冲刺 2020 年高考数学全真模拟演练 10
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结
束后,请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:
样本数据 的方差 ,其中 .
柱体的体积 ,其中 是柱体的底面积, 是柱体的高.
锥体的体积 ,其中 是锥体的底面积, 是锥体的高.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.如图,若集合 , ,则图中阴影部分表示的集合为__________(用列举
法表示).
【答案】
【解析】
【分析】
根据韦恩图得图象阴影部分对应的集合为 ,先求出 ,再求 ,可得解.
【详解】图象阴影部分对应的集合为 ,
因为 ,故 ,
1 2, , , nx x x… ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
{ }1,2,3,4,5A = { }2,4,6,8,10B =
{ }6,8,10
C ( )B A B∩ A B C ( )B A B∩
C ( )B A B∩
{2,4}A B = { }C ( ) 6,8,10B A B∩ =故填: .
【点睛】
本题主要考查根据韦恩图进行集合的交、补运算,属于基础题.
2.已知 是虚数单位,则复数 的实部为______.
【答案】0
【解析】 实部为 0
点睛:本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,
要切实掌握其运算技巧和常规思路,如 . 其次
要熟悉复数相关基本概念,如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应
点为 、共轭为
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件,为检验产品的质量,
现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
【答案】18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取 件,故答案为 18.
点睛:在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体
数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比,即 ni∶Ni=n∶N.
4.函数 的定义域是__________.
【答案】
【解析】
分析:根据函数的解析式,列出解析式成立的条件,即可求得函数的定义域.
详解:由题意函数 满足条件: ,即
根据三角函数的图象与性质,可得 ,解得 ,
所以函数的定义域为 .
点睛:本题主要考查了函数的定义域的求解,根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键,着重考查
{ }6,8,10
i 1
1
i
i
+
−
1 i i1 i
+ = ∴−
( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R
( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+
( , )a b .−a bi
30060 181000
× =
sin 1y x= −
2 ,2x x k k Z
ππ = + ∈
sin 1y x= − sin 1 0x − ≥ sin 1x≥
sin 1x = 2 ,2x k k Z
ππ= + ∈
{ | 2 , }2x x k k Z
ππ= + ∈了推理与运算能力.
5.直线 与圆 相交于 两点,则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式可得:圆心到直线 的距离 ,即可得出弦长 .
【详解】
由圆 ,可得圆心 ,半径 ,
圆心到直线 的距离 ,
弦长 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线与圆相交求弦长,在圆中求弦长采用几何法,同时考查了点到直线的距离公式,属于基础
题.
6.已知数列 是公比为 2 的等比数列,且 成等差数列,则数列 的前 5 项和
______.
【答案】31
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质结合等比数列通项公式,求得 ,再利用等比数列的前 项和公式,即可得答案.
【详解】
由题意可得 ,即 ,
∴ ,解得 .
所以 .
1 0x y− − = ( ) ( )2 21 2 4x y− + − = A B, AB =
2 2
1 0x y− − = d AB
( ) ( )2 21 2 4x y− + − = ( )1,2 2r =
∴ 1 0x y− − = 1 2 1 2
2
d
− −= =
∴ 2 4 2 2 2AB = − =
2 2
{ }na 3 4 5, 2,+a a a { }na 5S =
1a n
( )4 3 52 2a a a+ = + ( )3 2 4
1 1 12 2 2 2 2a a a+ =⋅ ⋅ ⋅+
( )1 1 12 8 2 4 16a a a+ = + 1 1a =
5
5
1 2 311 2S
−= =−故答案为: .
【点睛】
本题考查等差中项的性质、等比数列通项公式、等比数列的前 项和,考查函数与方程思想,考查逻辑推理
能力和运算求解能力,属于基础题.
7.我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”.则 1,2,3,4 四个数组成的两位数中,“和谐两位
数”有______个.
【答案】6
【解析】当十位数取 4 时,个位可以是 1,2,3;共三种情况
当十位数取 3 时,个位可以是 1,2,;共两种情况
当十位数取 2 时,个位可以是 1;共一种情况
当十位数取 1 时,个位不存在,
所以“和谐两位数”有 6 个.
8.函数 的单调递增区间是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的定义域,以及导函数,根据导函数的正负确定原函数的单调性,即可写出单调增区间.
【详解】
因为 ,则其定义域为 ,
,令 ,
即可得 ,解得 ,
结合函数定义域可知,函数 的单调增区间为 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查利用导数求解函数单调性,属基础题;本题的易错点是没有注意到函数的定义域.
