2020 年高考金榜冲刺卷(五)
数学(理)
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:高中全部内容.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合 ,集合 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,所以 或 .当 时, ,不符合题意,当
时, .故选 A.
2.设复数 ,定义 .若 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
{2,3,4}A = { }, 2B m m= + {2}A B = m =
0 1 2 4
{2}A B = 2m = 2 2m + = 2m = {2,4}A B = 2 2m + =
0m =
z a bi= + ( , )a b∈R z b ai= +
1 2
z i
i i
=+ − z =
1 3
5 5 i− + 1 3
5 5i− 3 1
5 5 i− + 3 1
5 5 i− −【解析】解:因为 ,所以 ,
则 .故选:B.
3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点 到焦点的距离为4,则 的值为( )
A.4 B.-2 C.12 或-2 D.4 或-4
【答案】D
【解析】抛物线上的点 到焦点的距离与到抛物线的准线 的距离相等,所以 ,解得
,所以抛物线方程为 ,将 代入方程 得 .
4.曲线 与直线 围成的平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出曲线 与直线 围成的平面图形如下:
由 解得: 或 ,所以曲线 与直线 围成的平面图形的面积为
.故选 D.
1 2
z i
i i
=+ −
( )
( )( )
(1 ) 2(1 ) ( 1 )(2 ) 3 1
2 2 2 5 5 5
i i ii i i iz ii i i
+ ++ − + += = = = − +− − +
1 3
5 5z i= −
( 2)P m −, m
( 2)P m −,
2
py = 2 42
p + =
4p = 2 8x y= − ( 2)P m −, 2 8x y= − 4m = ±
4y x
= 5y x= −
15
2
15
4
15 4ln 24
− 15 8ln 22
−
4y x
= 5y x= −
4
5
y x
y x
=
= −
1x = 4x = 4y x
= 5y x= −
( )4
2
1
44 1 1 15S 5 5 4 20 8 4 4 5 8ln212 2 2x dx x x lnx lnx
= − − = − − = − − − − = − ∫5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,
无深,袤七尺.问积几何”,羡除是一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的
三视图如图粗线所示,其中小正方形网格的边长为 1,则该羡除的表面中,三个梯形的面积之和为( )
A.40 B.43 C.46 D.47
【答案】C
【解析】
由三视图可知,该几何体的直现图如图五面体,其中平面 平面 ,
,底面梯形是等腰梯形,高为 3 ,梯形 的高为 4 ,等腰梯形 的高为
,三个梯形的面积之和为 ,故选 C.
6.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】D
ABCD ⊥ ABEF
2, 6, 4CD AB EF= = = ABCD FEDC
9 16 5+ = 2 6 4 6 2 44 3 5 462 2 2
+ + +× + × + × =
ln xy x
=【解析】函数 的定义域为 ,
,∴排除 B,当 时, 函数在 上单调递增,在 上单调递减,
故排除 A,C,故选 D.
7.已知数列 的首项 ,且满足 ,则 的最小的一
项是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知得 , ,所以数列 为首项为 ,公差为 的等差数
列, ,则 ,其对称轴 .所以 的最小的
一项是第 项.故选 A.
8.设不等式组 表示的平面区域为 D,若圆 C: 不经过区域 D 上的点,
则 r 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
ln xy x
= { | 0}x x ≠ ln lnx xf x f xxx x
−− = = − = − ( ) ( )
0x >
2
ln ln 1-ln, ,x x xy yx x x
= = =′ ( )0,e ( ),e +∞
{ }na 1 21a = 2
1(2 5) (2 3) 4 16 15n nn a n a n n+− = − + − + { }na
5a 6a 7a 8a
1 12 3 2 5
n na a
n n
+ = +− −
1 72 5
a = −− 2 5
na
n
− 7− 1
7 ( 1) 82 5
na n nn
= − + − = −− (2 5)( 8)na n n= − − 10.5 5.252n = = { }na
5
4
0
1 0
x y
y x
x
+ ≤
− ≥
− ≥
2 2 2( 1) ( 0)x y r r+ + = >
( )13,+∞ ( ) ( )0, 5 13,∪ +∞
( )0, 5 5, 13 作出不等式组 表示的平面区域,
得到如图的 及其内部,其中 , ,
圆 : 表示以 为圆心,半径为 的圆,
由图可得,当半径满足 或 时,圆 不经过区域 上的点,
, , 当 或 时,圆 不经过区
域 上的点,故选 B.
