冲刺 2020 年高考数学全真模拟演练 09
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结
束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 ．
柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高．
锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 _____
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用并集、补集的运算即可．
【详解】
解：A∪B＝{0，1，3}；
∴ {2，4}．
故答案为{2，4}．
【点睛】
本题考查列举法的定义，以及并集、补集的运算．
1 2, , , nx x x… ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
{ }0,1,2,3,4U = { }0,3A = { }1,3B = ( )UC A B∪ =
{ }2,4
UC (A B}∪ =2．若命题 ，方程 恰有一解，则 ：_______.
【答案】 ，方程 无解或至少有两解.
【解析】
【分析】
先改变量词，将 变为 ；然后对恰有一解的否定：无解或至少有两解，最后结合起来即可得到 .
【详解】
因为 的否定为 ，
方程 恰有一解的否定为方程 无解或至少有两解，
所以 ，方程 无解或至少有两解，
故答案为： ，方程 无解或至少有两解.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，难度较易.具体的否定方法为：改变量词，否定结论.
3．已知复数 ，那么复数 的虚部是________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得 ，再求其虚部即可.
【详解】
因为 ，
故可得 ，
故其虚部为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查复数的运算法则，涉及复数虚部的辨识，属基础题.
4．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂
: ,p a b∀ ∈R 2 0ax b+ = p¬
,a b∃ ∈R 2 0ax b+ =
∀ ∃ p¬
,a b∀ ∈R ,a b∃ ∈R
2 0ax b+ = 2 0ax b+ =
:p¬ ,a b∃ ∈R 2 0ax b+ =
,a b∃ ∈R 2 0ax b+ =
1 2z i= − 1
z
2
5
1
z
1 2z i= −
( )( )
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 5 5
i iz i i i
+= = = +− − +
2
5
2
5生产的产品中共抽取 100 件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测
试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为 1 020 小时，980 小时，1 030 小时，估计
这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
【答案】50 1015
【解析】
试题分析：共抽取 100 件时第一分厂应抽取的件数为 ，第二分厂应抽取件数为
，第三分厂应抽取件数为 ．该产品的平均使用寿命为
．
考点：平均数问题，考查对数据的处理能力．
5．已知 ，若 ，则 等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系和象限角的符号，即可求得答案.
【详解】
， ，
又 ，
.
1020 50 980 20 1030 30 1015100
× + × + × =
,02
πθ ∈ −
3cos 2
θ = sinθ
1
2
−
3cos 2
θ =
2 2sin cos 1θ θ+ =
2 3 1sin 1 4 4
θ∴ = − =
,02
πθ ∈ −
1sin 2
θ∴ = −故答案为 .
【点睛】
本题考查同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.
6．在 中， .以 所在的直线为轴将 旋转一周，则旋转所得圆锥
的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
这个三角形是以角 B 为直角的三角形，BC 为较长的直角边，以 所在的直线为轴将 旋转一周，得
到一个高为 5 的圆锥，底面是半径为 3 的园面．故体积为 .
故答案为 ．
7．圆 M：x2+y2+2x﹣3＝0 与圆 N：x2+y2﹣2y＝0 的公共弦长为_______
【答案】
【解析】
【分析】
先求公共弦所在的直线方程，再由圆心到直线的距离和勾股定理，可得公共弦长。
【详解】
由题得，联立方程 ，得 ，将 化为标准方程为
，圆心为 半径为 1，圆心到直线 的距离 ，则弦长
为 .
故答案为：
【点睛】
这道题也可以求两个圆的交点坐标，再由两点间距离公式进行求解。
8．已知函数 f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为______．
【答案】
1
2
−
ABC∆ 3, 4,AB BC AB BC= = ⊥ BC ABC∆
15π
BC ABC∆
15π
15π
14
2
2 2
2 2
2 3 0
2 0
x y x
x y y
+ + − =
+ − =
2 2 3 0x y+ − = 2 2 2 0x y y+ − =
22 ( 1) 1yx + − = (0,1) 2 2 3 0x y+ − =
2 2
| 2 3| 2
42 2
d
−= =
+
2 22 142 1 ( )4 2
− =
14
2
( 1,0)−【解析】
【分析】
由于函数中含有对数，故先求出定义域，然后对 进行求导，在定义域范围内得出其单调区间，
再根据复合函数单调性“同增异减”可求得最后的单调性.
