2020年4月普通高考数学全真模拟卷（山东卷解析版）

2020 年 4 月普通高考（山东卷）全真模拟卷（1） 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知函数 的值域为集合 ，不等式 的解集为集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数 的值域为 ，不等式 的解集为 ， 所 以 ，故选:C． 2．若 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点所在的象 限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 =b-1+(b+1)i，则 b-1=1 且 b+1=a，∴b=2，a=3，则复数 对应的坐标为（4，﹣2）位于第四象限，故选 D． 3．已知 P 是正方体 的棱 上任意一点（不是端点）如图，则在正方体的 12 条棱中， 与平面 平行的有（ ） exy = A 2 6 0x x− − < B A B = { | 2 0}x x− < < { | 2 3}x x− < < { }| 2x x > − { }| 0x x > exy = { }0A y y= 2 6 0x x− − < { | 2 3}B x x= − < < { }| 2A B x x∪ = > − 1 ( )(1 )ai b i i+ = + + , ,a b R i∈ ( 1) ( 4)a b i+ + − ( )( )1 1ai b i i+ = + + ( ) ( )1 4 4 2a b i i+ + − = − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD ABPA．3 条 B．6 条 C．9 条 D．12 条 【答案】A 【解析】因为棱 在平面 内，所以只要与棱 平行的棱都满足题意，即 ， . 故选 4．已知扇形 ， ，扇形半径为 ， 是弧 上一点，若 ，则 （ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，两边同时平方得 = ，则有 3=4+1+2 =5+2 2cos ，∴cos ， ，故选 D. 5．若不等式 的解集是 ，则不等式 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，若不等式 的解集是 ，则 与 1 是方程 的根，且 ，则有 ，解得 ﹐ ﹐且 ， 不等式 化 AB ABP AB 1 1 1 1,A B D C DC A AOB AOB θ∠ = 3 C AB 2 3 3 3 3OC OA OB= + θ = 6 π 3 π 2 π 2 3 π 2 3 3OC OA OB  = + 2OC 2 2 3 3 OA OB  +      2 3 3 3 3OA OB× ⋅  × θ 1 2 θ = − 2 3 πθ = 2 0ax bx c+ + > ( )4,1− ( ) ( )2 1 3 0b x a x c− + + + > 4 13 ,−     ( ) ,3, 41−∞ + ∞    ( )1,4− ( ) ( )– 2 1,∞ − +∞， 2 0ax bx c+ + > ( )4,1− 4− 2 0ax bx c+ + = 0a < ( ) ( ) 4 1 4 1 b a c a  − + = −  − × = 3b a= 4c a= − 0a < ∴ ( ) ( )2 1 3 0b x a x c− + + + >为 ，整理得 ﹐即 ﹐解可得 ，即不 等式 的解为 ，故选 A. 6．若 的展开式的二项式系数最大的项只有第 4 项，则 展开式中，푥4的系数为（ ） A．21 B． C．35 D． 【答案】A 【解析】由题意得 ． 7．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，解得 . .故选 . 8．如图所示，有一条长度为 的线段 ，其端点 在边长为 的正方形 的四边上滑动，当点 绕着正方形的四边滑动一周时， 的中点 所形成轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( ) ( )23 1 3 4 0x x− + + − < 23 4 0x x+ − < ( )( )3 4 1 0x x+ − < 4 13 x− < < ( ) ( )2 1 3 0b x a x c− + + + > 4 ,13  −   πtan 2 36 α − =   sin πsin 3 α α = +   5 2 7 2 3 2 − 3 3 2 3tanπ 3tan 2 36 31 tan3 α α α − − = =   + 7 3tan 3 α = − 1 3sin sin sin tan 7 π 21 3s cos2 2 in tan3 2 2 α α α α α α α+ = = = + +   B【解析】∵轨迹为四条线段加四个四分之一的圆，∴长度 ，故选 B. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．已知函数 ，则（ ） A． 的最小正周期为 π B．曲线 关于 对称 C． 的最大值为 D．曲线 关于 对称 【答案】ACD 【解析】 ，则 ， 的最大值为 ， 曲线 关于 对称， ，曲线 不关于 对称.故选 ACD 10．四边形 内接于圆 ， ，下列结论正确的有（ ） A．四边形 为梯形 B．圆 的直径为 7 C．四边形 的面积为 D． 的三边长度可以构成一个等差数列 【答案】ACD 【解析】 ， 可证 ， 显然 不平行 ，即四边形 为梯形，故 正确； ( ) sin 2 sin(2 )3f x x x π= + + ( )f x ( )y f x= ( ,0)3 π ( )f x 3 ( )y f x= 6x π= 1 3( ) sin 2 sin 2 cos2 3sin 22 2 6f x x x x x π = + + = +   T π= ( )f x 3 3( ) 3sin 36 6f π π π = + =   ( )y f x= 6x π= 3 2( ) 3sin 03 6f π π π = + ≠   ( )y f x= ,03 π     ABCD O 5, 3, 60AB CD AD BCD= = = ∠ =  ABCD O ABCD 55 3 4 ABD∆ 5, 3, 60AB CD AD BCD= = = ∠ =  120BAD∴∠ =  BAD CDA∆ ≅ ∆ 120BAD CDA∴∠ = ∠ = ° 180BCD CDA∴∠ + ∠ = ° //BC DA∴ AB CD ABCD A在 中由余弦定理可得 圆的直径不可能是 ，故 错误； 在 中由余弦定理可得 解得 或 （舍去） 故 正确； 在 中， ， ， ，满足 的三边长度可以构成一个等差数列，故 正确； 故选： 11．