9.在区间 上随机取两个数 ,记 为事件“ ”的概率, 为事件“ ”的概率,
为事件“ ”的概率,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,对事件“ ”,如图(1)阴影部分 ,
对事件“ ”,如图(2)阴影部分 ,对为事件“ ”,如图(3)阴影部分 ,
由图知,阴影部分的面积从下到大依次是 ,正方形的面积为 ,
根据几何概型公式可得 .
4
0
1 0
x y
y x
x
+ ≤
− ≥
− ≥
MNP∆ ( )11M , ( )2 2N , ( )13P ,
C 2 2 2( 1) ( 0)x y r r+ + = > ( )1 0C − , r
∴ r CM< r CP> C D
( )2 21 1 1 5CM = + + = ( )2 21 1 3 13CP = + + = ∴ 0 5r< < 13r > C
D
,x y 1p 1
2x y+ ≥ 2p 1
2x y− ≤ 3p
1
2xy ≤
1 2 3p p p< < 2 3 1p p p< <
3 1 2p p p< < 3 2 1p p p< <
, [0,1]x y∈ 1
2x y+ ≥
1
2x y− ≤ 1
2xy ≤
2 3 1p p p< >, , , ,
( ) sin ( 0)3f x x
πω ϕ ω = + + > T π=
3y f x
π = −
( )0 6f f
π <
( )f x [ )0,t t
50, 12
π
50, 6
π
5 11,12 12
π π
5 11,6 12
π π
【答案】D
【解析】由 ,可得 ,因为 是奇函数,
所以 是奇函数,即 ,
又因为 ,即 ,所以 是奇数,取 k=1,此时 ,所以函数
,因为 在 上没有最小值,此时 ,
所以此时 ,解得 .故选 D.
12.已知 是边长为 2 的等边三角形, ,当三棱锥 体积最大时,其外接球的表
面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取 的中点 ,连接 ,设 的外接圆的圆心为 , 的外接圆的圆心为 ,因为
是边长为 2 的等边三角形,所以 面积确定,
要使三棱锥 体积最大,即要使点 到平面 的距离最大,只有当平面 平面 时,体
积最大,即点 到边 的距离最大,三棱锥的体积最大,
因为 ,且 , 外接圆 的半径 为 ,
所以点 在 外接圆上运动,如图所示
t π= 2 =2
π π ωω = ⇒
3y f x
π = −
sin 2 3x
πϕ + − ,3 k k z
πϕ π− = ∈
( )0 6f f
π <
( )2sin sin3k k
ππ π π + < + k 4
3
πϕ =
( ) 5sin 2 sin 23 3f x x x
π π = + = −
( )f x [ )0,t 2 ,23 3 3x t
π π π − ∈ − −
4 32 ,3 3 2t
π π π − ∈
5 11,6 12t
π π ∈
SAB∆ 45ACB °∠ = S ABC−
14
3
π 28
3
π 10
3
π 20
3
π
AB D CD ABC∆ E SAB∆ F
SAB∆ SAB∆
S ABC− C SAB ABC ⊥ SAB
C AB
45ACB °∠ = 2AB = ABC∆ E CE 1 2 22 sin 45
× =°
C ABC∆当点 满足 时,点 到边 的距离最大,三棱锥的体积最大.
此时三棱锥的高即为 的长,此时 外接圆 的圆心 在 上,
根据球的性质可知, , ,
故四边形 为矩形,故 ,
在 中,球的半径平方为 ,
所以球的表面积为 .故选 B.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 的展开式中 的系数为 .