【详解】
由 ，解得 .而 ，故
在 上单调递减.由于 是定义域上的增函数，故函数在 上递减.
【点睛】
本小题主要考查复合函数的单调性，考查利用导数来求解函数单调区间的问题.注意到函数 的解析式
中含有对数函数，所以首先的第一步就是求得函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性.在求
导得到内部函数的单调性后，利用复合函数同增异减可求得函数的单调区间.
9．若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 则 ____．
【答案】
【解析】
分析：由题意，互不相等的实数 构成等差数列，设 ，
又由 成等比数列，求得 ，进而根据 ，即可求解.
详解：由题意，互不相等的实数 构成等差数列，
设 ，
又由 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，
所以三个数 分别为 ，
又因为 ，所以 ，所以实数 .
点睛：本题主要考查了等差数列和等比数列的应用，其中利用等差中项公式合理设出三个数，再利用等比
数列的性质进行准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，
属于中档试题.
10．现有五个人参与公司的应聘，若按照抽签顺序进入人力资源部面试，则甲、乙要么都在丙之前面试，
要么都在丙之后面试的情况有___________种．
【答案】80
【解析】
3 3y x x= −
( )3 23 3 0x x x x− = − > ( ) ( )3,0 3,x∈ − ∪ +∞ ( ) ( )( )'3 23 3 3 3 1 1x x x x x− = − = + −
3 3x x− ( )1,0− lny x= ( )1,0−
( )f x
, ,a b c , ,b a c 3 5,a b c+ + = a =
2−
, ,a b c , ,a m d b m c m d= − = = +
, ,b a c 3d m= 3 5a b c+ + =
, ,a b c
, ,a m d b m c m d= − = = +
, ,b a c a bc=2 2( ) ( )m d m m d− = + 3d m=
, ,a b c 2 , ,4m m m−
3 5a b c+ + = 2 3 4 5 1m m m m− + + = ⇒ = 2a = −若丙在第 1 位或第 5 位面试，则有 种；若丙在第 2 位或第 4 位面试，则有 种；若丙
在第 3 位面试，则有 种.综上所述，故有 种．
11．已知函数 是 上的递增函数,则实数 的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【详解】
依题意,函数是 上的递增函数，则 ，解得 ，故答案为 .
点睛：本题主要考查了一次函数，二次函数以及分段函数的单调性，基础性较强；要使分段函数在整个定
义域内单调递增，必须满足 左侧的一次函数单调递增，在 右侧的二次函数单调递增，更重要的
是左侧的最大值不大于右侧的最小值.
12．如图所示，第 个图形是由正 边形拓展而来（ ），则第 个图形共有________个顶
点．
【答案】 .
【解析】
【分析】
分析前四个图形，发现第 个图形每条边上会增加 个顶点，再根据第 个图形的边数，计算出第
个图形的顶点数，即可写出第 个图形的顶点数.
【详解】
第一个图有 个顶点；
4
42A 48= 2 2
3 22 24A A =
2 2
2 22A A 8= 48 24 8 80+ + =
( ) ( )
2 ,( 1)
4 2, 12
x mx x
f x m x x
− >
= − + ≤
R m
10m ≤ −
R
2
12
4 02
4 1 2 1 12
m
m
m m
≤
− >
− × + ≤ − ×
10m ≤ − 10m ≤ −
1x = 1x =
n 2n + 1,2,n = 2n −
2n n+
n ( )2+n n n
2n −
3 3 3 4 3+ × = ×第二个图有 个顶点；
第三个图有 个顶点；
第四个图有 个顶点；
第 个图有 个顶点.
第 个图形共有 个顶点.
故答案为： .
【点睛】
本题考查图形中的归纳推理，难度一般.图形中的归纳推理关键是通过已知的例子找到图形变化的规律，分
析出一般性规律，得到结果.