9.已知双曲线푥2
푎2 ― 푦2
푏2 = 1(푎 > 0 , 푏 > 0)的左、右焦点分别为퐹1 , 퐹2,以퐹1퐹2为直径的圆与双曲线在第一
象限的交点为푃.若∠푃퐹1퐹2 = 30∘,则该双曲线的离心率为 .
31
n
( ) lnxf x x
=
( )0,e
( ) lnxf x x
= ( )0,+∞
( ) 2
1 lnxf x x
−′ = ( ) 0f x′ >
1 0lnx− > x e<
( )f x ( )0,e
( )0,e【答案】 3 +1
【解析】
试题分析:由题知点퐹1 , 퐹2,푃在以퐹1퐹2为直径的圆上,则∠퐹1푃퐹2 = 90∘而∠푃퐹1퐹2 = 30∘,故|푃퐹1 | = 3푐,
| 푃퐹2| = 푐,由双曲线的定义可得|푃퐹1 | ― | 푃퐹2| = 3푐 ― 푐 = 2푎, ∴ 푒 = 푐
푎 = 2
3 ― 1 = 3 +1
考点:双曲线的定义,离心率
10.我国古代数学名著《増删算法统宗》有如下问题:有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六
两,试问金球几许金?”意是:有一个空心金球,它的直径 12 寸,球壁厚 0.3 寸,1 立方寸金重 1 斤,试问
金球重是_____斤.(注:π≈3,结果两位小数)
【答案】123.23
【解析】
【分析】
根据题给信息将实际问题转化为数学问题,代入相应体积公式即可求解.
【详解】
解:空心金球体积可用大体积减小体积,设大半径为 R,小半径为 r,
则 R=6,r=5.7,
所以空心金球体积为 ,
因为 1 立方寸金重 1 斤,所以金球重 123.23 斤.
故答案为:123.23.
【点睛】
本题考查球的体积,考查空心球的问题,考查实际问题的审题能力,属于基础题.
11.已知 是 与 的等差中项,则 的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质得到 ,原式可化为 进而得到结
果.
【详解】
( )3 34 4 (216 185.193) 123.228 123.233V R rπ= − = × − = ≈
2
b 4a 4 1 216
b
a
+
8
4 4b a= + 1 11 1 12 16 2 16 8.16 16 16
b a a
a a a
+ ++ ≥ × ==+是 与 的等差中项,故得到
等号成立的条件是
故答案为:8.
【点睛】
本题考查了二元化一元的思想,以及均值不等式的应用,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、
凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
12.在 中, ,点 在 上, , ,则 __________.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据平面向量的运算法则和平面向量的数量积的计算公式,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,根据向量的运算法则,
可得 ,
所以 .
【点睛】
本题主要考查了平面向量的运算法则,以及平面向量的数量积的运算,其中解答中正确利用向量的运算法
则,以及熟记平面向量的数量积的运算公式是解答本题的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础
题.
13.函数 y=sin xcos x+ 的图象相邻的两条对称之间的距离是___
【答案】
【解析】
【分析】
2
b 4a 4 2 4 4 4 42
b a b a× = + ⇒ = +
1 11 1 12 16 2 16 8.16 16 16
b a a
a a a
+ ++ ≥ × ==+
11 116 .16 2
a
a a+= ⇒ = −
ABC∆ 90C = ° D AB 3AD DB= 4CB = CB CD⋅ =
3
4CD CA AD CA AB= + = + = 3 1 3( )4 4 4CA AC CB CA CB+ + = +
1 3( )4 4CB CD CB CA CB⋅ = ⋅ + = 2 21 3 30 4 124 4 4CB CA CB⋅ + = + × =
23 cos 3x −
2
π首先利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式: ,然后,求解周期,利用对称轴之间的
距离与周期之间的关系求解.
【详解】
函数
,
,
,
周期 ,
它的图象相邻的两条对称之间的距离恰为 .
故答案为 .
【点睛】
本题重点考查了三角恒等变换公式的灵活运用、三角函数的图象与性质等知识,属于中档题. 三角函数的性
质由函数的解析式确定,在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键,在函数解析式较
为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式,然后利用正弦(余
弦)函数的性质求解.
14.已知函数 , ,若对于任意的 ,都有
成立,则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
( ) sin 2 3f x x
π = +
∴ 2sin cos 3 cos 3y x x x= + −
1 1 cos2sin 2 3 32 2
xx
+= + ⋅ −
1 3sin 2 cos22 2x x= +
sin 2 3x
π = +
( ) sin 2 3f x x
π ∴ = +
∴ T π=
2 2
T π=
2
π
( ) lnaf x x xx
= + 3 2( ) 5g x x x= − − 1 2
1, ,22x x ∈
( ) ( )1 2 2f x g x− ≥ a
[ )1,+∞根据不等式恒成立,利用参数分类法进行转化为 在 上恒成立,构造函数
,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值,即可求得答案.