已知 P 是椭圆 上的动点，Q 是圆 上的动点，则（ ） A．C 的焦距为 B．C 的离心率为 C．圆 D 在 C 的内部 D． 的最小值为 【答案】BC 【解析】依题意可得 ，则 C 的焦距为 ， . BAD∆ 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD BAD= + − ⋅ ∠ 2 2 25 3 2 5 3cos120 49BD∴ = + − × × ° = 7BD∴ = ∴ 7 B BCD∆ 2 2 2 2 cosBD CB CD CB CD BCD= + − ⋅ ∠ 2 2 27 5 2 5 cos60CB CB∴ = + − × × ° 8CB = 3CB = − 1 1 3 15 3sin120 5 32 2 2 4BADS AB AD∆∴ = ⋅ ° = × × × = 1 1 3 40 3sin 60 5 82 2 2 4BCDS CB CD∆∴ = ⋅ ° = × × × = 15 3 40 3 55 3 4 4 4ABCD BCD BADS S S∆ ∆∴ = + = + = C ABD∆ 3AD = 5AB = 7BD = 2AD BD AB+ = ABD∴∆ D ACD 2 2: 12 xC y+ = 2 2( 5 1: 1)D x y+ + = 5 30 6 PQ 2 5 5 6 1 5c = − = 2 5 5 30 66 e = =设 ，则 ， 所以圆 D 在 C 的内部，且 的最小值为 .故选 BC. 12．已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论 正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】画出函数 的大致图象如下图， 得出 ,则 ,故 A 错误,B 正确; 由图可知 ,故 C 正确; 因为 ,所以 ,故 D 正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知双曲线 C： 的焦点为 ， ，离心率为 若 C 上一点 P 满足 ，则 C 的方程为______． 【答案】 【解析】由双曲线的定义可知 ，由 ，得 ，则 ，所以双曲线 C 的方 ( , )( 6 6)P x y x− ≤ ≤ 22 2 2 2 2 5 6 4 4 1| | ( 1) ( 1) 1 6 6 5 5 5 5 xPD x y x x = + + = + + − = + + ≥ >   | |PQ 4 1 5 5 5 5 − = ( ) 2 2 2 , 0 , 0 x x xf x log x x − − ≤=  > 1 2 3 4x x x x< < < ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = 1 2 1x x+ = − 3 4 1x x = 41 2x< < 1 2 3 40 1x x x x< < ( )f x 1 2 2 3 2 42, x x log x log x+ = − − = 3 4 1x x = 41 2x< < ( )1 1 2 1 12 1, 2x x x x x− < < − = − − = ( ) ( )22 1 1 12 1 1 0,1x x x− − = − + + ∈ ( )1 2 3 4 1 2 0,1x x x x x x= ∈ 2 2 2 2 x y 1(a 0,b 0)a b − = > > 1F 2F 3. 1 2PF PF 2 3− = 2 2x y 13 6 − = a 3= ce 3a = = c 3= 2 2 2b c a 6= − =程为 ． 14．有下列四个命题：①“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③ “若 ，则 有实数解”的逆否命题；④“若 ，则 ”的逆否命题．其中真命 题为________（填写所有真命题的序号）． 【答案】①②③ 【解析】①“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题是“若 ， 互为倒数，则 ”，显然是真命题， 故①正确； ②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确； ③若 有实数解，则 ，解得 ，所以“若 ，则 有实数 解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确； ④若 ，则 ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 故真命题有①②③ 15．现有 行数表如下： 第一行： 第二行： 第三行： …… …… …… 第 行： 第 m 行： 按照上述方式从第一行写到第 m 行（写下的第 n 个数记作 ）得到有穷数列 ，其前 n 项和为 ，若 存在，则 的最小值为______ 【答案】 【解析】设共有 m 行，由题意从第一行到第 m 行，若 存在，则有穷数列 的项数必须大于等于 2018，又第一行共有 m 个数，第二行共有 m-1 个数，第三行共有 m-2 个数， 2 2x y 13 6 − = 1xy = x y 1m £ 2x 2x m 0− + = A B B= A B⊆ 1xy = x y x y 1xy = 2x 2x m 0− + = 4 4 0m∆ = − ≥ 1m £ 1m £ 2x 2x m 0− + = A B B= B A⊆ ( 2)m m ≥ 1 2 3 4 1 02 ,2 ,2 ,2 , ,,2 2m m m m− − − −  2 3 4 1 02 ,2 ,2 , ,2 ,2m m m− − −  3 4 1 02 ,2 , ,2 ,2m m− −  1m − 1 02 ,2 02 na { }na nS 2018S 2018S 652 2229− 2018S { }na，第 m 行有 1 个数 则共有 1+2+3+ +m 2018， 则 m ，当 m 时，则这 64 行共有 2080 个数， ∴第 2018 个数位于第 54 行第 4 个数， 又由于每行的数构成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴第 i 行的数的和为 ，（i=1，2，3 64） ∴ = . 16．