13．如图，在长方形 ABCD 中，M，N 分别为线段 BC，CD 的中点，若 ， ，
，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建
立坐标系，用坐标表示 ，即可求出 的值，进而得到答案．
【详解】
设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建
立如图所示坐标系，则 ， ， ， ， ， ，则
， ， ，
4 4 4 5 4+ × = ×
5 5 5 6 5+ × = ×
6 6 6 7 6+ × = ×
......
n ( )( )3 2n n+ +
2n − ( ) 21n n n n+ = +
2n n+
1 2MN λ AM λ BN= +
1λ
2λ R∈ 1 2λ λ+
2
5
AB a= ( )0 0AD b a b= ≠ ≠， A AB x AD y
1 2+MN AM BNλ λ=
1 2
λ λ、
AB a= ( )0 0AD b a b= ≠ ≠， A AB x AD y
( )0 0A ， ( )0B a， ( )C a b， ( )0D b， 1
2M a b
， 1
2N a b，
1 1
2 2MN a b ， = −
1
2AM a b =
， 1
2BN a b = −
，即 ，
则 即 ，解得 ， ，则 .
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中
档题．
14．已知函数 且 在 上单调递增，且关于 的方程
恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知 在两段上均为增函数，且 在 上的最小值大于或等于 ，作出 和
的图象，根据交点个数判断 与 3 的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组
解出．
【详解】
是 上的单调递增函数，
在 ， 上单调递增，
1 2
1 1 1 1
2 2 2 2a b a b a bλ λ − = + − ， ， ，
1 2
1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
a a a
b b b
λ λ
λ λ
− = −
= +
1 2
1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
λ λ
λ λ
− = −
= +
1
1
5
λ = − 2
3
5
λ = 1 2
2
5
λ λ+ =
2 4 , 0( ) ( 01 log 1 , 0a
x a xf x ax x
+ >= > + − ≤
1)a ≠ R x
( ) 3f x x= + a
1 3 13,4 4 16
( )f x ( )f x (0, )+∞ (0)f | ( ) |f x
3y x= + 4a
( )f x R
1 log 1ay x∴ = + − (−∞ 0]可得 ，
且 ，即 ，
作出 和 的函数草图如图所示：
由图象可知 在 上有且只有一解，
可得 ，或 ，即有△ ，
即有 或 ；
由 ，解得 ，即 时，有且只有一解．
则 的范围是 ， ．
故答案为 ， ．
【点睛】
本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档
题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
15．如图， 中， 是边长为 1 的正方形，平面 底面 ，若
分别是 的中点．
0 1a< <
0 4 1 0a+ +
1 14 a 0,所以퐾在(0,25
2 )上单调递增, 从而当ℎ = 25
2 时,퐾取最大值, 即当门面高퐴퐷为
12.5米时, 可使得“美观系数”퐾最大.
考点：导数在实际问题中的应用．
【名师点睛】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式 y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数 y＝f(x)的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0 得出定义域内的实根，确定极值点；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；
(4)还原到实际问题中作答．
19．已知函数 , ,曲线 与 在点 处有相同的切
线.
（1）求 、 的值;
（2）求函数 的极值;
（3）证明: .
( ) ( )1xf x e a e x= + − ( ) lng x x x b= + ( )y f x= ( )y g x= 1x =
a b
( )g x
( ) ( )f x g x≥【答案】（1） , ．（2） （3）答案见解析
【解析】
【分析】
（1） , ,因为曲线 与 在点 处有相同的切线,
, ,即可求得答案;
（2）因为 ,可得 ,根据极值定义,即可求得答案;
（3） , 由 ,得 ,因为 ,
所以原问题即证: ,即可求得答案.
【详解】
（1） , ,
曲线 与 在点 处有相同的切线．
, ,
即
, ．
（2） 由（1）
当 ;
当 ,
当 ,
故 在 处取得极小值,
极小值为:
（3） , .
1a = 1b = 11 e−−
( ) ( )1xf x e a e= + −′ ( ) ln 1g x x′ = + ( )y f x= ( )y g x= 1x =
( ) ( )1 1f g= ( ) ( )1 1f g′ ′=
( ) ln 1g x x x= + ( ) ln 1,( 0)g x x x+ >′ =
( ) ( )1xf x e e x= + − ( ) ln 1g x x x= + ( ) ( )f x g x≥ ( )1 ln 1 0xe e x x x+ − − − ≥ 0x >
( )1ln 1 0
xe x ex x
− − + − ≥
( ) ( )1xf x e a e= + −′ ( ) ln 1g x x′ = +
( )y f x= ( )y g x= 1x =
∴ ( ) ( )1 1f g= ( ) ( )1 1f g′ ′=
( )
( )
1
1 1
e a e b
e a e
+ − = + − =
∴ 1a = 1b =
1b =
∴ ( ) ln 1g x x x= +
( ) ln 1,( 0)g x x x+ >′ =
∴ 10 ,x e−< < ( ) 0g x ′ <
1x e−= ( ) 0g x′ =
1x e−> ( ) 0g x ′ >
( )g x 1x e−=
( )1 1 1 1ln 1 1g e e e e− − − −= + = −
( ) ( )1xf x e e x= + − ( ) ln 1g x x x= +由 ,得 ．
,
原问题即证: ．
令 ,
,
当 时, ,
当 时, ．
的单调递减区间为 ,单调递减区间为 ．
,
．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单
调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.