【详解】
,
函数 在 上递减,则 上递增,
若对于任意的 ,都有 成立
即 在 上恒成立
即 恒成立
即 ,即在 恒成立
令 ,
则
当在 时,
即 在 上单调递减
由于
当 时,
当 时, ,
,
.
2 lna x x x≥ − 1 ,22
2( ) lnh x x x x= −
3 2( ) 5g x x x= − −
∴ 2( ) 3 2 (3 2)g x x x x x′ = − = −
∴ ( )g x 1 2,2 3
2 ,23
1 1 1 415 , (2) 8 4 5 12 8 4 8g g = − − = − = − − = −
1 2
1, ,22x x ∈
( ) ( )1 2 2f x g x− ≥
1 22 x≤ ≤ ( ) 1f x ≥
ln 1a x xx
+ ≥
2 lna x x x≥ − 1 22 x≤ ≤
2( ) lnh x x x x= −
( ) 1 2 lnh x x x x′ = − −
( ) 3 2lnh x x′′ = − −
1 22 x≤ ≤ ( ) 3 2ln 0h x x′′ = − − <
( ) 1 2 lnh x x x x′ = − − 1 22 x≤ ≤
(1) 0h′ =
∴ 1 12 x≤ ≤ ( ) 0h x′ >
1 2x≤ ≤ ( ) 0h x′ <
∴ ( ) ( )1 1h x h≤ =
∴ 1a ≥故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了根据不等式在某区间上恒成立求参数范围,解题关键是掌握将不等式恒成立问题转化为求函
数的最值问题,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 a•cosB+b•cosA=2c•cosB.
(1)若 a=3, ,求 c 的值;
(2)若 ,求 fA.的取值范围.
【答案】(1)c=1 或 c=2;(2) .
【解析】
【分析】
(1)已知条件由正弦定理化边为角后,由两角和的正弦公式和诱导公式求得 主,再由余弦定理求得
;
(2)由(1)可得 的范围,再把 应用二倍角公式和两角和的正弦公式化为一个角一个三角函数形式,
然后根据正弦函数性质得结论.
【详解】
(1)∵a•cosB+b•cosA=2c•cosB,
∴根据正弦定理得,sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB,
∴sin(A+B)=2sinCcosB,
∴sinC=2sinCcosB,
∵sinC≠0,
故 cosB ,
∵a=3, ,
由余弦定理可得, ,
[ )1,+∞
7b =
( ) ( )3f A sinA cosA sinA= −
3 1
2 2
− ,
cosC
c
A (A)f
1
2
=
7b =
2 2 2 21 9 7
2 2 6
a c b c
ac c
+ − + −= =∴c=1 或 c=2;
(2)∵
,
=sin(2A ) ,
由(1)知,B ,∴ ,∴ ,
∴ , ,
∴ 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理,考查两角和的正弦公式和诱导公式等,利用二倍角公式、两角和与差的正
弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式是解决三角函数性质问题的常用方法.
16.三棱柱 中, 平面 , 是边长为 的等边三角形, 为 边中点,
且 .
( )求证:平面 平面 .
( )求证: 平面 .
( )求三棱锥 的体积.
( ) ( )3f A sinA cosA sinA= −
23sinAcosA sin A= −
3 1 222 2
cos Asin A
−= −
6
π+ 1
2
−
3
π= 20 3A
π< < 326 6 2A
π π π< + <
1 2 16sin A
π − < + ≤
( )3 1
2 2f A− < ≤
(A)f 3 1
2 2
− ,
1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC ABC△ 2 D AB
1 2CC AB=
1 1C CD ⊥ ABC
2 1AC ∥ 1CDB
3 1D CBB−【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析】
试题分析:1)由直三棱柱的定义证明 平面 ,再由面面垂直的判定定理可证平面 平面
.
(2)连结 交 于点 ,连结 ,由三角形中位线的性质得 从而证明 平面
.
(3)等体积法, , 为三棱锥 的高, 是直角三角形,面积可求,故体
积可求.
试题解析:( )证明:∵ 平面 , 平面 ,
∴平面 平面 .