【答案】70
【解析】设 的展开式中含 的项为第 项,则由通项知
.令 ,解得 ,∴
的展开式中 的系数为 .
C CA CB= C AB
CD ABC∆ E E CD
OE CE⊥ OF DF⊥ / /OF ED
EODF 1 3 323 2 3OE DF= = × × =
Rt CEO∆ 2 2 2 1 72 3 3CO CE OE= + = + =
2 7 284 4 3 3Rπ = π = π
8
x y
y x
−
2 2x y
8
x y
y x
−
2 2x y 1r +
( )
81 1 882 2 2 2
1 8 81
r r r rr rrr r
rT C xy x y C x y
− −− − − + − − +
+
= − = −
8 22
r r− + − = 4r =
8
x y
y x
−
2 2x y ( )4 4
81 70C− =14.在 中, 为 上一点, 是 的中点,若 , ,则
.
【答案】
【解析】 ,因为 是 的
中点, 所以 , ,解得 , .故答案为 .
15.在数列 中, , ,曲线 在点 处的切线经过点 ,下列四个结论:
① ;② ;③ ;④数列 是等比数列;其中所有正确结论的编号是 .
【答案】①③④
【解析】∵ ,∴曲线 在点 处的切线方程为 ,
则 .∵ ,∴ ,则 是首项为 1,公比为 的等比数列,从而 ,
, .故所有正确结论的编号是①③④.
16.已知双曲线 的离心率为 2, , 分别是双曲线的左、右焦点,点 ,
,点 为线段 上的动点,当 取得最小值和最大值时, 的面积分别为 ,
,则 .
【答案】4
【解析】由 ,得 ,故线段 所在直线的方程为 ,又点 在线段
上,可设 ,其中 , ,
ABC∆ D BC E AD BD DCλ= 1
3CE AB ACµ= +
λ µ+ =
1
3
−
( )1 1 1 1 1
3 3 3 3 3CE CB CA AC CB CA CD CA
λµ µ µ+ = − + = + − − = + − −
E AD
1 1
3 2
λ + = 1 1
3 2
µ− − = 1 5,2 6
λ µ= = − 1
3
λ µ+ = − 1
3
−
{ }na 1 1a = 0na ≠ 3y x= ( )3,n na a ( )1,0na +
2
2
3a = 3
1
3a =
4
1
65
27i
i
a
=
=∑ { }na
2' 3y x= 3y x= ( )3,n na a ( )3 23n n ny a a x a− = −
( )3 2
13n n n na a a a+− = − 0na ≠ 1
2
3n na a+ = { }na 2
3 2
2
3a =
3
4
9a =
4
4
1
21 653
2 271 3
i
i
a
=
− = =
−
∑
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F ( ,0)M a−
(0, )N b P MN 1 2PF PF⋅
1 2PF F△ 1S
2S 2
1
S
S
=
2ce a
= = 2 , 3c a b a= = MN 3( )y x a= + P
MN ( , 3 3 )P m m a+ [m a∈ − 0]由于 , ,即 , ,
得 ,
所以 .由于 , ,
可知当 时, 取得最小值,此时 ,
当 时, 取得最大值,此时 ,则 ,故答案为 4.
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12 分)在 中, , 是 的内角平分线,点 在线段 上,且
.
(1)求 的值;
(2)若 ,求 的面积.
【解析】(1)在 中,由正弦定理得 ,即 ,
在 中,由正弦定理得 ,即 ,
两式相除得 ,即 ,
∴ ,即 ,又 ,所以 ,故 .
