2020年4月普通高考数学全真模拟卷（原卷版）

1 / 5 2020 年 4 月普通高考（天津卷）全真模拟卷（1） 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设矩形边长分别为 ，将其按两种方式卷成高为 和 的圆柱（无底面），其体积分别为 和 ,则 与 的大小关系是( ) A． B． C． D．不确定 4．设 均为小于 1 的正数，且 ，则（ ） A． B． C． D． 5．某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为 配方和 配方）做试验，各生产了 件这种产品，并 测量了每件产品的质量指标值（都在区间 内），将这些数据分成 组： ， ， { }2 1xA y y= = − { }1B x x= ≥ ( )RA C B = ( ], 1−∞ − ( ),1−∞ ( )1,1− [ )1,+∞ Rθ ∈ π0 θ 3< < 30 sin 2 θ< < ( )a b a b、 ＞ a b aV bV aV bV a bV V＞ a bV V= a bV V＜ , ,a b c 2 3 5log log loga b c= = 1 11 5 32a c b> > 1 11 5 32c a b> > 1 11 3 52b a c> > 1 1 1 5 3 2c b a> > 100 A B 100 [90 110]， 4 [90 95)， [95 100)， 2 / 5 ， ，得到如下两个频率分布直方图： 已知这 种配方生产的产品利润 （单位：百元）与其质量指标值 的关系式均为 . 若以上面数据的频率作为概率，分别从用 配方和 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这 件 产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为 的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知定义在 上的奇函数 满足：当 时， ．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 7．过抛物线 的焦点 且斜率大于 0 的直线 交抛物线于点 (点 位于第一象限)，交 其准线于点 ，若 ，且 ，则直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知曲线 向左平移 个单位，得到的曲线 经过点 ，则（　　） A．函数 的最小正周期 B．函数 在 上单调递增 [100 105)， [105 110]， 2 y t 1 95 0 95 100 1 100 105 2 105 t ty t t − ( )y g x= ( ,1)12 π− ( )y g x= 2T π= ( )y g x= 11 17,12 12 π π     3 / 5 C．曲线 关于点 对称 D．曲线 关于直线 对称 9．已知函数 ，函数 ,若函数 有四个零点， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 10．设 为虚数单位，复数 ，则 的模 ______. 11．已知随机变量 的分布列为 ，那么实数 _____. 12．已知 、 是平面内两个不共线的向量， ， ， ，用向量 和 表示 ________________. 13．下列命题： （1）已知 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 ； （2）已知向量 在基底 下的坐标是 ，则向量 在基底 下的坐标为 ； （3）在三棱锥 中，各条棱长均相等， 是 的中点，那么 ； （4）已知三棱锥 ，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为 . 其中真命题是_______.（填序号） 14．在 的二项展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，记展开式中各项的系数之和为 S，记各项 的二项式系数之和为 T，则 ________． 15．已知数列 满足 , ( ),则 取得最小值的 的值为_____. ( )y g x= 2 ,03 π     ( )y g x= 6x π= ( ) 10 , 0{ , 0 x xf x lgx x − ≤= > ( ) ( ) ( ) ( )2 4g x f x f x m m R= − + ∈ ( )g x m [ )lg5,4 [ )3 4， [ ) { }3 4 lg5∪， ( ],4−∞ i 2 iz i += z | |z = X ( ) ( 1,2,3)2 iP X i ia = = = a = 1e 2e 1 23 2a e e= −   1 22b e e= − +   1 27 4c e e= −   a b c = ( , 5,1 )a x x= − + (3,2 ,2)b x= − a b x 4( , )5 −∞ p { }, ,a b c  (2,1,3) p { }, ,a b c b a c+ − −     (3,2, 1)− A BCD− E BC AE BC AE CD⋅ < ⋅    A BCD− 1: 27 1 3 2 n x x  −    S T+ = { }na 1 1a = ( ) 11n nna n a −= + *2,n n N≥ ∈ 2 16 1 na n + + n 4 / 5 四、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在 中， ， . (1)求 的值； (2)设 的面积 ，求 边上的高. 17．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值. 18．已知椭圆 的左、右焦点为 ，左右两顶点 ，点 为椭圆 上任意一 点，满足直线 的斜率之积为 ，且 的最大值为 4. （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知直线 与 轴的交点为 ，过 点的直线 与椭圆 相交与 两点，连接点 并延长， 交轨迹 于一点 .求证： . 19．（本题满分 15 分）已知数列{푎푛}的前푛项和푆푛满足푆푛 = 2푎푛鈭抧． （Ⅰ）求数列{푎푛}的通项公式； （Ⅱ）设푏푛 = 푎푛 푎푛+1 ，记数列{푏푛}的前푛和为푇푛，证明： ． 20．已知函数 . （1）当 时，求 的极值； （2）是否存在实数 ，使得 与 的单调区间相同，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； ABC∆ 5cos 13B = − 3sin 5C = sin A ABC∆ 33 2 BC 1 1 1ABC A B C− 1AA AB BC= = AB BC⊥ P Q AC 1 1B C PQ∥ 1 1AA B B 1AB CQ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = ＞ ＞ 1 2,F F ,A B M C ,MA MB 3 4 − 1 2MF MF⋅ C 2ax c = x S S l C ,P Q 2QF C P′ 2 2'P F PF= ( ) ( 1)( )xf x x e a= + + 0a = ( )f x a ( )f x '( )f x a 5 / 5 （3）若 ，求证： 在 上恒成立.(0) 0f = ( ) ( 1)ln 2 2f x e x ex≥ − + − [1, )x∈ +∞