20．已知数列 中， ， ， ．数列 的前 n 项和为 ，满足
， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由；
（3）若数列 是各项均为正整数的递增数列，设 ，则当 ， ，
和 ， ， 均成等差数列时，求正整数 ， ， 的值．
【答案】（1） ， ． （2） ，或 ．
（3）存在 ， ， 或 ， ， 满足条件．
【解析】
试题分析：
( ) ( )f x g x≥ ( )1 ln 1 0xe e x x x+ − − − ≥
0x >
∴ ( )1ln 1 0
xe x ex x
− − + − ≥
( ) ( )1ln 1
xeh x x ex x
= − − + −
∴ ( ) ( )( )1 1xe x
h x x
− −
′ =
( )0,1x∈ ( ) 0h x′ <
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ >
∴ ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )1 0h x h≥ =
∴ ( ) ( )f x g x≥
{ }na 1 5a = − 1 2 8n na a+ = + n ∗∈N { }nb nS
2 2
1 4 25n n nb b S++ = + n ∗∈N
{ }na
{ }nb
{ }nb n n nc a b= + rc sc tc
4r s t ( )r s t< < r s t
13 2 8n
na −= ⋅ − n ∗∈N 4nb n= − +3nb n=
1r = 5s = 6t = 2r = 9s = 10t =(1)利用递推公式构造新数列 为等比数列可求得数列的通项公式为 .
(2)假设数列可以是等差数列，分类讨论可得 ，或 .
(3)由题意讨论 r,s,t 的关系，构造函数 ，
结合函数的性质讨论可得存在 ， ， 或 ， ， 满足条件．
试题解析：
（1）由 ，得 ，
又 ，所以 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，
则 ，故 ， ．
（2）由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ．①
若 是等差数列，设公差为 ，则 ，
因为 ，所以 ．
又 ，即 ，
解得 ，或 ．
当 时， ，满足条件 ；
当 时， ，也满足条件 ．
故 ，或 ．
（3）由 是各项均为正整数的递增数列，得 ②，
故 ， ，
故由①式可得 ，所以 ．
又由①式可知 是偶数，所以 ．
代入①式得 ，所以 是等差数列．
由（2）知， ，
{ }8na + 13 2 8n
na −= × −
4nb n= − +3nb n=
( ) ( )12 2xg x x x−= − ≥
1r = 5s = 6t = 2r = 9s = 10t =
1 2 8n na a+ = + ( )1 8 2 8n na a+ + = +
1 5a = − { 8}na +
18 3 2n
na −+ = ⋅ 13 2 8n
na −= ⋅ − *n N∈
2 2
1 4 +25n n nb b S++ = 2 2
+1 2 +14 +25n n nb b S++ =
2 2
1 24 n n nb b b+ += − ( )( )1 2 24 n n n n nb b b b b+ + += + −
{ }nb d 1 14 4n nb db+ +=
1 0nb + ≠ 1d =
2 2
1 2 14 +25b b S+ = 2 2
1 1 1+1 4 +25b b b（ ）+ =
1 3b = − 1 4b =
1 3b = − 4nb n= − 2 2
1 4 +25n n nb b S++ =
1 4b = 3nb n= + 2 2
1 4 +25n n nb b S++ =
4nb n= − +3nb n=
{ }nb 1 2n n nb b b+ +< <
2 1n n nb b b+ ++ > 2 2n nb b+ − ≥
( )1 1 24 n n n nb b b b+ + +> − 22 4n nb b+≤ − <
2n nb b+ − 2 2n nb b+ − =
2 12n n nb b b+ ++ = { }nb
3nb n= +所以 ．
若 ，由正整数 ，知 ， ．
当 时，
．
因此要 式成立，只能有 ．
由 式得 ，
即 ．
又 ， ，所以 ，
显然 是方程的解．
当 时，设函数 ，
则 ，
故 在 上是增函数，所以方程 仅有两解 ．
因此，存在 ， ， 或 ， ， 满足条件．
数学Ⅱ（附加题）