(2)由 ,得 是锐角,于是 ,
1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 1( 2 ,0)F a− 2 (2 ,0)F a
1 2( 2 , 3 3 ), (2 , 3 3 )PF a m m a PF a m m a= − − − − = − − −
2 2 2 2
1 2
3 134 6 4( )4 4PF PF m ma a m a a⋅ = + − = + − [m a∈ − 0]
3
4m a= − 1 2PF PF⋅ 3
4Py a=
0m = 1 2PF PF⋅ 3Py a= 2
1
3 4
3
4
S a
S a
= =
ABC∆ 90BAC∠ = ° AD BAC∠ D BC
2BD CD=
sin B
1AD = ABC∆
ABD∆
sin sin
BD AD
BAD B
=∠ sin 45 sin
BD AD
B° =
ACD∆ ( )sin sin 90
CD AD
CAD B
=∠ °− sin 45 cos
CD AD
B
=°
sin 1
cos 2
B CD
B BD
= = 1sin cos2B B=
( )2 2 21 1sin cos 1 sin4 4B B B= = − 2 1sin 5B = 0 B π< < sin 0B > 5sin 5B =
90BAC∠ = ° B 2 5cos 5B =所以 ,
在 中,由正弦定理得 ,于是 ,
所以 .
18.(12 分)如图,四边形 为矩形,平面 平面 , , ,
, ,点 在线段 上.
(1)求证: 平面 ;
(2)若二面角 的余弦值为 ,求 的长度.
【解析】(1)证明:∵ ,∴ ,又平面 平面 ,平面 平面
, 平面 ,∴ 平面 .
(2)以 为原点,以 , , 为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , , , , ,
∴ , ,
由题知, 平面 ,∴ 为平面 的一个法向量,
设 ,则 ,∴ ,
( )sin sin 45 sin cos45 cos sin 45BDA B B B° °∠ = + = + ° 3 10
10
=
ABD∆ sin 3 2
sin 2
BDAAB AD B
∠= = 3 2tan 4AC AB B= =
1 1 3 2 3 2 9
2 2 2 4 8ABCS AB AC∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
ABCD ABEF ⊥ ABCD / /EF AB 90BAF∠ = °
2AD = 1AB AF= = P DF
AF ⊥ ABCD
D AP C− − 6
3
PF
90BAF∠ = ° AB AF⊥ ABEF ⊥ ABCD ABEF
ABCD AB= AF ⊂ ABEF AF ⊥ ABCD
A AB AD AF x y z
( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,2,0C ( )0,2,0D ( )0,0,1F
( )0,2, 1FD = − ( )1,2,0AC = ( )1,0,0AB =
AB ⊥ ADF ( )1,0,0AB = ADF
( )0 1FP FDλ λ= ≤ > 2 (1,0)F
M 2 2 2x y b+ = M M 2 2 2x y b+ =
1 2( 1,0), (1,0), 1F F c− =
(3,0)H 1 22 4 2 6a HF HF∴ = + = + = 3, 2 2a b∴ = =
2 2
19 8
x y+ =
( )1 1 2 2, , ( , )P x y Q x y
2 2
1 1 19 8
x y+ =
( ) ( ) 2
2 22 21 1
2 1 1 11 1 8(1 ) ( 3)9 3
x xPF x y x= − + = − + − = −
10 3x< < 1
2 3 3
xPF = − M
2
2 2 2 2 2 1
1 1 1 1
1| | 8 8(1 ) 89 3
xPM OP OM x y x x= − = + − = + − − =
2 1 1
1 13 33 3PF PM x x+ = − + = 2 3QF QM+ =
2 2 3 3 6F P F Q PQ+ + = + = 2PF Q 6方法 2:设 的方程为
由 得 ,则 ,
,
与圆 相切, 即 ,
∵ ,∵ ,∴ ,
同理 ,∴ ,
因此△ 的周长是定值 .
21.(12 分)已知函数 , .
(1)若 , ,求实数 的值.
(2)若 , ,求正实数 的取值范围.
