2020年高考数学金榜冲刺卷（五）（理、原卷版）

1 2020 年高考金榜冲刺卷（四） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 , ，所以 .故选 D. 2．已知 ，则复数 在复平面上所对应的点位于（ ） A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】B 【解析】由 ，则 ，所以复数 在复平面上所对应的点位于虚轴上，故 选 B． { }2, 1,0,1,2A = − − { }|B x y x= = − A B = { }1,2 { }0,1,2 { }2, 1− − { }2, 1,0− − { }2, 1,0,1,2A = − − { }0B x x= ≤ { }2, 1,0A B = − − 11 zi ii = +− z 11 zi ii = +− ( 1)( 1) 2 2i iz ii i + − −= = = z2 3．若 为两条不同的直线， 为平面，且 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 且 能推出 ，充分性成立；若 且 ，则 或者 ，必要性 不成立，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A. 4．如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面 正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概 率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意,正方形的面积为 22=4.圆锥的底面面积为 π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概 率是 1- .故选 A. 5．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 过定点（1，0），（1，0）关于 x=1 对称的点还是（1，0），只有 过此点. 故选项 B 正确. l m， α l α⊥ //m α m l⊥ l α⊥ / /m α m l⊥ l α⊥ m l⊥ / /m α m α⊂ / /m α m l⊥ π1 4 − π 12 π 4 π1 12 − π 4 lny x= 1x = ln(1 )y x= − ln(2 )y x= − ln(1 )y x= + ln(2 )y x= + y lnx= ( )y ln 2 x= −3 6．已知向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 , ， ,设 与 的夹角为 ，则 . 所求的 在 方向上的投影为 = ,故选 B 项. 7．执行如图的程序框图，已知输出的 。若输入的 ，则实数 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由程序框图有 ，当 时， ，所以 ；当 时，由 有 ，综上有 ，所以 的最大值为 . 故选 D. 8．已知 满足 ， 的最大值为 ，则直线 过定点（ ） ( ) ( )4, 7 , 3, 4a b= − = − 2a b−  b 2 2− 2 5− 2 5 ( ) ( )4, 7 , 3, 4a b= − = −   ( )2 2,1a b∴ − = −  ( )22 2 1 5a b− = − + =  ( ) ( )2 2 3 1 4 10a b b− ⋅ = − × + × − = −   2a b−  b θ ( )2 10 2 5cos 55 52 a b b a b b θ − ⋅ −= = = − ×− ⋅       ∴ 2a b−  b 2 cosa b θ− ⋅  2 55 25  × − = −    [ ]0,4s∈ [ ],t m n∈ n m− 2 3 , 1 4 , 1={ t t t t tS < − ≥ 1t < [ ]3 0,4S t= ∈ 0 1t≤ < 1t ≥ [ ]24 0,4S t t= − ∈ 1 4t≤ ≤ 0 4t≤ ≤ n m− 4 ,x y 2 0 2 0 8 0 x y x y − ≥  − ≥  + − ≤ ( )0z ax by a b= + > > 2 1 0ax by+ - =4 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 满足 ，作出可行域如图： 由图可知， 为目标函数取得最大值的最优解，联立 ，解得 ， ，即 ，所以 ，代入 ，得 ，即 ，由 ，解得 ， 直线 过定点 ，故选 A. 9．已知函数 ，则下列判断错误的是（ ） A． 为偶函数 B． 的图像关于直线 对称 C． 的值域为 D． 