.32 0.198 0.058 500 160 ( )II 35 ( )500 0.008 0.016 0.04 0.04 0.056 0.016 5 440× + + + + + × = 人， ( ) ( ) ( )500 0.008 0.016 0.04 5 0.05 500 0.04 0.056 0.016 5 0.25 0.05 92x + + × × + × + + × × + = 35 500 0.12 60× = ( )60 0.35 0.25 36× + = 2 2× 列 92 36 128 348 24 372 440 60 500 ( )2 2 500 348 36 92 24 42.36 10.83440 60 128 372K × × − ×= ≈ >× × × 99.9% ( )III X 0,600,1500,3000 ( )600 0.32P X = = ( )1500 0.198P X = = ( )3000 0.058P X = = ( )0 1 0.32 0.198 0.058 0.424P X = = − − − = X X P其期望为 元. 【点睛】 本题考查利用频率分布直方图求频率和频数，通过求 的值进行判断是否相关，随机变量的分布列和数学 期望，属于中档题. 20．已知定点 ， ，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 。 （1）求曲线 的方程； （2）过点 的直线与曲线 交于 、 两点，是否存在定点 ，使得直线 与 斜率之 积为定值，若存在，求出 坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) ；(2) 存在定点 ，见解析 【解析】 【分析】 （1）设动点 ，则 ，利用 ，求出曲线 的方程． （2）由已知直线 过点 ，设 的方程为 ，则联立方程组 ， 消去 得 ，设 ， ， ， 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解 指向性方程，推出结果． 【详解】 解：（1）设动点 ，则 ， ， ，即 ， 化简得： 。 由已知 ，故曲线 的方程为 。 0 0.424 600 0.32 1500 0.198 3000 0.058 192 297 174 663EX x= × + × + + × = + + = 2K ( )3 0A − , ( )3,0B AM BM M 1 9 − M C C ( )1,0T C P Q ( )0,0S x SP SQ S ( )2 2 1 39 x y x+ = ≠ ± ( )3,0S ± ( , )M x y , ( 3)3 3MA MB y yk k xx x = = ≠ ±+ − 1 9MA MBk k = − C l (1,0)T l 1x my= + 2 2 1 9 9 x my x y = +  + = x 2 2( 9) 2 8 0m y my+ + − = 1(P x 1)y 2(xQ 2 )y ( ),M x y ( )33MA yk xx = ≠ −+ ( )33MB yk xx = ≠− 1 9MA MBk k⋅ = − 1 3 3 9 y y x x ⋅ = −+ − 2 2 19 x y+ = 3x ≠ ± C ( )2 2 1 39 x y x+ = ≠ ±（2）由已知直线 过点 ，设 的方程为 ， 则联立方程组 ，消去 得 ， 设 ， ，则 又直线 与 斜率分别为 ， ， 则 。 当 时， ， ； 当 时， ， 。 所以存在定点 ，使得直线 与 斜率之积为定值。 【点睛】 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 21．已知函数 ， . （1）求 的单调区间； （2）若 在 上成立，求 的取值范围． 【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1） ，利用 ，解得 ，即可得出单调区间． （2）法一：由 得 ，即 ．令 ， l ( )1,0T l 1x my= + 2 2 1, 19 x my x y = + + = x ( )2 29 2 8 0m y my+ + − = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 1 2 2 2 ,9 8 .9 my y m y y m  + = − +  = − + SP SQ 1 1 1 0 1 01SP y yk x x my x = =− + − 2 2 2 0 2 01SQ y yk x x my x = =− + − ( )( ) ( ) ( ) 1 2 22 2 1 0 2 0 0 0 8 1 1 9 9 1SP SQ y yk k my x my x x m x −⋅ = =+ − + − − + − 0 3x = m R∀ ∈ ( )2 0 8 2 99 1SP SQk k x −⋅ = = − − 0 3x = − m R∀ ∈ ( )2 0 8 1 189 1SP SQk k x −⋅ = = − − ( )3,0S ± SP SQ ln( ) ( )x af x a Rx += ∈ 2( ) 2xg x e= − ( )f x ( ) ( )f x g x≤ (0, )+∞ a ( )f x 1(0, )ae − 1[ , )ae − +∞ ( ,1]−∞ 2 1 ln'( ) x af x x − −= '( ) 0f x = x ( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex + ≤ − 2( 2) lnxa x e x≤ − − 2( ) ( 2) lnxh x x e x= − −利用导数研究其单调性即可得出． 法二：由 得 ，即 ，令 ，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】 解：（1） ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 故 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）法一：由 得 ，即 ， 令 ， ， ， ， 在 单调递增， 又 ， ， 所以 有唯一的零点 ， 且当 时， ，即 ， 单调递减， 当 时， ，即 ， 单调递增， 所以 ， 又因为 所以 ， 所以 ， 的取值范围是 . 