2020年4月普通高考数学全真模拟卷（天津卷解析版）

1 / 12 2020 年 4 月普通高考（天津卷）全真模拟卷（1） 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合 A＝{y|y＝2x﹣1}＝（﹣1，+∞），B＝{x|x≥1}＝[1，+∞），则∁RB＝（﹣∞，1） 则 A∩（∁RB）＝（﹣1，1），故选：C． 2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当 时，利用正弦函数 的单调性知 ；当 时， 或 .综上可知“ ”是“ ”的 充分不必要条件.故选：A { }2 1xA y y= = − { }1B x x= ≥ ( )RA C B = ( ], 1−∞ − ( ),1−∞ ( )1,1− [ )1,+∞ Rθ ∈ π0 θ 3< < 30 sin 2 θ< < π0 θ 3< < siny x= 30 sin 2 θ< < 30 sin 2 θ< < ( )2 2 3k k k Z ππ θ π< < + ∈ ( )22 23k k k Z π θ π π+ < < + ∈ π0 θ 3< < 30 sin 2 θ< 2 2 4 4 a b ab π π> b aV V> , ,a b c 2 3 5log log loga b c= = 1 11 5 32a c b> > 1 11 5 32c a b> > 1 11 3 52b a c> > 1 1 1 5 3 2c b a> > 2 3 5log log loga b c= = , ,a b c 1 11 3 3 5 52 22 , 3 , 5 , 2 , 3 , 5 , m mm m m ma b c a b c= = = ∴ = = = 1 62 2 6 1 3 6 3 3 2 2 8 8( ) 1,93 93 m m m m m m m a b = = = = > 11 32a b> 1 1 5 2c a> 100 A B 100 [90 110]， 4 [90 95)， [95 100)， [100 105)， [105 110]， 3 / 12 已知这 种配方生产的产品利润 （单位：百元）与其质量指标值 的关系式均为 . 若以上面数据的频率作为概率，分别从用 配方和 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这 件 产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为 的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，A 配方利润为-1，0，1 的频率分别为 0.2，0.3，0.2，B 配方利润为-1，0，1 的频率分别 为 0.1，0.35，0.35，故抽得的这两件产品利润之和为 0 的概率为 0.2×0.35+0.3×0.35+0.2×0.1=0.07+0.105+0.02=0.195. 本题选择 B 选项. 6．已知定义在 上的奇函数 满足：当 时， ．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 在 上递增，又因为 是定义在 上 奇函数，所以 在 上递增，由 得 恒成立，由 对任意实数 恒成立，可得 ，即 ，故选 A. 2 y t 1 95 0 95 100 1 100 105 2 105 t ty t t − 2 4k > 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 0 0'( , )P x y 1 2 1 22 2 24 36,3 4 3 4 ky y y yk k + = − =+ + 2QF 2 2 1 1xx yy −= + 2 2 2 2 2 2 1 1 14 3 4 xx yy x y x ky − = +   + =  = +   2 22 2 2 2 2 ( 3) 6( 3)[3 4] 9 0 + ++ + − =ky kyy yy y 2 0 2 2 2 2 9 , ( 3)3 4 −= + + y y ky y 2 0 2 2 22 2 2 2 9 9 27(3 4) 18 27 (3 4) 18 − −= =+ + + + + + yy k y ky k y k y 1 1 1 9 36 2 118 27( )3 −= = − + + − − y k ky y 2 0 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1( ) 1 ( )( ) 1 [ 3( )]( ) 1 43 kyx y k y k k y ky xy y y += − + = + − + = + − − − + = + = 11 / 12 故 ，所以 . 19．（本题满分 15 分）已知数列{푎푛}的前푛项和푆푛满足푆푛 = 2푎푛鈭抧． （Ⅰ）求数列{푎푛}的通项公式； （Ⅱ）设푏푛 = 푎푛 푎푛+1 ，记数列{푏푛}的前푛和为푇푛，证明： ． 【解析】（1）∵푆푛 = 2푎푛鈭抧，当 时， ，又∵푆푛+1 = 2푎푛+1鈭抧鈭?，与푆푛 = 2푎푛鈭抧 两边分别相减得 ，得푎푛+1 +1 = 2(푎푛 +1)，又∵푎1 +1 = 2， ∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，∴푎푛 +1 = 2푛，得푎푛 = 2푛鈭?； ∵ ，∴ ， ，得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 20．已知函数 . （1）当 时，求 的极值； （2）是否存在实数 ，使得 与 的单调区间相同，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若 ，求证： 在 上恒成立. 【解析】（1）当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增 当 时， 极小值为 ，无极大值 （2） ，令 则 , 在 上单调递减，在 上单调递增 若存在实数 ，使得 与 的单调区间相同， 则 ， 1 1'( , )P x y− 2 2'P F PF= ( ) ( 1)( )xf x x e a= + + 0a = ( )f x a ( )f x '( )f x a (0) 0f = ( ) ( 1)ln 2 2f x e x ex≥ − + − [1, )x∈ +∞ 0a = ( ) ( 1) , ( ) ( 2)x xf x x e f x x e′= + = + ( ) 0 2, ( ) 0 2f x x f x x> ⇒ > − < ⇒′ < −′ ( )f x ( )- -2∞， ( )2,− +∞ 2x = − ( )f x ( ) 2 12f e − = − ( ) ( 2) +xf x x e a+′ = ( ) ( )g x f x= ′ ( ) ( 3) xg x x e= +′ ( )g x ( ), 3−∞ − ( )3 +− ∞， a ( )f x '( )f x 3 1'( 3) 0f a e − = ⇒ = 12 / 12 此时 ，与 在 上单调递减矛盾， 所以不存在满足题意的实数 ． （3） ，记 . ，又 在 上单调递增，且 知 在 上单调递增，故 . 因此 ，得证． ( ) 4 3 2 14 0f e e ′ − = − + > ( )f x ( ), 3−∞ − a ( )0 0 1f a= ⇒ = − ( ) ( )( ) ( )= 1 1 1 ln 2 2xg x x e e x ex+ − − − − + ( ) ( ) 12 1 2x eg x x e ex −= + − − −′ ( )'g x [ )1,x∈ +∞ ( )1 0g′ = ( )g x [ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 =0g x g≥ ( )( ) ( )1 1 1 ln +2 2 ln +2 2xx e e x ex t x ex+ − ≥ − − ≥ −