的图像关于点 对称 【答案】D 【解析】f（x）＝1+cos（4x ） sin（4x ）＝1+2sin（4x ）＝1+2cos4x， ( )3,1 ( )1,3− ( )1,3 ( )3,1− ,x y 2 0 2 0 8 0 x y x y − ≥  − ≥  + − ≤ C 2 8 0 y x y =  + − = ( )6,2C 6 2 2a b∴ + = 3 1a b+ = 1 3b a= − 1 0ax by+ - = 3 1 0ax y ay+ − − = ( )3 1 0a x y y− + − = 3 0 1 0 x y y − =  − = 3 1 x y =  = ∴ 1 0ax by+ - = ( )3,1 ( ) 22cos 2 3sin 46 3f x x x π π   = + + +       ( )f x ( )f x 4x π= ( )f x [ ]1,3− ( )f x ,08 π −   π 3 + 3+ π 3 + π π 3 6 + +5 f（x）为偶函数，A 正确；4x 得 ,当 k=1 时，B 正确；因为 2cos4x 的值域为 ，C 正确；故 D 错误．故选 D． 10．已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆 相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示： 由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则 ，又 ， 四边形 为平行四边形， ， 又 ，解得： ， 点 到直线 距离： ，解得： ，即 ， ， .故选 C. 11．已知三棱锥 的外接球的表面积为 ， ，则三棱锥 体 积的最大值为（ ） A． B． C． D． kπ,= kπx 4 = [ ] ( )2 2 f x∈ − ∴， ， [ ]1,3− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F P : 4 3 0l x y− = A B | | | | 6AF BF+ = P l 6 5 9(0, ]5 3(0, ]2 5(0, ]3 1 3( , ]3 2 F′ P ,AF BF′ ′ ,A B OA OB= OF OF′ = ∴ AFBF′ AF BF′∴ = 2 6AF BF BF BF a′+ = + = = 3a = P l 3 6 5 5 bd −= ≥ 2b ≥ 2 2 29 2a c c− = − ≥ 0 5c∴ < ≤ 50, 3 ce a  ∴ = ∈   D ABC− 128π 4, 4 2AB BC AC= = = D ABC− 27 32 10 8 6 3 + 16 6 3 + 32 2 16 6 3 +6 【答案】D 【解析】 设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，故 . 设球心 在底面上的投影为 ，因为 ，故 为 的外心. 因为 ， ，所以 ，故 为直角三角形， 故 为 的中点，所以 ，设 到底面 的距离为 ，则 ，所以三棱锥 的体积的最大值为 .故选 D. 12．定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，函数 是定 义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零点的的个数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由于 ，所以，函数 的周期为 ，且函数 为偶函数，由 ，得出 ，问题转化为函数 与函数 图象的交点个数，作出函数 O R 24 128Rπ π= 4 2R = O E OA OC OB= = E ABC∆ 4AB BC= = 4 2AC = 2 2 2AC AB BC= + ABC∆ E AC 2 2 2 6OE OA AE= − = D ABC h 2 6 4 2h OE R≤ + = + D ABC− ( )1 1 32 2 16 64 4 2 6 4 23 2 3 +× × × × + = R ( )f x ( 1) ( 1)f x f x− = + [ 1,0]x∈ − 2( )f x x= ( )g x R 0x > ( ) lgg x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )y f x= 2 ( )y f x= ( ) 0h x = ( ) ( )f x g x= ( )y f x= ( )y g x=7 与函数 的图象如下图所示， 由图象可知， ，当 时， ，则函数 与函数 在 上没有交点，结合图像可知，函数 与函数 图象共有 11 个交点，故选 C. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设函数 ，则 的值为 . 【答案】 【解析】∵函数 ，∴f （5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1 ． 故答案为 ． 14．已知数列 中， ， ，且 ，则 的值为 . 【答案】2 【解析】因为 ，由 ， ，得 ；由 ， ，得 ；由 ， ，得 ；由 ， ，得 ；由 ， ，得 ；由 ， ，得 ,由此推理可得数列 是一个周期为 6 的周期数列，所以 ，故答案为 2. 15．