（考试时间：30 分钟 试卷满分：40 分）
注意事项：
1．本试卷均为非选择题（第 21 题~第 23 题）。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定
位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无
效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则
按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修 4-2：矩阵与变换]
13 2 5n
n n nc a b n−= + = ⋅ + −
2r t sc c c+ = ( )* , , ( )r s t r s t< < 1t s≥ + 2s ≥
2t s≥ +
( )1 1
22 2 3 2 3 2 3 2 5s s
t s s sc c c c s s+ −
+− ≥ − = ⋅ + − − ⋅ + − 3 2 7 0s s= ⋅ − + >
( )* 1t s= +
( )* ( )1 13 2 5 3 2 4 2 3 2 5r s sr s s− −⋅ + − + ⋅ + − = ⋅ + −
13 2 1r s r−⋅ = − −
4 2r t s+ = 1t s= + 12r r− =
1,2r =
2r ≥ ( ) ( )12 2xg x x x−= − ≥
( ) 1 2 ln2 1 2ln2 1 02
xg x = ⋅ ⋅ − ≥ − >′
( )g x [ )2,+∞ 12r r− = 1,2r =
1r = 5s = 6t = 2r = 9s = 10t =若二阶矩阵 满足 ， .
求曲线 在矩阵 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.
【答案】 .
【解析】
试题分析：求出 ，利用变换的公式求出变换矩阵 ，然后求出曲线方程
解析：记矩阵 ，则行列式 ，
故 ，所以 ，
即矩阵 .
设曲线 上任意一点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 .
所以 ，
所以 ，所以 ，
又点 在曲线 上，代入整理得 ，
由点 的任意性可知，所求曲线的方程为 .
B.[选修 4-4：极坐标与参数方程]
在极坐标系표푥中，푃为曲线퐶1:휌 = 2cos휃上的任意一点，点푄在射线푂푃上，且满足|푂푃| ⋅ |푂푄| = 6，记푄点的
M
12 2
2 1
−
−
3 0
4 1M
− = −
2 24 4 12 12 0x xy y x y+ + − + = M
22 3 0x y+ =
1A−
11 2
2 2
M
= −
12 2
2 1
A
− = −
( ) ( ) 12 1 2 1 02
∆ = − × − − × = ≠
1
11 2
2 2
A−
− − = − −
1
13 0 1 24 1 2 2
M A−
− − − = = − − −
13 0 1 24 1 2 2
− = − −
11 2
2 2
M
= −
2 24 4 12 12 0x xy y x y+ + − + = ( ),P x y M ( )' ', 'P x y
1 1' 1 2 2' 2 2 2 2
x x x y
y y x y
+ = = − − +
1' 2
' 2 2
x x y
y x y
= +
= − +
4 ' '
6
2 ' '
3
x yx
x yy
− = + =
( ),P x y 2 24 4 12 12 0x xy y x y+ + − + = 22 ' 3 ' 0x y+ =
( ),P x y 22 3 0x y+ =轨迹为퐶2．
（1）求曲线퐶 2的直角坐标方程；
（2）设直线푙:휃 = 휋
3分别交퐶1与퐶2交于퐴、퐵两点，求|퐴퐵|．
【答案】（1）푥 = 3；（2）|퐴퐵| = 5.
【解析】
试题分析：（1）设푄(휌,휃),푃(휌1,휃),根据|푂푃|·|푂푄| = 6可得휌,휌1的关系式. 由푃(휌1,휃)在曲线퐶1:휌 = 2cos휃上,根
据代入法可得曲线퐶 2的极坐标方程,从而可得曲线퐶 2的直角坐标方程. （2）将直线푙分别与曲线퐶1,퐶2的极坐
标方程联立,从而可得퐴、퐵两点的极坐标.根据휌的意义即可求得|퐴퐵|的距离.
试题解析：（1）设푄(휌,휃),푃(휌1,휃),
∴ |푂푃||푂푄| = 휌휌1 = 6, ∴ 휌1 = 6
휌,
∵ 푃(휌1,휃)在曲线퐶1:휌 = 2cos휃上, ∴ 휌1 = 2cos휃, ∴ 6
휌 = 2cos휃,即휌cos휃 = 3.