( )证明:连结 交 于点 ,连结 ,则 是 的中点,
∵在 中, 是 中点, 是 中点,
∴ ,
又 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
( ) ,
, ,
2 3
3
1CC ⊥ ABC 1C CD ⊥
ABC
1BC 1B C O OD 1AC OD 1AC
1CDB
1 1D CBB B BCDV V− −= 1BB 1D CBB− BCDS
1 1CC ⊥ ABC 1CC ⊂ 1C CD
1C CD ⊥ ABC
2 1BC 1B C O OD O 1BC
1ABC O 1BC D AB
1AC OD
1AC ⊄ 1CDB OD ⊂ 1CDB
1AC 1CDB
3 1 1D CBB B BCDV V− −=
1 31 32 2BCDS = × × =
1 1 2 4BB CC AB= = =故 .
【点睛】本题考查面面垂直的判定、线面平行的判定,其中利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.
17.市政府招商引资,为吸引外商,决定第一个月产品免税,某外资厂该第一个月 A 型产品出厂价为每件 10
元,月销售量为 6 万件;第二个月,当地政府开始对该商品征收税率为 ,即销售 1 元要
征收 元)的税收,于是该产品的出厂价就上升到每件 元,预计月销售量将减少 p 万件.
(1)将第二个月政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二个月该厂的税收不少于 1 万元,则 p 的范围是多少?
(3)在第(2)问的前提下,要让厂家本月获得最大销售金额,则 p 应为多少?
【答案】(1) .定义域为 .(2) (3)
【解析】
【分析】
(1)求出月销售收入,从而求出政府对该商品征收的税收;
(2)解不等式,求出 的范围即可;
(3)求出厂家的销售收入为 ,根据函数的单调性求出 的最大值以及
对应的 的值即可.
【详解】
解:(1)依题意,第二个月该商品销量为 万件,
月销售收入为 万元,
政府对该商品征收的税收 (万元).
所以所求函数为 .
由 >0 及 得,所求函数的定义域为 ;
1 1 1
1 1 3 2 343 3 2 3D CBB B BCD BCDV V S BB− −= = ⋅ = × × =
( )% 0 100p p< <
100
p 100
10 p−
26
10
p py p
−= − (0,6) 2 5p≤ ≤ 2p =
p
100(6 )( ) 10
pg p p
−= − ( )2 5p≤ ≤ ( )g p
p
( )6 p−
100(6 ) 10p p
− ⋅ −
100(6 ) 10 100
py p p
= − ⋅ ⋅−
26
10
p py p
−= −
6 0p− > 0p > (0,6)(2)由 得 化简得 ,
即 ,解得 ,
所以当 ,税收不少于1万元;
(3)第二个月,当税收不少于1万元时,厂家的销售收入为
,因为 在区间上 是减函数,
所以 (万元).
所以当 时,厂家销售金额最大.
【点睛】
本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查解不等式,有一定的综合性.
18.已知椭圆 的左焦点 ,离心率为 ,点 P 为椭圆 E 上任一点,且 的
最大值为 .
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)若直线 l 过椭圆的左焦点 ,与椭圆交于 A,B 两点,且 的面积为 ,求直线 l 的方程.
【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】
【分析】
(1)由离心率 和 ,可得 ,再根据椭圆上的任意一点 P 到 的最大距离为
,可知 ,再进行计算可得椭圆 E 的方程;(2)根据直线过定点 ,可以设直线 AB
的方程为 ,代入椭圆方程,根据韦达定理以及 的面积为 ,求出 m,可得直线 的方程。
【详解】
(1)设椭圆的标准方程为: ,
1y ≥
26 110
p p
p
− ≥−
2 7 10 0p p− + ≤
( 2)( 5) 0p p− − ≤ 2 5p≤ ≤
2 5p≤ ≤
100(6 )( ) 10
pg p p
−= −
( )2 5p≤ ≤ 100(6 ) 400( ) 10010 10
pg p p p
−= = +− − [2,5]
max( ) (2) 50g p g= =
2p =
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 1F 2
2 1PF
2 1+
1F OAB∆ 2
3
2
2 12
x y+ = 1 0x y+ + = 1 0x y− + =
2
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2a b= 1F
2 1+ 2 1a c+ = + 1F
1x my= − OAB∆ 2
3 l
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >∵离心率为 ,
∵点 P 为椭圆 C 上任意一点,且 的最大值为 ,
,
解得 ,
∴椭圆 E 的方程为 ;
(2)因 , 与 轴不重合,故设 的方程为: ,
代入 得: ,
其 恒成立,设 ,则有 ,
, 又 到
的距离 ,
,
解得
的方程为: 或 .
(亦可用 ).
【点睛】
由直线过定点 ,设 的方程为 ,这种设法包含了直线垂直于 x 轴的情况,便于计算,
韦达定理和设而不求的方法,是解此类题的基本常用方法,需要牢固掌握。
19.已知函数 , .
(1)当 时,求函数 的曲线上点 处的切线方程;
(2)当 时,求 的单调区间;
(3)若 有两个极值点 , ,其中 ,求 的最小值.