已知双曲线 C： （ ， ）的右焦点为 ，点 A、B 分别在直线 和 双曲线 C 的右支上，若四边形 （其中 O 为坐标原点）为菱形且其面积为 ，则 . ( )y f x= ( )y g x= ( )0 1f x≤ ≤ 10x > ( ) lg 1g x x= > ( )y f x= ( )y g x= ( )10,+∞ ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0 3 , 0 xx xf x f x x  − ≤=  − > ( )5f 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 xx 2 x 0f x f x 3 x 0  − ≤=  − ， ， ＞ 1 2 = 1 2 { }na 1 1a = 2 2a = ( )2 1n n na a a n N ∗ + +⋅ = ∈ 2019a ( )* 2 1n n na a a n N+ +⋅ = ∈ 1 1a = 2 2a = 3 2a = 2 2a = 3 2a = 4 1a = 3 2a = 4 1a = 5 1 2a = 4 1a = 5 1 2a = 6 1 2a = 5 1 2a = 6 1 2a = 7 1a = 6 1 2a = 7 1a = 8 2a =  { }na 2019 3 2a a= = 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( ),0F c 2ax c = − OABF 3 15 a =8 【答案】 【解析】如图： 设点 ， ，因为 ，则 ，又 ，则 ，化简得 ， , ① ，又 ②， ③，∴由①②③得 . 16．在锐角 中， ， ，则中线 长的取值范围是 . 【答案】 【解析】设 ， ，对 运用正弦定理，得到 ，解得 ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组 ，解得 ，故 ，结合二次函数性质，得到 3 2 ,aA tc  −   0t > OF AB c= = 2 ,aB c tc  − +   OB AF⊥ 2 2 1t t a ac cc c ⋅ = − − + − − 2 2 2 2(1 )at b c = + 2 2 2, 1a aB c bc c   ∴ − + +    2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 a ac bc c a b ∴ −  − + +  =  2 2 1 3 1512 2 ac b c × × + = 2 2 2c a b− = 3, 3, 2 3a b c= = = ABC∆ 2BC = sin sin 2sinB C A+ = AD 133 2      ， ,AB c AC b= = 2BC a= = sin sin 2sinB C A+ = 2 4b c a+ = = 4c b= − ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 22 2 4 4 4 4 4 4 4 b c b b c b b b c b  + = + − > + = − + >  + > = − 3 5 2 2b< < ( ) 24 4bc b b b b= − = − +9 ，运用向量得到 ， 所以 ，结合 bc 的范围，代入，得到 的范围为 . 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）某高校在 2019 的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在 ，随机抽取 200 名考生成绩 作为样本研究，按照笔试成绩分成 5 组，第 1 组成绩为 ，第 2 组成绩为 ，第 3 组成绩 为 ，第 4 组成绩为 ，第 5 组成绩为 ，样本频率分布直方图如下： （1）估计全体考生成绩的中位数； （2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入 第二轮面试，从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行外语交流面试，求这 2 名学生均来自同一组的概率． 【解析】（1）样本中位数为 ，从频率分布直方图可知 ， 从而有 ，解得 ,故全体考生成绩的中位数约为 172.50． （2）记 A 为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第 3 组抽取 2 人，第 4 组抽取 3 人，第 5 组抽取 1 人， 记第 3 组学生为 ，第 4 组学生为 ，第 5 组学生为 ； 15 44 bc< ≤ ( )1 2AD AB AC= +   2 22 2 2 21 1 42 cos 22 2 2 b cAD AB AC AB AC b c bc bc θ + −= + + ⋅ ⋅ = + + ⋅     2 21 12 2 4 28 42 2b c bc= + − = − AD 133, 2      [ ]160,185 [ )160 165, [ )165 170, [ )170 175, [ )175,180 [ ]180,185 0x [ )0 170,175x ∈ ( )00.05 0.35 170 0.04 0.5x+ + − × = 0 172.50x = 1 2,a a 1 2 3, ,b b b c10 从这 6 人中抽取 2 人有 15 种方法，分别为： 其中事件 A 共有 4 种，为 由古典概型公式得 ,故这两名学生均来自同一组的概率为 ． 18．（12 分）已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【解析】（1）设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ， ． 因为 是 和 的等差中项，所以 ．