2020年高考数学金榜冲刺卷（四）（文、原卷版）

1 2020 年高考金榜冲刺卷（四） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则复数 在复平面上所对应的点位于（ ） A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 3．若 为两条不同的直线， 为平面，且 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面 正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概 率是（ ） { }2, 1,0,1,2A = − − { }|B x y x= = − A B = { }1,2 { }0,1,2 { }2, 1− − { }2, 1,0− − 11 zi ii = +− z l m， α l α⊥ //m α m l⊥2 A． B． C． D． 5．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 7．执行如图的程序框图，已知输出的 。若输入的 ，则实数 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知 满足 ， 的最大值为 ，则直线 过定点（ ） A． B． C． D． π1 4 − π 12 π 4 π1 12 − lny x= 1x = ln(1 )y x= − ln(2 )y x= − ln(1 )y x= + ln(2 )y x= + ( ) ( )4, 7 , 3, 4a b= − = − 2a b−  b 2 2− 2 5− 2 5 [ ]0,4s∈ [ ],t m n∈ n m− ,x y 2 0 2 0 8 0 x y x y − ≥  − ≥  + − ≤ ( )0z ax by a b= + > > 2 1 0ax by+ - = ( )3,1 ( )1,3− ( )1,3 ( )3,1−3 9．已知函数 ，则下列判断错误的是（ ） A． 为偶函数 B． 的图像关于直线 对称 C． 的值域为 D． 的图像关于点 对称 10．已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆 相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．已知三棱锥 的外接球的表面积为 ， ，则三棱锥 体 积的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，函数 是定 义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零点的的个数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设函数 ，则 的值为 . 14．已知数列 中， ， ，且 ，则 的值为 . 15．已知双曲线 C： （ ， ）的右焦点为 ，点 A、B 分别在直线 和 ( ) 22cos 2 3sin 46 3f x x x π π   = + + +       ( )f x ( )f x 4x π= ( )f x [ ]1,3− ( )f x ,08 π −   2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F P : 4 3 0l x y− = A B | | | | 6AF BF+ = P l 6 5 9(0, ]5 3(0, ]2 5(0, ]3 1 3( , ]3 2 D ABC− 128π 4, 4 2AB BC AC= = = D ABC− 27 32 10 8 6 3 + 16 6 3 + 32 2 16 6 3 + R ( )f x ( 1) ( 1)f x f x− = + [ 1,0]x∈ − 2( )f x x= ( )g x R 0x > ( ) lgg x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0 3 , 0 xx xf x f x x  − ≤=  − > ( )5f { }na 1 1a = 2 2a = ( )2 1n n na a a n N ∗ + +⋅ = ∈ 2019a 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( ),0F c 2ax c = −4 双曲线 C 的右支上，若四边形 （其中 O 为坐标原点）为菱形且其面积为 ，则 . 16．在锐角 中， ， ，则中线 长的取值范围是 . 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）某高校在 2019 的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在 ，随机抽取 200 名考生成绩 作为样本研究，按照笔试成绩分成 5 组，第 1 组成绩为 ，第 2 组成绩为 ，第 3 组成绩 为 ，第 4 组成绩为 ，第 5 组成绩为 ，样本频率分布直方图如下： （1）估计全体考生成绩的中位数； （2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入 第二轮面试，从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行外语交流面试，求这 2 名学生均来自同一组的概率． 18．（12 分）已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 19．（12 分）如图，平面 平面 ，四边形 是菱形， ， ， ， . OABF 3 15 a = ABC∆ 2BC = sin sin 2sinB C A+ = AD [ ]160,185 [ )160 165, [ )165 170, [ )170 175, [ )175,180 [ ]180,185 { }na 2 4a = 3 2a + 2a 4a { }na 22log 1n nb a= − { }n na b n nT ACEF ⊥ ABCD ABCD 60ABC∠ =  / /AF CE AF AC⊥ 2 1AB AF CE= = =5 （1）求四棱锥 的体积； （2）在 上有一点 ，使得 ，求 的值. 20．（12 分）在平面直角坐标系 中，抛物线 ： ，直线 与 交于 ， 两点， . （1）求 的方程； （2）斜率为 （ ）的直线 过线段 的中点，与 交于 两点，直线 分别交直线 于 两点，求 的最大值. 21．（12 分）已知函数 . （1）若 是定义域上的增函数，求 的取值范围； （2）设 ， 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围. (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴 B ACEF− BF P / /AP DE BP PF xOy C 2 2 ( 0)x py p= > y x= C O T | | 4 2OT = C k 10 2k< ≤ l OT C ,A B ,OA OB 2y x= − ,M N | |MN ( ) 2ln ( )af x ax x a Rx = − − ∈ ( )f x a 3 5a > ,m n ( )f x S m n= − S xOy 2 2 2 1 1 2 1 tx t ty t     －＝ ，＋ ＝ ＋6 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求 C 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 距离的最大值． 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知 ， ， 为一个三角形的三边长.证明： （1） ； （2） . l cos 3 sin 4 0ρ θ ρ θ＋ ＋ ＝ l l a b c 3b c a a b c + + ≥ ( )2 2a b c a b c+ + >+ +