【解析】(1)由题意,得 , ,
由 , …①,得 ,
令 ,则 ,
PQ ( 0, 0),y kx m k m= + < > 1 1 2 2( , ), ( , ),P x y Q x y
2 2{ ,
19 8
y kx m
x y
= +
+ =
2 2 2(8 9 ) 18 9 72 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
18 9 72,8 9 8 9
km mx x x xk k
− −+ = =+ +
2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4PQ k x x k x x x x∴ = + − = + − −
2
2 2
2 2
18 9 721 ( ) 48 9 8 9
km mk k k
− −= + − ×+ +
2 2
2
2 2
4 9 8 (9 8)1 (8 9 )
k mk k
× × × − += + +
PQ∵ 2 2 8x y+ = 2
2 2,
1
m
k
∴ =
+
22 2 1 ,m k= + ∴
2
6
8 9
kmPQ k
= − +
( ) ( ) 2
2 22 21 1
2 1 1 11 1 8(1 ) ( 3)9 3
x xPF x y x= − + = − + − = − 10 3x< < 1
2 3 3
xPF = −
2
2 2
1 (9 ) 33 3
xQF x= − = − 1 2
2 2 2 2 2
6 6 66 6 63 8 9 8 9 8 9
x x km km kmF P F Q PQ k k k
++ + = − − = + − =+ + +
2PF Q 6
( ) xf x e x= − ( ) ( ) ( )lng x x k x k x= + + −
1k = ( ) ( )f t g t′ ′= t
,a b R+∈ ( ) ( ) ( ) ( )0 0f a g b f g ab+ ≥ + + k
( ) 1xf x e′ = − ( ) ( )lng x x k=′ +
1k = ( ) ( )f t g t′ = ′ ( )ln 1 1 0te t− + − =
( ) ( )ln 1 1tt e tϕ = − + − ( ) 1
1
tt e t
ϕ =′ − +因为 ,所以 在 单调递增,
又 ,所以当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减;
所以 ,当且仅当 时等号成立.
故方程①有且仅有唯一解 ,实数 的值为 0.
(2)解法一:令 ( ),
则 ,
所以当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减;
故
.
令 ( ),
则 .
(i)若 时, , 在 单调递增,
所以 ,满足题意.
(ii)若 时, ,满足题意.
( ) ( )2
1 0
1
tt e
t
ϕ = +
+
′ >′ ( )tϕ′ ( )1,− +∞
( )0 0ϕ′ = 1 0x− < < ( ) 0tϕ′ > ( )tϕ
0x > ( ) 0tϕ′ < ( )tϕ
( ) ( )0 0tϕ ϕ≤ = 0t =
0t = t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0h x f x bx g b f g= − + − − 0x >
( ) ( )1xh x e b=′ − +
( )ln 1x b> + ( ) 0h x′ > ( )h x
( )0 ln 1x b< < + ( ) 0h x′ < ( )h x
( ) ( )( )ln 1h x h b≥ + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln 1 0 0 ln 1f b g b f g b b= + + − − − +
( ) ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1 lnb k b k b b k k= + + − + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1 lnt x x k x k x x k k= + + − + + − 0x >
( ) ( ) ( )ln ln 1t x x k x= + − +′
1k > ( ) 0t x′ > ( )t x ( )0,+∞
( ) ( )0 0t x t> =
1k = ( ) 0t x =(iii)若 时, , 在 单调递减,
所以 .不满足题意.
综上述: .
解法二:先证明不等式, , , …(*).
令 ,
则当 时, , 单调递增,
当 时, , 单调递减,
所以 ,即 .
变形得, ,所以 时, ,
所以当 时, .
又由上式得,当 时, , , .
因此不等式(*)均成立.