即 ，化简得 ． 因为公比 ，所以 ．所以 （ ）． （2）因为 ，所以 ． ． 则 ，① .② ①－②得， ，所以 ． 19．（12 分）如图，平面 平面 ，四边形 是菱形， ， ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 3 2 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , a a a b a b a b a c a b a b a b a c b b b b b c b b b c b c ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 2 3, , , , , , ,a a b b b b b b ( ) 4 15P A = 4 15 { }na 2 4a = 3 2a + 2a 4a { }na 22log 1n nb a= − { }n na b n nT { }na 2 4a = 3 4a q= 2 4 4a q= 3 2a + 2a 4a ( )3 2 42 2a a a+ = + ( ) 22 4 2 4 4q q+ = + 2 2 0q q− = 0q ≠ 2q = 2 2 2 4 2 2n n n na a q − −= = × = *n N∈ 2n na = 22log 1 2 1n nb a n= − = − ( )2 1 2n n na b n= − ( ) ( )2 3 11 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − + − ( ) ( )2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n += × + × + × +⋅⋅⋅+ − + − ( )2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n nT n +− = + × + × + ⋅⋅⋅+ × − − ( ) ( ) ( ) 1 1 14 1 2 2 2 2 1 2 6 2 3 21 2 n n nn n − + + − = + × − − = − − −− ( ) 16 2 3 2n nT n += + − ACEF ⊥ ABCD ABCD 60ABC∠ =  / /AF CE11 ， . （1）求四棱锥 的体积； （2）在 上有一点 ，使得 ，求 的值. 【解析】（1）∵四边形 是菱形，∴ ， 又∵平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ∴ 平面 ，在 中, ,设 ,计算得 ，在 梯形 中, 梯形 的面积 ，∴四棱锥 的体积为 . （2）在平面 内作 ,且 ,连接 交 于 ，则点 满足 ,证明如下：∵ ,∴ ,且 , ∴四边形 是平行四边形.∴ , 又菱形 中, .∴ , ∴四边形 是平行四边形 ,∴ ,即 . ∵ ,∴ ,又 ,∴ . AF AC⊥ 2 1AB AF CE= = = B ACEF− BF P / /AP DE BP PF ABCD BD AC⊥ ACEF ⊥ ABCD ACEF ∩ ABCD AC= BD ⊂ ABCD BD ⊥ ACEF ABC∆ 60 , 2ABC AB∠ = ° = BD AC O∩ = 2, 3AC BO= = ACEF / / , , 2, 1AF CE AF AC AC AF CE⊥ = = = ACEF ( )1 1 2 2 32S = × + × = B ACEF− 1 1 3 3 33 3V S BO= × × = × × = ABF / /BM AF 1BM = AM BF P P / /AP DE / / , 1AF CE CE = / /BM CE BM CE= BMEC / / ,BC ME BC ME= ABCD / / ,BC AD BC AD= / / ,ME AD ME AD= ADEM / /AM DE / /AP DE / /BM AF BPM FPA∆ ∼ ∆ 1BM = 1 2 BP BM PF AF = =12 20．（12 分）在平面直角坐标系 中，抛物线 ： ，直线 与 交于 ， 两点， . （1）求 的方程； （2）斜率为 （ ）的直线 过线段 的中点，与 交于 两点，直线 分别交直线 于 两点，求 的最大值. 【解析】（1）由方程组 得 ，解得 ， 所以 ，则 ，又 ，所以 ，故 的方程为 . （2）由（1） ，则线段 的中点坐标 ， 故直线 的方程为 ，由方程组 得 ，设 ，则 ， 直线 的方程 ，代入 ，解得 ，所以 ，同理得 xOy C 2 2 ( 0)x py p= > y x= C O T | | 4 2OT = C k 10 2k< ≤ l OT C ,A B ,OA OB 2y x= − ,M N | |MN 2 2 y x x py =  = 2 2 0x px− = 1 20, 2x x p= = ( ) ( )0,0 , 2 ,2O T p p 2 2OT p= 2 2 4 2OT p= = 2p = p 2 4x y= ( ) ( )0,0 , 4,4O T OT ( )2,2 l ( )2 2y k x− = − 2 2 4 y kx k x y = + −  = 2 4 8 8 0x kx k− + − = 2 2 1 2 1 2, , ,4 4 x xA x B x             1 2 1 24 , 8 8x x k x x k+ = = − OA 1 4 xy x= 2y x= − 1 8 4x x = − 1 1 1 28 ,4 4 xM x x    − − 13 ，所以 .