∴ 퐶2的极坐标方程为휌cos휃 = 3, ∴ 퐶2的直角坐标方程为푥 = 3.
（2）{ 휃 = 휋
3
휌 = 2cos휃 ⇒퐴(1,휋
3),
{ 휃 = 휋
3
휌cos휃 = 3 ⇒퐵(6,휋
3),
∴ |퐴퐵| = 6 ― 1 = 5.
考点：1 代入法求轨迹;2 直角坐标和极坐标间的互化.
C.[选修4-5：不等式选讲]
已知 ，求证：
（1） ；
（2） 与 至少有一个大于 .
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
分析：（1）分析法证明，要证 ，只需证 .继续往下
推理即可（2）反证法：假设 且 ，则 ，借助基本不等式找出矛盾即可.
详解：
0a b> >
1 1
1 1a b a b
>
+ + + +
1a b
+ 1b a
+ 2
1 1
1 1a b a b
>
+ + + + 1 1a b a b+ + > + +
1 2a b
+ ≤ 1 2b a
+ ≤ 1 1 4a bb a
+ + + ≤证明：（1）因为 ，所以 和 都是正数，
所以要证 ，只需证 .只需证
，只需证 ，只需证 ，只需证
.
因为 成立，所以 .
（2）证法一：假设 且 ，则
又因为 ，所以 ，这与
矛盾.
所以 与 至少有一个大于 .
证法二：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
而 与 的大小关系不确定，所以 与 至少有一个大于 .
点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
22.如图，三棱柱 的棱长均为 2，O 为 AC 的中点，平面 A'OB⊥平面 ABC，平面 ⊥
平面 ABC．
（1）求证：A'O⊥平面 ABC；
0a b> > 1 a b+ + 1a b+ +
1 1
1 1a b a b
>
+ + + + 1 1a b a b+ + > + +
( ) ( )2 2
1 1a b a b+ + > + + ( ) ( )1 1a b a b+ > + ( ) ( )1 1a b a b+ > +
a b>
a b> 1 1
1 1a b a b
>
+ + + +
1 2a b
+ ≤ 1 2b a
+ ≤ 1 1 4a bb a
+ + + ≤
0a b> > 1 1 1 1 1 12 2 4a b a b a bb a a b a b
+ + + = + + + > ⋅ + ⋅ =
1 1 4a bb a
+ + + ≤
1a b
+ 1b a
+ 2
0a b> > 1 1
a b
<
1 1 12 2a a ab a a
+ > + ≥ ⋅ =
1 2a b
+ >
1b a
+ 2 1a b
+ 1b a
+ 2
ABC A B C− ′ ′ ′ AA C C′ ′（2）求二面角 A﹣BC﹣C'的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得 AC⊥BO，平面 A'OB⊥平面 ABC，可证 AC⊥平面 BOA′，进而证明 AC⊥A′O，再由面
⊥平面 ABC.，即可证明结论；
（2）以 O 为原点建立空间直角坐标系，求出 坐标，求出平面 法向量坐标，取平面 ABC 的法
向量为 （0，0，1），根据空间向量面面角公式，即可求解.
【详解】
（1）证明：∵三棱柱 ABC﹣A'B'C'的棱长均为 2，
O 为 AC 的中点，∴AC⊥BO，
∵平面 A'OB⊥平面 ABC，平面 A'OB∩平面 ABC＝OB，
平面 ABC，∴AC⊥平面 BOA′，
平面 BOA′，∴AC⊥A′O，
∵平面 AA'C'C⊥平面 ABC，平面 AA'C'C∩平面 ABC＝AC.
平面 ，∴A'O⊥平面 ABC.
（2）解：由（1）得 A'O⊥平面 ABC，因为 平面 ABC，所以 A'O⊥ .
以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OA′为 z 轴，
建立空间直角坐标系，则 A（0，﹣1，0），B（ ，0，0），
C（0，1，0），C′（0，2， ），
（ ，1，0）， （ ，2， ），
设平面 BCC′的法向量 （x，y，z），
则 ，
取 x＝1，则 ，得 （1， ，﹣1），
平面 ABC 的法向量 （0，0，1），
5
5
−
AA C C′ ′
, ,B C C′ BCC′
m =
AC ⊂
AO′ ⊂
AO′ ⊂ AA C C′ ′
BO ⊂ BO
3
3
BC = 3− BC′ = 3− 3
n =
3 0
3 2 3 0
n BC x y
n BC x y z
⋅ = − + =
⋅ = − + ′ + =
3, 1y z= = − n = 3
m =.