2 ,2
2 2 2
2
2 2
1 ,2
c a be a a
−∴ = = = 2a b∴ =
PF 2 1+
2 2 2 22 1, 1, 1a c c a b c b∴ + = + ∴ = = + = +
2 22, 1a b= =
2
2 12
x y+ =
1( 1,0)F − AB x AB 1x my= −
2
2 12
x y+ = ( )2 22 2 1 0m y my+ − − =
> 0∆ ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
−+ = ⋅ =+ +
( ) ( )2
22
1 2 1 2 2
2 2 1
| | 1 4 2
m
AB m y y y y m
+
∴ = + + − = + O AB
2
1
1
d
m
=
+
( )2
2 2
2 2 11 1 1 2| |2 2 2 31OAB
m
S AB d m m
∆
+
∴ = = =+ +
1m = ±
l∴ 1 0x y+ + = 1 0x y− + =
1 1 2
1
2S OF y y= −‖
1( 1,0)F − AB 1x my= −
( ) 2 lnf x a x= 1( ) ( )g x f x x x
= + −
1a = ( )f x ( , ( ))e f e
1a ≤ ( )g x
( )g x 1x 2x 1
1(0, ]3x ∈ 1 2( ) ( )g x g x−【答案】(1) (2) 见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)根据导数的几何意义得到 , ,得到结果;(2)对函数求导分情况讨
论导函数的正负,从而得到单调区间;(3)构造函数研究函数的单调性,得到函数的变化趋势,进而得到
函数最值.
解析:
解:(1)当 时, 所以 ,
又
过切点 的切线方程为
即:
(2)由题意得: ,
令
当 时, , 在 上单调递增.
②当 时,令 ,解得: 或
令 ,解得:
综上,当 时, 的单调增区间为 ,
当 时,单调增区间为 ,
单调减区间为
(3)由(2)知, ,
2y xe
= 20ln3 16
3
−
( ) 2'f e e
= ( ) 2f e =
1a = ( ) 2lnf x x= ( ) 2' ( 0)f x xx
= >
( ) 2'f e e
∴ =
( ) 2f e =
∴ ( )( ),e f e
( )2 2y x ee
= − +
2y xe
=
( ) 12 lng x a x x x
= + − 0x >
( ) 2
2 1' 1ag x x x
∴ = + + 2
2
2 1x ax
x
+ +=
24 4a∆ = −
1 1a− ≤ ≤ ( )' 0g x ≥ ( )g x ( )0,∞
1a < − ( )' 0g x > 20 1x a a< < − − − 2 1x a a> − + −
( )' 0g x < 2 21 1a a x a a− − − < < − + −
1 1a− ≤ ≤ ( )g x ( )0,+∞
1a < − ( )20, 1a a− − − ( )2 1,a a− + − +∞
( )2 21, 1a a a a− − − − + −
( ) 2
2
2 1' x axg x x
+ += 0x >由题意知, , 是方程 的两根
, ,
, ,
令
当 时,
在 上单调递减,
即 的最小值为 .
点睛:本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和
最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题.对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:
变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于 0;或者分
离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
20.设数列 的前 n 项和为 , , .
求数列 的通项公式;
设数列 满足:对于任意的 ,都有 成立.
求数列 的通项公式;
设数列 ,问:数列 中是否存在三项,使得它们构成等差数列?若存在,求出这三项;若
不存在,请说明理由.
【答案】(1) , .(2)① , .②见解析.
【解析】
分析:(1)当 时,类比写出 ,两式相减整理得 ,当 时,求得 ,
1x 2x 2 1 0x ax+ + =
1 2 1x x∴ ⋅ = 1 2 2x x a+ = − 2
1
1x x
∴ =
1
1
12a x x
∴ = − − ( ) ( ) ( )1 2 1
1
1g x g x g x g x
∴ − = −
1 1 1
1 1
1 12 lnx x xx x
= − − +
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 1 11 1 12 ln ' 2 1 ln lnx xH x x x x H x x xx x x x
+ − = − − + ∴ = − =
10, 3x ∈
( )' 0H x <
∴ ( )H x 10, 3
( )min
1 20ln3 16
3 3H x H
− ∴ = =
( ) ( )1 2g x g x− 20ln3 16
3
−
{ }na nS 2 3n nS a+ = *n N∈
( )1 { }na
( )2 { }nb *n N∈ 1
1 2 1 3 2 1
1( ) 3 33
n
n n n na b a b a b a b n−
− −+ + +…+ = + −
① { }nb
② n n nc a b= { }nc
11
3
n
na
− =
*n N∈ 2 1nb n= − *n N∈
2n ≥ 1 12 3n nS a− −+ =
1
1
3
n
n
a
a −
= 1n = 1 0a ≠从而求得数列 的通项公式.;
(2)①将 代入已知条件,用与(1)相似的方法,变换求出数列 的通项公式;
②由 的通项公式分析,得 …,假设存在三项 , , 成等差数列,且
,则 ,即 ,根据数列 的单调性,化简得 ,
将 或 代入已知条件,即可得到结论.