因为 ，所以 ，当 时， 取得最大值 . 21．（12 分）已知函数 . （1）若 是定义域上的增函数，求 的取值范围； （2）设 ， 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围. 【解析】（1） 的定义域为 ， ∵ 在定义域内单调递增，∴ ，即 对 恒成立. 则 恒成立. ∴ ，∵ ，，∴ .所以， 的取值范围是 . （2）将 表示为关于 的函数，由 且 ，得 设方程 ，即 得两根为 ， ，且 . 则 ， ，∵ ， ,∴ ,∴ , 2 2 2 28 ,4 4 xN x x    − −  ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 488 82 2 24 4 4 4 16 4 x x x xx xMN x x x x x x x x + −−= − = =− − − − − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 8 16 32 1 12 4 2 116 16 8 1 1 k k k k k − − = = +− + − − 10 2k< ≤ 8 4 10MN< < 1 2k = MN 4 10 ( ) 2ln ( )af x ax x a Rx = − − ∈ ( )f x a 3 5a > ,m n ( )f x S m n= − S ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 2 2a ax x af x a x x x − +′ = + − = ( )f x ( ) 0f x′ ≥ 2 2 0ax x a− + ≥ 0x > 2 2 1 xa x ≥ + 2 max 2 1 xa x  ≥  +  2 2 11 x x ≤+ 1a ≥ a [ )1,+∞ S 1x 24 4 0a∆ = − > 3 5a > 3 15 a< < ( ) 0f x′ = 2 2 0ax x a− + = 1x 2x 1 20 x x< < ( )1m f x= ( )2n f x= 1 2 1=x x 1 2 2x x a + = 1 1 1 2 102 3x x a < + = < 1 1 13 x< < 1 1 2 2 1 2 2ln 2lna aS m n ax x ax xx x  = − = − − − − −    1 1 1 1 1 1 1 1 1 2ln 2ln 2 2lna a aax x ax x ax xx x x    = − − − − + = − −       14 ∵ ,∴ 代入得 , 令 ，则 ，得 ， ，则 , , ∴ 而且 上递减，从而 , 即 , ∴ . (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求 C 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 距离的最大值． 【解析】（1）由 （t 为参数），因为 ，且 ，所以 C 的普通方程为 ． 由 ρcosθ ρsinθ+4＝0，得 x y+4＝0．即直线 l 的直角坐标方程为得 x y+4＝0； （2）由(1)可设 C 的参数方程为 ( 为参数， )． 2 1 12 0ax x a− + = 1 2 1 2 1 xa x = + 2 2 21 1 1 12 2 1 1 1 1 14 ln 4 ln1 1 2 x xS x xx x    − −= − = −   + +    2 1x t= 1 19 t< < ( ) 1 1 ln1 2 tg t tt −= −+ 1 19 t< < ( )4S g t= ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 2 1 tg t t t − −′ = < + ( )g t 1 ,19      ( ) ( ) 11 9g g t g  < <    ( ) 40 ln3 5g t< < − 160 4ln3 5S< < − xOy 2 2 2 1 1 2 1 tx t ty t     －＝ ，＋ ＝ ＋ l cos 3 sin 4 0ρ θ ρ θ＋ ＋ ＝ l l 2 2 2 1 1 2 1 tx t ty t  −= +  = + 2 2 11 11 t t −− < +  22 2 2 2 2 2 2( ) 1 4 11 1 t tx y t t  −+ = + = + +  2 2 1( 1)x y x+ = ≠ − 3+ 3+ 3+ cos , sin x y α α =  = α π α π− < + + 3 3 3b c a b c a a b c a b c + + ≥ ⋅ ⋅ = a b c ( )2 2b c b c bc a+ = + + > b c a+ > ( )ab ac a b c a+ = + > ab bc b+ > ac bc c+ > 2 2 2ac bc ab a b c+ + > + + a b c+ + ( ) ( )2 2a b c a b c+ + > + + ( )2 2a b c a b c+ + >+ +