2020年高考数学金榜冲刺卷（五）（文、解析版）

1 2020 年高考金榜冲刺卷（五） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ,∴ ,∵集合 ,∴选项 A 满足要求,故选 A. 2．在等差数列 中，已知 ，则 （ ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【解析】因 ,故应选 C. { }| 0B x x= ≥ A B A= A { }1,2 { }| 1x x ≤ { }1,0,1− R A B A∩ = A B⊆ { | 0}B x x= ≥ { }na 5 10 12a a+ = 7 93a a+ = 24)132(22643,12132 11971105 =+=+=+=+=+ dadaaadaaa2 3．设复数 ，定义 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为 ，所以 ， 则 .故选：B. 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点 到焦点的距离为4，则 的值为（ ） A．4 B．－2 C．4 或－4 D．12 或－2 【答案】C 【解析】抛物线上的点 到焦点的距离与到抛物线的准线 的距离相等，所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ，将 代入方程 得 . 5．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．5 B．41 C．25 D．1 【答案】B 【解析】 z a bi= + ( , )a b∈R z b ai= + 1 2 z i i i =+ − z = 1 3 5 5 i− + 1 3 5 5i− 3 1 5 5 i− + 3 1 5 5 i− − 1 2 z i i i =+ − ( ) ( )( ) (1 ) 2(1 ) ( 1 )(2 ) 3 1 2 2 2 5 5 5 i i ii i i iz ii i i + ++ − + += = = = − +− − + 1 3 5 5z i= − ( 2)P m −， m ( 2)P m −， 2 py = 2 42 p + = 4p = 2 8x y= − ( 2)P m −， 2 8x y= − 4m = ± x y 2 0 0 3 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ 2 2( 1)z x y= + +3 由题得不等式组对应的可行域如图所示， 表示区域内的动点(x,y)到点 P(-1,0)的最大距离的平方， 联立 得点 A(3,5),所以 z 的最大值为 .故选：B. 6．为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入 ， 则图中空白框应填入（ ） A． B． C． D． 【答案】A ( )2 21z x y= + + 3 2 0 x x y =  − + = 2 23+1 +5 =41（ ） 1 15,x = 2 3 416, 18, 20x x x= = = 5 6 722, 24, 25,x x x= = = 6 7 Si S> =, 6, 7 Si S≥ = 6 7i S S> =, 6, 7i S S≥ =4 【解析】由题可知，该组数据共有七项，为使数据全部可以输入流程图中，则 ，排除 B、D 选项；由 方差公式可知，所有项之和要乘以项数的倒数，即 ，排除 C,故选：A. 7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺， 无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的 三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（　　） A．40 B．43 C．46 D．47 【答案】C 【解析】 由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面 平面 ， ，底面梯形是等腰梯形，高为 3 ,梯形 的高为 4 ,等腰梯形 的高为 ，三个梯形的面积之和为 ,故选 C. 8．函数 的图象大致是（ ） 6i > 7 SS = ABCD ⊥ ABEF 2, 6, 4CD AB EF= = = ABCD FEDC 9 16 5+ = 2 6 4 6 2 44 3 5 462 2 2 + + +× + × + × = ln xy x =5 A B C D 【答案】D 【解析】函数 的定义域为 ， ，∴排除 B，当 时， 函数在 上单调递增，在 上单调递减， 故排除 A,C，故选 D． 9．某校早上 6：30 开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上 6：00~6：30 之间到校，且每人在该时间段 的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设小张与小王的到校时间分别为 6：00 后第 分钟，第 分钟， 可以看成平面中的点试验的全部结果 所构成的区域为 是一个正方形区域， ln xy x = { | 0}x x ≠ ln lnx xf x f xxx x −− = = − = − （ ） （ ） 0x > 2 ln ln 1-ln, ,x x xy yx x x = = =′ ( )0,e ( ),e +∞ 25 36 11 36 25 30 5 30 x y ( ),x y ( ){ }, 0 30,0 30x y x yΩ = ≤ ≤ ≤ ≤6 对应的面积 ，则小张与小王至少相差 5 分钟到校事件 (如阴影部分) 则符合题意的区域 ，由几何概型可知小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为 .故选：A. 10．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个 阳马与一个鳖臑的组合体，已知 平面 ，四边形 为正方形， ， ，若鳖牖 的体积为 l，则阳马 的外接球的表面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，因为 平面 ，四边形 为正方形， ， ， 又由鳖牖 的体积为 ，所以 ， 解得 ，而阳马 的外接球的直径是以 为宽，长，高的长方体的体对角线，所 以 ，即 ，球的表面积为 ．故选 D． 30 30 900S = × = ( ){ }, 5A x y x y= − ≥ 25 25 625AS = × = 625 25 900 36P = = PA ⊥ ABCE ABCD 2AD = 1ED = P ADE− P ABCD− 20π 19π 18π 17π PA ⊥ ABCE ABCD 2AD = 1ED = P ADE− 1 1 1 1 2 1 13 3 2p AED AEDV PA S PA− = × × = × × × × =  3PA = P ABCD− , ,AD AB AP 2 2 2 22 4 4 9 17R AD AB AP= + + = + + =（ ） 24 17R = 24 17Rπ π=7 11．