2020年高考数学金榜冲刺卷（六）（理、解析版）

1 2020 年高考金榜冲刺卷（六） 数学（理） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若集合 ，则 的子集共有（ ） A．6 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B 【解析】因为 ，共有两个元素，所以 的子集共有 个，故选 B． 2．若 ， 均为实数，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，因此 ，则 . 故选 C. {0,1,2,3}, {1,2,4},A B C A B= = = ∩ C { }1,2C A B= ∩ = C 22 4= a b 3i 2 i1 i a b+ = +− ab = 2− 2 3− 3 32 21 a bi i ii + = + = −− ( )( )1 2 1 3a bi i i i+ = − − = − 1, 3a b= = − 3ab = −2 3．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ，所以 . 故选 D. 4．已知 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 得 ， 而 . 故选 B. 5．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ ） 2020 1log πa = 20201 πb  =    1 π2020c = c a b< < a c b< < b a c< < a b c< < 2020 2020 1log log 1 0πa = < = ( )20201 01πb  = ∈   ， 1 π2020 1c = > a b c< < tan 3α = 0, 2 πα  ∈   ( )sin2 cosα π α+ − 6 10 10 − 6 10 10 + 5 10 10 − 5 10 10 + tan 3α = 0, 2 πα  ∈   10 3 10cos ,sin10 10 α α= = ( ) 3 10 10 10 6 10sin2 cos 2sin cos cos 2 10 10 10 10 α π α α α α −+ − = − = × × − = 13 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据几何体的三视图可知，原几何体表示左边一个底面边长为 的等腰直角三角形，侧棱长为 的 直三棱柱，右边是一个底面半径为 ，母线长为 的半圆柱，所以该几何体的体积为 ，故选 D． 6．一给定函数 的图象在下列四个选项中，并且对任意 ，由关系式 得到的 数列 满足 .则该函数的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题对于给定函数 的图象在下列四个选项中，并且对任意 ，由关系式 得到的数列 满足 ．则可得到 ，所以 在 上都 成立，即 ，所以函数图象都在 的下方．故选 A． 7．设 是双曲线 的左右焦点，点 是 右支上异于顶点的任意 一点， 是 的角平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，则 的长为 （ ） A．定值 B．定值 π23 8 + π+ 3 8 π24 + π+4 2 2 1 2 21 12 2 2 1 2 42 2V π π= × × × + × × = + ( )y f x= 1 (0,1)a ∈ 1 ( )n na f a+ = { }na 1n na a+ < ( )y f x= ( )1 0,1a ∈ ( )1n na f a+ = { }na 1n na a+ < n nf a a（ ）＜ 1 1f a a（ ）＜ 1 01a∀ ∈（ ，） 01x f x x∀ ∈（ ，），（ ）＜ y x= 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P C PQ 1 2F PF∠ 1F PQ Q O | |OQ a b4 C．定值 D．不确定，随 点位置变化而变化 【答案】A 【解析】依题意如图，延长 F1Q，交 PF2 于点 T，∵ 是∠F1PF2 的角分线．TF1 是 的垂线， ∴ 是 TF1 的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P 为双曲线 1 上一点， ∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形 F1F2T 中，QO 是中位线，∴|OQ|＝a．故选 A． 8．如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ），过 作 的垂线， 垂足为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D c P PQ PQ PQ 2 2 2 2 x y a b − = ABC∆ D E BC D B E AD F AF = 3 1 5 5AB AC+  2 1 5 5AB AC+  4 8 15 15AB AC+  8 4 15 15AB AC+ 5 【解析】设 ，则 ， ， ， 所以 ，所以 .因为 ， 所以 .故选 D. 9．