详解:解:(1)由 , ①
得 , ②
由①-②得 ,即 ,
对①取 得, ,所以 ,所以 为常数,
所以 为等比数列,首项为 1,公比为 ,即 , .
(2)①由 ,可得对于任意 有
, ③
则 , ④
则 , ⑤
由③-⑤得 ,
对③取 得, 也适合上式,
因此 , .
②由(1)(2)可知 ,
{ }na
11
3
n
na
− =
{ }nb
nc 1 2 3 4 5c c c c c= > > > > sc pc rc
s p r< < 2 p s rc c c= + ( )
1 1 1
2 2 1 2 1 2 1
3 3 3p s r
p s r
− − −
− − −= + { }nc 72 2p≤ <
2p = 3p =
2 3n nS a+ =
( )1 12 3 2n nS a n− −+ = ≥
12 0n n na a a −+ − = ( )1
1 23n na a n−= ≥
1n = 1 1 0a = ≠ 0na ≠
1
1
3
n
n
a
a −
=
{ }na 1
3
11
3
n
na
− =
*n N∈
11
3
n
na
− =
*n N∈
2 1 1
1 2 1
1 1 1 1 3 33 3 3 3
n n
n n nb b b b n
− −
− −
+ + + + = + −
( ) ( )2 2 2
1 2 3 1
1 1 1 1 3 1 3 23 3 3 3
n n
n n nb b b b n n
− −
− − −
+ + + + = + − − ≥
( )2 3 1 1
1 2 3 1
1 1 1 1 1 2 23 3 3 3 3
n n
n n nb b b b n n
− −
− − −
+ + + + = + − ≥
( )2 1 2nb n n= − ≥
1n = 1 1b =
2 1nb n= − *n N∈
1
2 1
3n n n n
nc a b −
−= =则 ,
所以当 时, ,即 ,
当 时, ,即 在 且 上单调递减,
故 …,
假设存在三项 , , 成等差数列,其中 , , ,
由于 …,可不妨设 ,则 (*),
即 ,
因为 , , 且 ,则 且 ,
由数列 的单调性可知, ,即 ,
因为 ,所以 ,
即 ,化简得 ,
又 且 ,所以 或 ,
当 时, ,即 ,由 时, ,此时 , , 不构成等差数列,不合题意,
当 时,由题意 或 ,即 ,又 ,代入(*)式得 ,
因为数列 在 且 上单调递减,且 , ,所以 ,
综上所述,数列 中存在三项 , , 或 , , 构成等差数列.
点睛:本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式,涉及到等差和等比数列的判断,
数列的单调性等知识的综合运用,考查分类讨论思想与逻辑推理能力,属于难题.
已知数列 的前 项和 与 的关系式,求数列的通项公式的方法如下:
(1)当 时, 求出 ;
(2)当 时,用 替换 中的 得到一个新的关系,利用 便可求出当
( )
1 1
4 12 1 2 1
3 3 3n n n n n
nn nc c+ −
−+ −− = − =
1n = 1n nc c+ = 1 2c c=
2n ≥ 1n nc c+ < { }nc 2n ≥ *n N∈
1 2 3 4 5c c c c c= > > > >
sc pc rc s p *r N∈
1 2 3 4 5c c c c c= > > > > s p r< < 2 p s rc c c= +
( )
1 1 1
2 2 1 2 1 2 1
3 3 3p s r
p s r
− − −
− − −= +
s p *r N∈ s p r< < 1s p≤ − 2p ≥
{ }nc 1s pc c −≥
1 2
2 1 2 3
3 3s p
s p
− −
− −≥
1
2 1 03r r
rc −
−= > ( )
1 1 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2 3
3 3 3 3p s r p
p s r p
− − − −
− − − −= + >
( )
1 2
2 2 1 2 3
3 3p p
p p
− −
− −> 7
2p <
2p ≥ *p N∈ 2p = 3p =
2p = 1s = 1 2 1c c= = 3r ≥ 2 1rc c< = 1c 2c rc
3p = 1s = 2s = 1sc = 3
5
9pc c= = 1
9rc =
{ }nc 2n ≥ *n N∈ 5
1
9c = 4r ≥ 5r =
{ }nc 1c 3c 5c 2c 3c 5c
{ }na n nS na
1n = 1 1a S= 1a
2n ≥ 1n − nS n 1n nS S −− ( 2)n ≥ 2n ≥时 的表达式;
(3)对 时的结果进行检验,看是否符合 时 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式
合写;如果不符合,则应该分 与 两段来写.