法二：由 得 ， 即 ， 令 ，因为 ， ， 所以 存在零点 ； ( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex + ≤ − 2 ln 22 ln (2 ln )x x xa xe x x e x x+≤ − − = − + ( ) 2 lnx x xϕ = + 2 1 ln'( ) x af x x − −= 10 ax e −< < '( ) 0f x > ( )f x 1 ax e −≥ '( ) 0f x ≤ ( )f x ( )f x 1(0, )ae − 1[ , )ae − +∞ ( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex + ≤ − 2( 2) lnxa x e x≤ − − 2( ) ( 2) lnxh x x e x= − − 2 21 2 1'( ) (2 1) (2 1)x xxh x x e x ex x +  = + − = + −   2 1( ) ( 0)xF x e xx = − > 2 2 1'( ) 2 0xF x e x = + > ( )F x (0, )+∞ 1 4 04F e  = −    ( )F x 0 1 1( , )4 2x ∈ 0(0, )x x∈ 3 — 4x x '( ) 0h x < ( )h x 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0F x > '( ) 0h x > ( )h x ( ) ( )02 min 0 0 0( ) 2 lnxh x h x x e x= = − − 0( ) 0F x = ( ) 00 0 0 02 0 1 12 ln 1 2 2 1xh x x x xx e    = − − = − + =      1a ≤ a ( ,1]−∞ ( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex + ≤ − 2 ln 22 ln (2 ln )x x xa xe x x e x x+≤ − − = − + ( ) 2 lnx x xϕ = + 1 2( ) 1 0e e ϕ = − < (1) 2 0ϕ = > ( )xϕ 1x令 ，则 ，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． 所以 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 ． 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能 力与计算能力． 22．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 ， 交点的直角坐标； （2）设点 的极坐标为 ，点 是曲线 上的点，求 面积的最大值. 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）结合 ，得到曲线的普通方程，计算交点坐标，即可。（2）结合三角形面积计算 公式， 结合三角函数性质，计算最值，即可。 【详解】 (Ⅰ) ， ，∴ ，∴ . 联立方程组得 ，解得 ， ， ∴所求交点的坐标为 ， . ( ) xG x e x= − '( ) 1xG x e= − ( , 0)x ∈ −∞ '( ) 0G x < ( )G x (0, )x∈ +∞ '( ) 0G x > ( )G x min( ) (0) 1G x G= = ( )1 1ln 2ln 2 1 1(2 ln ) 2 ln 1x xx xe x x e x x++ − + ≥ − + = a ( ,1]−∞ xOy 1C cos sin x y α α =  = α O x 2C 2cosρ θ= 1C 2C A (4, )3 π B 2C AOB∆ 1 3 2 2       ， 1 3 2 2  −    ， 2 3+ 22 2 , cosx y xρ ρ θ== + 2 2 1 : 1C x y+ = 2 : =2cosC ρ θ 2 =2 cosρ ρ θ 2 2 2x y x+ = 2 2 2 2 1 2 x y x y x  + =  + = 1 1 1 2 3 2 x y  =  = 2 2 1 2 3 2 x y  =  = − 1 3 2 2       ， 1 3 2 2  −    ，(Ⅱ)设 ，则 . ∴ 的面积 ∴当 时， . 【点睛】 本道题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通方程，考查了三角函数的性质，难 度中等。 23．已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围， 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式 的解集； （2）利用绝对值三角不等式求出 的最大值，得出关于 的不等式，求出解集即可． 【详解】 （1）当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ，则 ； 当 时， ，解得 ，则 . 综上，不等式 的解集为 ； （2） ， ( )B ρ θ， =2cosρ θ AOB∆ 1 1sin 4 sin 4cos sin2 2 3 3S OA OB AOB π πρ θ θ θ   = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ − = −       2cos 2 36 πθ = + +   23 12 πθ = max 2 3S = + ( ) 3 1 2 4f x x x= + − − ( ) 3f x > x∈R ( ) 22 8f x x t t− − ≤ − t 4( , 10) ,5  −∞ − +∞   ( ] [ ), 1 9,−∞ − +∞ ( ) 3f x > ( ) 2f x x− − t 1x < − ( ) 3( 1) (2 4) 3f x x x= − + + − > 10x < − 1 2x− ≤ ≤ ( ) 3( 1) (2 4) 3f x x x= + + − > 4 5x > 4 25 x< ≤ 2x > ( ) 3( 1) (2 4) 3f x x x= + − − > 4x > − 2x > ( ) 3f x > 4( , 10) ,5  −∞ − +∞   ( ) | 2 | 3| 1| | 2 4 | | 2 |f x x x x x− − = + − − − − 3| 1| 3| 2 |x x= + − − | 3 3| | 3 6 |x x= + − − | 3 3 (3 6) | 9x x≤ + − − =若对任意 ，不等式 恒成立， 则 ，解得 或 . 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题． x∈R 2( ) | 2 | 8f x x t t− − ≤ − 2 8 9t t− ≥ 1t ≤ − 9t ≥ t ( ] [ ), 1 9,−∞ − +∞