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如 132），现从 集合 中任取 3 个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，在 ，2，3， 的 4 个整数中任取 3 个不同的数 组成三位数，有 种取法，在 ，2，3， 的 4 个整数中任取 3 个不同的数，将最大的放在十位 上，剩余的 2 个数字，分别放在百、个位上，有 种情况，则这个三位数是“凸数”的概率是 .故选 B． 10．将函数 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图像向左平移 个单位得到数学函数 的图像，在 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 6BC = 3 2, 2AB AC BD DE EC= = = = = 2 2 π2 cos 4AD AE BD BA BD BA= = + − ⋅ ⋅ 10= 10 10 4 4cos 2 10 5DAE + −∠ = =× 4 5 AF AF AD AE = = 4 5AF AD=  ( )1 1 3 3AD AB BC AB AC AB= + = + −      2 1 3 3AB AC= +  4 2 1 8 4 5 3 3 15 15AF AB AC AB AC = × + = +        {1,2,3,4} 2 3 1 3 1 6 1 12 {1 4} 3 3 4 3 24C A× = {1 4} 3 4 2 8C × = 8 1 24 3 = 2 n 2) 3( sif x x π = +   12 π ( )g x ( )g x 24x π= − 4x π= 5 24x π= 12x π= ( ) 2 2 3f x sin x π = +  6 纵坐标不变，得到 ，再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，即 ，由 ，得 ，当 时，离原点最近的对称轴方程为 ，故选 A. 11．已知过抛物线 焦点的直线交抛物线 于 , 两点,交圆 于 , 两点,其 中 , 位于第一象限,则 的值不可能为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】作图如下：可以作出下图， 由图可得，可设 ， ，则 ， ， ， ，根据抛物线的常用结论，有 ， ，则 ， 2 4 3y sin x π = +   12 π ( )g x ( ) 22 4 2 412 3 3g x sin x sin x π π π    = + + = +         24 ,3 2x k k Z π π π+ = + ∈ 1 ,4 24x k k Z ππ= − ∈ 0k = 24x π= − 2: 4C y x= C P Q 2 2 2 0x y x+ − = M N P M 1 4 | | | |PM QN + PF m= QF n= 1PM m= − 1QN n= − 2 4y x= 2p∴ = 1 1 2 1m n p + = = 1m n mn +∴ = m n mn+ = 1 4 | | | |PM QN ∴ + 1 4 1 1m n = +− − 4 5 4 5( ) 1 m n m nmn m n + −= = + −− + +7 又 ， 得 ， ，则 的值不可能为 3，答案选 A. 12．已知函数 ，若曲线 上始终存在两点 ，使得 ，且 的中点在 轴上，则正实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设曲线 上存在两点 满足题意，则点 只能在 轴两侧， 是以 为直角顶点的直角三角形， ，不妨设 ， 斜边的中点在 轴上， 且 ， ， ，① 曲线 上始终存在两点 使得 ,等价于方程①有解, (1)当 ，即两点 都在 上 , ， 代入方程①，得 ， ， 而此方程无实数解, 不符合题意, （2）当 时， 在 上， 在 上， 1 1(4 ) 1 (4 ) ( )m n m n m n + ⋅ = + ⋅ + 44 1m n n m = + + + 45 2 m n n m ≥ + ⋅ 4 9m n+ ≥ 4 5 4m n∴ + − ≥ 1 4 | | | |PM QN + ( ) ( ) 3 2 , 1 2 ln , 11 x x x f x a e x x xx  − + POQ∆ y ( )3 2,Q t t t∴ − + 1t ≠ 0OP OQ⋅ =   ( )( )2 3 2 0t f t t t∴− + + = ( )y f x= ,P Q OP OQ⊥ 0 1t< < ,P Q 3 2y x x= − + ( ) 3 2f t t t∴ = − + ( )( )2 3 2 3 2 0t t t t t− + − + + = 4 2 1 0t t∴ − + = ∴ 1t > P ( )2 ln 1 a e x xy x −= + Q 3 2y x x= − +8 ，代入①得 ，因为 为正数可化为 ， 设 ， ， ， 递减， ， 时， ， 递减， 时， ， 递增， ，即 结合 为正数，可得 ， 的范围是 ，故选 C. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设 ， ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的值可以是 ____________．（只需填写一个满足条件的 即可） 【答案】 （ 的任意数均可） 【解析】由 得 0