令 ( ),
则 ,
(i)若 时,当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减;
故
0 1k< < ( ) 0t x′ < ( )t x ( )0,+∞
( ) ( )0 0t x t< =
1k ≥
1 0xe x− − ≥ 1 lnx x− ≥ ln 1 0x x x− − ≤
( ) 1xx e xϕ = − −
0x ≥ ( ) 1 0xx eϕ =′ − ≥ ( )xϕ
0x ≤ ( ) 1 0xx eϕ =′ − ≤ ( )xϕ
( ) ( )0 0xϕ ϕ≥ = ( )1 0xe x x R− − ≥ ∈
1xe x≥ + 1x > − ( )ln 1x x≥ +
0x > 1 lnx x− ≥
0x > 1 11 lnx x
− ≥ 1 lnx x x− ≥ − ln 1 0x x x− − ≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0h x g x ax f a f g= − + − − 0x >
( ) ( )lnh x x k a′ = + −
lna k> ax e k> − ( ) 0h x′ > ( )h x
0 ax e k< < − ( ) 0h x′ < ( )h x
( ) ( )ah x h e k≥ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0a ag e k a e k f a f g= − − − + − −.
(ii)若 时, , 在 单调递增,
所以 .
因此,①当 时,此时 , , ,
则需
由(*)知, ,(当且仅当 时等号成立),所以 .
②当 时,此时 , ,
则当 时,
(由(*)知);
当 时, (由(*)知).故对于任意 , .
综上述: .
(二)、选考题:共 10 分.请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.【极坐标与参数方程】(10 分)
在新中国成立 周年国庆阅兵庆典中,众多群众在脸上贴着一颗红心,以此表达对祖国的热爱之情.在数学
中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点 为
极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为
( ), 为该曲线上的任意一点.
( )1 1 lnk a k k k= − + − −
0 lna k< ≤ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x ( )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )0 0h x h f a f> = − 1ae a= − −
0 1k< ≤ ln 0k < lna k> ( ) ( )1 1 ln 0h x k a k k k≥ − + − − ≥
1 0,
1 0,
k
k klnk
− ≥
− − ≥
ln 1 0k k k− − ≤ 1k = 1k =
1k > ln 0k > 0a >
lna k> ( ) ( )1 1 lnh x k a k k k≥ − + − − ( )1 ln 1 lnk k k k k> − + − −
ln 1 0k k= − + − >
0 lna k< ≤ ( ) 1 0ah x e a> − − > 0a > ( ) 0h x >
1k ≥
70
O
x 1 sinρ θ= −
1 sin , 0p θ ρ= − > M(1)当 时,求 点的极坐标;
(2)将射线 绕原点 逆时针旋转 与该曲线相交于点 ,求 的最大值.
【解析】(1)设点 在极坐标系中的坐标 ,由 ,得 , ,
, 或 ,所以点 的极坐标为 或 .
(2)由题意可设 , .由 ,得 ,
.
,故 时, 的最大值为 .
23.【选修 4-5:不等式选讲】(10 分)
已知 .
(1)关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围;
(2)若 ,且 ,求 的取值范围.
3
2OM = M
OM O 2
π
N MN
M 3 ,2
θ
1 sinρ θ= − 3 1 sin2
θ= − 1sin 2
θ = −
0 2θ π≤ < ∴ 7
6
θ π= 11
6
πθ = M 3 7,2 6
π
3 11,2 6
π
( )1,M ρ θ 2 , 2N
πρ θ + 1 sinρ θ= − 1 1 sinρ θ= −
2 1 sin 1 cos2
πρ θ θ = − + = −
2 2
1 2MN ρ ρ= + ( ) ( )2 21 sin 1 cosθ θ= − + −
( )3 2 sin cosθ θ= − + 3 2 2 sin 4
πθ = − +
5
4
πθ = MN 2 1+
( ) | 2 | | 4 |f x x x= − − −
x 2( ) 3f x a a≥ − a
( ) ( ) 4f m f n+ = m n< m n+【解析】(1) ,所以 ,
恒成立,则 ,解得 .
(2)由(I 知) , ,
则 ,又 ,所以 ,于是 ,
故 .
( )
( )
( )
2 4 2 4
2 4 2 6(2 4)
2 4 2 2
x x x
f x x x x x
x x x
− + − = ≥
= − − + = − < ≥
8m n+ >