数学Ⅱ(附加题)
(考试时间:30 分钟 试卷满分:40 分)
注意事项:
1.本试卷均为非选择题(第 21 题~第 23 题)。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定
位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无
效。
5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则
按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修 4-2:矩阵与变换]
已知 ,向量 是矩阵 的属于特征值-3 的一个特征向量.
(1)求矩阵 的另一个特征值;
(2)求矩阵 的逆矩阵 .
【答案】(1)另一个特征值为 2.(2)
【解析】
【分析】
(1)根据特征向量求解 a,b,结合特征多项式求解;
(2)根据逆矩阵求解方法即可得解.
【详解】
na
1n = 2n ≥ na
1n = 2n ≥
,a b∈R 2
1
α − =
2
1
aA b
=
A
A 1A−
1
1 1
6 3
1 1
3 3
A−
−
=
解:(1)由条件得, ,
∴ ,解得
因为矩阵 ,所以特征多项式为
,
令 ,解得 , .所以矩阵 的另一个特征值为 2.
(2)因为 ,
所以 .
【点睛】
此题考查矩阵相关知识,涉及根据特征向量求解参数,进行逆矩阵运算.
B.[选修 4-4:极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程是 ,以平面直角坐标系的原点 为极点, 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 ,它们相交于 两点,求线段
的长.
【答案】
【解析】
【分析】
将曲线 的参数方程化为普通方程,曲线 的极坐标方程互为直角坐标方程,联立方程求出交点 ,
然后利用两点间的距离公式即可求出 的长.
【详解】
2 2 231 1 1
a
b
− − = −
2 2 6,
2 1 3,
a
b
− + =
− + = −
2
2.
a
b
= −
=
,
2 2
2 1A
− =
2 2( ) 2 1f
λλ λ
+ −= − −
2( 2)( 1) 4 6λ λ λ λ= + − − = + −
( ) 0f λ = 3λ = − 2λ = A
2 2det( ) ( 2) 1 2 2 62 1A
−= = − × − × = −
1
1 2 1 1
6 6 6 3
2 2 1 1
6 6 3 3
A−
− − −= = −
− −
xOy 1C cos
sin
x
y
θ
θ
=
= O x
2C 2cos 6
πρ θ = + ,A B
AB
3
1C 2C ,A B
AB由 消去 得,曲线 直角坐标方程是 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
由 ,解得 或 ,
即
所以 .
【点睛】
本题主要考查参数方程化为普通方程,极坐标方程互为直角坐标方程,关键是掌握这两类问题的的互化方
法.
C.[选修4-5:不等式选讲]
设 都是正数,求证: .
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用柯西不等式证明即可;
【详解】
证明:因为 , , 都是正数,
所以
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ 1C 2 2 1x y+ =
2cos 6
πρ θ = + 3 cos sinρ θ θ= −
2 3 cos sinρ ρ θ ρ θ= − 2 2 3 0x y x y+ − + =
2 2
2 2
1
3 0
x y
x y x y
+ = + − + =
0
1
x
y
=
= −
3
2
1
2
x
y
=
=
( ) 3 10, 1 , ,2 2A B
−
2 23 10 1 32 2AB
= − + − − =
, ,a b c
2 2 2( ) ( ) ( ) 4( )b c c a a b a b ca b c
+ + ++ + ≥ + +
a b c
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2b c c a a ba b c a b c
+ + ++ + + +
( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 b c c a a ba b c
a b c
+ + + = + + + + ,
所以 .
【点睛】
本题考查柯西不等式的应用,属于基础题.
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
22.设 ,其中 .
(1)当 时,化简: ;
(2)当 时,记 ,试比较 与 的大小.
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】
【分析】
(1)当 时, ,因为 ,结合已知,即可求得答案;
(2)当 时, ,可得 ,令 ,得 ,故当 时, , 当
时, 化简可得: , 利用数学归纳法证明,即可求得答案;
【详解】
(1)当 时,
( ) ( ) ( ) 2
b c c a a ba b c
a b c
+ + + ≥ + +
( ) ( ) ( ) 2b c c a a b= + + + + +
( )24 a b c= + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
4b c c a a b a b ca b c
+ + ++ + ≥ + +
2
0 1 2( )n r n
r nq x a a x a x a x a x+ = + + +…+ +…+ *,q R n N∈ ∈
1q =
0 1
n
r
r
a
r= +∑
q n= ( )0 1
0
,2
n
n n r
r
n a aA B a
=
+= = ∑ nA nB
12 1
1
n
n
+ −
+
1q = r
r na C= 1 ! !