∴二面角 A﹣BC﹣C'的余弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直证明、二面角的余弦，注意空间垂直之间的相互转化，考查数学计算能力，属于中档题.
23.已知集合 ,设 整除 或 整除 ,
令 表示集合 所含元素的个数．
（1）写出 的值;
（2）当 时,写出 的表达式,并用数学归纳法证明.
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意按 分类计数: 即可求得答案;
（2）由（1）知 ,所以当
时, 的表达式要按 除的余数进行分类,最利用数学归纳法进行证明,即可求得答案.
【详解】
（1） 整除 或 整除 ,
故
1 5cos , 55
m nm n
m n
⋅∴ < >= = − = −
⋅
5
5
−
( )*{1,2,3}, {1,2,3, , }nX Y n n N= = … ∈ {( , ) |nS a b a= b b }, , na a X b Y∈ ∈
( )f n nS
( )6f
6n ≥ ( )f n
13
a 1, 1,2,3,4,5,6;a b= = 2, 1,2,4,6;a b= = 3, 1,3,6;a b= =
1, 1,2,3, , ;a b n= = 2, 1,2,4, ,2 ;a b k= = *3, 1,3, ,3 ;( )a b k k N= = ∈ 6n ≥
( )f n 2 3 6× =
{( , ) |nS a b a= b b }, , na a X b Y∈ ∈
∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 ,S ＝
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,1 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,1 , 3,3 , 3,6 },
( )6 13.f ＝（2） 当 时,
,
下面用数学归纳法证明:
①当 时, ,结论成立;
②假设 ( )时结论成立,那么 时, 在 的基础上新增加的元素在 , ,
中产生,分以下情形讨论:
1）若 ,则 ,
此时有
,结论成立;
2）若 ,则 ,此时有
,结论成立;
3）若 ,则 ,此时有
,结论成立;
4）若 ,则 ,此时有
,结论成立;
6n ≥
2 , 62 3
1 12 , 6 12 3
22 , 6 22 3( ) 12 , 6 32 3
12 , 6 42 3
1 22 , 6 52 3
n nn n t
n nn n t
n nn n t
f n n nn n t
n nn n t
n nn n t
+ + + =
− − + + + = +
− + + + = += − + + + = +
− + + + = +
− −+ + + = +
*( )t N∈ ．
6n = ( ) 6 66 6 2 132 3f = + + + =
n k= 6k ≥ 1n k= + 1kS + kS ( )1, 1k + ( )2, 1k +
( )3, 1k +
1 6k t+ = ( )6 1 5k t= − +
( ) ( ) 1 21 3 2 32 3
k kf k f k k
− −+ = + = + + + +
( ) 1 11 2 2 3
k kk
+ += + + + +
1 6 1k t+ = + 6k t= ( ) ( )1 1 2 12 3
k kf k f k k+ = + = + + + +
( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 2 3
k kk
+ − + −= + + + +
1 6 2k t+ = + 6 1k t= + 1 1( 1) ( ) 2 2 22 3
k kf k f k k
− −+ = + = + + + +
( ) ( )1 211 2 2 3
kkk
+ −+= + + + +
1 6 3k t+ = + 6 2k t= + ( ) ( ) 21 2 2 22 3
k kf k f k k
−+ = + = + + + +
( ) ( )1 1 11 2 2 3
k kk
+ − += + + + +5）若 ,则 ,此时有
,结论成立;
6）若 ,则 ,此时有
,结论成立．
综上所述,结论对满足 的自然数 均成立．
【点睛】
本题考查了计数原理和数学归纳法,解题关键是掌握数学归纳法证明的一般步骤和计算原理的基础知识,考
查了分析能力和计算能力,属于难题.
1 6 4k t+ = + 6 3k t= + ( ) ( ) 11 2 2 22 3
k kf k f k k
−+ = + = + + + +
( ) ( )1 111 2 2 3
kkk
+ −+= + + + +
1 6 5k t+ = + 6 4k t= + ( ) ( ) 11 1 2 12 3
k kf k f k k
−+ = + = + + + +
( ) ( ) ( )1 1 1 21 2 2 3
k kk
+ − + −= + + + +
6n ≥ n
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