若 m，n 均为非负整数，在做 m＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简 单的”有序对，而 m＋n 称为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是________. 【答案】300 【解析】第 1 步，1＝1＋0,1＝0＋1，共 2 种组合方式； 第 2 步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共 10 种组合方式； 第 3 步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共 5 种组合方式； 第 4 步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共 3 种组合方式. 根据分步乘法计数原理，值为 1942 的“简单的”有序对的个数是 2×10×5×3＝300. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，已知三棱锥 中， 为퐴퐵的中点，푀为푃퐵的中点，且퐴퐵 = 2푃퐷. （1）求证：퐷푀//面푃퐴퐶； （2）找出三棱锥 中一组面与面垂直的位置关系，并给出证明（只需找到一组即可）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意 D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点， 又 平面 ， 平面 ， 面 … … ≥ 64≥ 64= 652 1i− − … 64 63 62 11 0 1 2 6 2018 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2s = − + − + − +…+ − − − − −…− ( )11 54 0 1 2 6 65 11 7 652 1 2 54 2 2 2 2 2 2 54 2 1 2 22291 2 − − − − − −…− = − − − + = −−（2）平面 平面 由已知 ，又 D 为 AB 的中点 所以 PD=BD，又知 M 为 PB 的中点 由（1）知 又由已知 且 故 平面 ，又 平面 平面 平面 18．在 中， 分别是内角 所对的边，向量 ， ,且满足 . （1）求角 的大小； （2）若 ，设角 的大小为 ， 的周长为 ，若 ，求 的解析式及其最大值. 【解析】（1）因为 a b，所以 . 由正弦定理得 ，即 . 由余弦定理得 ，又因为 ，所以 . （2）由 ， 及正弦定理得 ， 而 ， ，则 ， ， 于是 ， 由 得 ，所以当 即 时， 19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行硏究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( )sin sin ,sina A C B= − ( )sin sin ,sin sinb A C B A= + − a b⊥  C 1c = B x ABC∆ y ( )y f x= ( )y f x= ⊥ ( )( ) ( )sin sin sin sin sin sin sin 0A C A C B B A− + + − = ( )( ) ( ) 0a c a c b b a− + + − = 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = ( )0,C π∈ 3C π= 1c = 3C π= 1 2 3 sin sin 33 2 a b c A B sicC = = = = B x= 2 3A x π= − 2 3 sin3b x= 2 3 2sin3 3a x π = −   2(0 )3x π< < ( ) 2 3 2 3 21 sin sin3 3 3f x a b c x x π = + + = + + −   2sin 16x π = + +   20 3x π< < 5 6 6 6x π π π< + < 6 2x π π+ = 3x π= ( )max 33f x f π = =  日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差 x（ ） 8 11 13 12 10 发芽数 y（颗） 22 27 31 35 26 （1）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，求事件“m，n 均不小于 27”的概 率． （2）若选取的是 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据，请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线 性回归方程 ． （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归 方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：回归直线的方程是 ，其中 ， ） 【解析】（1）m，n 的所有取值情况有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，即基本事件总数为 20．设“m，n 均不小于 27”为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件为 、 、 、 、 、 ， 共 6 种所以 ，故事件 A 的概率为 ． （2）由数据，求得 ， ， ， ， ， ， ， ． 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ． （3）当 时， ， ； 同样，当 时， ， ． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． C° ˆˆ ˆy bx a= + ˆˆ ˆy bx a= + 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx = = − ⋅ = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − (22,27) (22,31) (22,35) (22,26) (27,22) (27,31) (27,35) (27,26) (31,22) (31,27) (31,35) (31,26) (35,22) (35,27) (35,31) (35,26) (26,22) (26,27) (26,31) (26,35) (27,31) (27,35) (31,27) (31,35) (35,27) (35,31) 6 3( ) 20 10P A = = 3 10 1 (11 13 12) 123x = + + = 1 (27 31 35) 313y = + + = 3 1116xy = 23 432x = 3 1 11 27 13 31 12 35 1120i i i x y = = × + × + × =∑ 3 2 2 2 2 1 11 13 12 434i i x = = + + =∑ 1120 1116 2, 31 24 7434 432b a −= = = − =− ˆ 2 7y x∴ = + ˆ 2 7y x= + 8x = ˆ 16 7 23y = + = | 22 23 | 2− < 10x = ˆ 20 7 27y = + = | 26 27 | 2− >+ ( )1,0F A F x l Γ B C 2 2 FOA COB S S =△ △ Γ m Γ 1 2x = M N MF NF 2 2 2 2 1 1 22 ( 0, 0)1 2 2 2 c bc a b a cb ca a b c  =    = > > > >  ⋅ ⋅  = + 2 1 1 a b c  =  =  = Γ 2 2 12 x y+ = ( )( )0 0 0, 0P x y y ≠ 0 0: 12 x xm y y+ = 1x = 0 0 2 2 xy y −= 0 0 21, 2 xM y  −     2x = 0 0 1 xy y −= 0 0 12, xN y  −     MF NF = ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 0 0 21 1 02 12 1 0 x y x y  −− + −     −− + −    ( ) ( ) 2 0 2 2 0 0 2 4 1 4 x x y − = − + ( ) ( ) 2 0 22 0 0 2 4 1 4 1 2 x xx − =  − + −   2 2 = ( ) ( )2ln 1 sin 1f x x x= + + + ( ) 1 lng x ax b x= − − , , 0a b ab∈ ≠R ( )g x 0x ≥ ( ) 3 1f x x≤ + 1x > − ( ) ( )2 sin2 2 e xf x x x< + + ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ag x x b x ′ = − 0a > 0b < ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0, ∞+当 ， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在 上单调递 减，在 上单调递增； 当 ， 时， ，则 在 上单调递减； 当 ， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在 上单调递增， 在 上单调递减； （2）证明：设函数 ，则 . 因为 ，所以 ， ， 则 ，从而 在 上单调递减， 所以 ，即 . （3）证明：当 时， . 由（1）知， ，所以 ，即 . 当 时， ， ，则 ， 即 ，又 ， 所以 ，即 . 22．已知数列 的前 项和为 ，通项 满足 （ 是常数， 且 ）. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设函数 ， ，是否存在正整数 ，使 对 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 0a > 0b > ( ) 0g x′ > bx a > ( ) 0g x′ < 0 bx a < < ( )g x 0, b a      ,b a  +∞   0a < 0b > ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0, ∞+ 0a < 0b < ( ) 0g x′ > 0 bx a < < ( ) 0g x′ < bx a > ( )g x 0, b a      ,b a  +∞   ( ) ( ) ( )3 1h x f x x= − + ( ) 2 cos 31x xh x ′ = + −+ 0x ≥ ( ]2 0,21x ∈+ [ ]cos 1,1x∈ − ( ) 0h x′ ≤ ( )h x [ )0,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )3 1 0 0h x f x x h= − + ≤ = ( ) 3 1f x x≤ + 1a b= = ( ) 1 lng x x x= − − ( ) ( )min 1 0g x g= = ( ) 1 ln 0g x x x= − − ≥ 1 lnx x≥ + 1x > − ( )21 0x + > ( )2 sin1 e 0xx + > ( ) ( )2 2sin sin1 e 1 ln 1 ex xx x + +≥ +   ( ) ( )2 sin1 e 2ln 1 sin 1xx x x+ + + +≥ ( ) ( )22 sin sin2 2 e 1 ex xx x x+ + > + ( ) ( )2 sin2 2 e 2ln 1 sin 1xx x x x+ + > + + + ( ) ( )2 sin2 2 e xf x x x< + + { }na n nS na 1 1 n n S q a q =− − q 0q > 1q ≠ { }na 1 4q = 1 3nS < ( ) logqf x x= 1 2( ) ( ) ( )n nb f a f a f a= + + + m 1 2 1 1 1 3n m b b b + + ≥ n ∗∈N m【解析】（Ⅰ）由题意 ，得 所以 当 时， ，所以 故数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ， 所以 （Ⅲ）因为 所以 所以 所以 欲使 ，即 对 都成立 须有 而当 时， 随 的增大而增大 所以 又 为正整数，所以 的值为 1,2,3 故使 对 都成立的正整数 存在，其值为 1,2,3. ( )11n n qS aq = −− ( )1 1 1 11 qS a aq = = −− 1a q= 2n ≥ ( )1 11n n n n n qa S S a aq− −= − = −− 1 n n a qa − = { }na 1a q= q 1n n na q q q−= ⋅ = 1 4q = 1 4n na = 1 11 1 1 14 4 11 3 4 31 4 n n nS  −    = = −