1 1 !( )! ( 1)!( )
r
nC n n
r r r n r r n r
= ⋅ =+ + − + −
q n= r n r
r na C n −= 1n
nA n += 1x = ( 1)n
nB n= + 1,2n = 1 ( 1)n nn n+ < +
3n ≥ 1 ( 1)n nn n+ > + 11+
n
n n
>
1q = r
r na C=,其中 ,
原式=
(2)当 时,
,
令 ,得
当 时, ;
当 时, ,
即 ,可得:
下面用数学归纳法证明:当 时, (☆)
①当 时, , (☆)成立.
②假设 时,(☆)式成立,即
则 时,
(☆)式右边
故当 时,(☆)式也成立.
综上①②知,当 时,
1 ! !
1 1 !( )! ( 1)!( )
r
nC n n
r r r n r r n r
= ⋅ =+ + − + −
1
1
1 ( 1)! 1
1 ( 1)!( )! 1
r
n
n Cn r n r n
+
+
+= ⋅ = ⋅+ + − + 0,1,2, ,r n…=
∴ ( ) 1
1 2 3 1
1 1 1 1
1 2 1
1 1
n
n
n n n nC C C Cn n
+
+
+ + + +
−+ + …+ =+ +
q n= r n r
r na C n −=
0 1,n na n a n∴ = =
1n
nA n +∴ =
1x = ( 1)n
nB n= +
1,2n = 1 ( 1)n nn n+ < +
3n ≥ 1 ( 1)n nn n+ > +
( 1)n nn n n⋅ > + ( 1) 1 11+
n nn
n
n nn n n n
+ + > = =
3n ≥ 11+
n
n n
>
— —
3n =
31 643 13 27
> + =
3n k= ≥ 1 1
k
k k
> +
1n k= +
11 1 11 1 11 1 1
k k
k k k
+ = + = + + + + +
1 1 11 1 1 11 1 1
k kk k kk k k k
< + + < + ⋅ = + < + + + +
1n k= +
3n ≥ 11+
n
n n
> 当 时, ;当 时, .
【点睛】
解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;
二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于
难题.
23.某班级有 3 名同学报名参加学校组织的辩论赛,现有甲、乙两个辨题可以选择,学校决定让选手以抽取
卡片(除上面标的数不同外其他完全相同)的方式选择辩题,且每名选手抽取后放回.已知共有 10 张卡片,
卡片上分别标有 共 10 个数.若抽到卡片上的数为质数(2,3,5,7),则选择甲辨题,否则选择乙辩
题.
(1)求这 3 名同学中至少有 1 人选择甲辨题的概率.
(2)用 X、Y 分别表示这 3 名同学中选择甲、乙辨题的人数,求 的分布列和数学期望.
【答案】(1) (2)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)利用互斥事件的概率加法公式求出概率.
(2)首先明确 的所有可能取值及 取每个值所对应的概率,从而求得分布列,最后代入公式求解数
学期望即可.
【详解】
根据题意可知,在这 10 个数中质数有 2、3、5、7.
则这 3 名同学中,每人选择甲辩题的概率为 ,选择乙辩题的概率为 .
记“这 3 名同学中恰有 ( =0,1,2,3)人选择甲辩题”为事件 ,则 .
(1) 这 3 名同学中至少有 1 人选择甲辩题的概率为:
(2) 由题意可知 的所有可能取值为 1,3.
∴ 1,2n = n nA B< 3n ≥ n nA B>
1 10
X Yξ = −
98
125
( ) 39= 25E ξ
X Yξ = − ξ
2
5
3
5
i i iA ( ) 3
3
2 3
5 5
i i
i
iP A C
− =
( ) ( ) ( ) 2 2 3 0
1 2 3
1 2 3 3 3 3
2 3 2 3 2 3 98= + + =5 5 5 5 5 5 125P P A P A P A C C C = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
X Yξ = −
所以随机变量 的分布列为:
1 3
随机变量 的数学期望为:
【点睛】
本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和离散型随机变量的分布列及期望的求解,属于中档题.
( ) 2 2
1 2
3 3
2 3 2 3 181 + =5 5 5 5 25P C Cξ = =
( ) 3 3
0 3
3 3
3 2 72 + =5 5 25P C Cξ = =
ξ
ξ
P 18
25
7
25
ξ ( ) 18 7 39=1 +3 =25 25 25E ξ × ×