已知单调函数 的定义域为 ，对于定义域内任意 ， ，则函数 的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，对任意的 ，都有 ，又由 是定义在 上的 单调函数，则 为定值，设 ，则 ，又由 ，∴ ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以零点所在的区间为（3，4）. 12．已知双曲线 的离心率为 2， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 ， ，点 为线段 上的动点，当 取得最小值和最大值时， 的面积分别为 ， ，则 （ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】由 ，得 ，故线段 所在直线的方程为 ，又点 在线段 上，可设 ，其中 ， ，由于 ， ，即 ， ， 得 ， 所以 ．由于 ， ， ( )f x (0, )+∞ x [ ]2( ) log 3f f x x− = ( ) ( ) 7g x f x x= + − (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (0, )x∈ +∞ [ ]2( ) log 3f f x x− = ( )f x ( )0 +∞， 2( ) logf x x− 2( ) logt f x x= − ( ) 2logf x x t= + ( ) 3f t = ( ) 2log 3f t t t= + = 2t = ( ) 2log 2f x x= + ( ) 2log 5g x x x= + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0 3 0 4 0 5 0g g g g g< < < > >， ， ， ， 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F ( ,0)M a− (0, )N b P MN 1 2PF PF⋅  1 2PF F△ 1S 2S 2 1 S S = 2 3 4 3 2ce a = = 2 , 3c a b a= = MN 3( )y x a= + P MN ( , 3 3 )P m m a+ [m a∈ − 0] 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 1( 2 ,0)F a− 2 (2 ,0)F a 1 2( 2 , 3 3 ), (2 , 3 3 )PF a m m a PF a m m a= − − − − = − − −  2 2 2 2 1 2 3 134 6 4( )4 4PF PF m ma a m a a⋅ = + − = + −  [m a∈ − 0]8 可知当 时， 取得最小值，此时 ， 当 时， 取得最大值，此时 ，则 ，故选 A． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 . 【答案】 【解析】 , 的对称轴为： ,又 为对称轴, ，即 , 又 , ，即 .故答案为 . 14．圆 C： 上的点到直线 的最短距离为_____________. 【答案】 【解析】由题意可得圆 C 的标准方程为 ， 圆心为 C（3，3），半径 r＝2 ，∴圆心 C 到直线 的距离为 d ． 因此，圆 上的点到直线 x+y＝0 的最短距离为 d﹣ ．故答案为 ． 15．在 中， 为 上一点， 是 的中点，若 ， ，则 . 3 4m a= − 1 2PF PF⋅  3 4Py a= 0m = 1 2PF PF⋅  3Py a= 2 1 3 4 3 4 S a S a = = ( )2sin 2 2 2y x π πϕ ϕ = + − < ( )0,1x∈ ' ( ) 0;g x > ( )1, ,x∈ +∞ ' ( ) 0;g x < ( )g x ( )0,1 ( )1 +¥， max( ) (1) 1g x g∴ = = 1( ) 0g e = 1(0, )x e ∈ ( ) 0;g x < 1( , )x e ∈ +∞ ( ) 0;g x > ( ) 12 0,1 0, 2a a  ∈ ⇒ ∈   ( )'' 1 2 ( 0)f x a xx = − > 2 0a ≤ ( )'' 0f x > ， ( )f x ( )0 +∞， ( )' =f x 0 ( )0 +∞， 2 0a > ( )'' 10 0 ;2f x x a  > ⇒ ∈  ， ( )'' 10 , ;2f x x a  < ⇒ ∈ +∞   ( )'f x 10 2a     ， 1 ,2a  +∞   ( ) ( )' ' max 1 1 ln(2 ) 1 ln(2 ) 0 2 0,12f x f a a aa  = = − − = − > ⇒ ∈   ( )2 0,1a∈ ( )' '1 12 0, lim x f a f xe e →+∞   = − ⋅ < → −∞   ， ( )'f x ( )0 +∞， 10, 2a  ∈   1 2,x x 1 ln 2 0x ax+ − = 1 2 1 1 2 2 1 2 ln ln1 ln 2 0 1 ln 2 0 2 = x xx ax x ax a x x −+ − = + − = ⇒ −，16 要证： ，只需证： ，即证： 即证： ，即证： , 又 故上式为： , 令 , 故 在 上单增，故 故 式成立，即证. (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10 分） 在新中国成立 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学 中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 为 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 （ ）， 为该曲线上的任意一点. （1）当 时，求 点的极坐标； （2）将射线 绕原点 逆时针旋转 与该曲线相交于点 ，求 的最大值. 1 2 1x x⋅ > ， 1 2ln ln 0x x+ > ( ) ( )1 22 -1 + 2 -1 0ax ax > ( )1 22 2a x x+ > 1 2 1 2 1 2 ln ln 2x x x x x x − >− + 1 20 ,x x< < ( ) 1 1 2 21 12 1 2 2 2 12ln ( ) 1 x x x xx xx x x x  − −  < = ∗+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 '1 2 2 2 2 1 11 40,1 , ( ) ln , ( ) 01 1 1 t txt h t t h tx t t t t t − −= ∈ = − = − = >+ + + ( )h t ( )0,1 ( ) (1) 0,h t h< = ( )∗ 70 O x 1 sinρ θ= − 1 sin , 0p θ ρ= − > M 3 2OM = M OM O 2 π N MN17 【解析】（1）设点 在极坐标系中的坐标 ，由 ，得 ， ， ， 或 ，所以点 的极坐标为 或 . （2）由题意可设 ， .由 ，得 ， . ,故 时， 的最大值为 . 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知 . （1）关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 ，求 的取值范围. 【解析】（1） ，所以 ， 恒成立，则 ，解得 . （2）由（1）知 ， ， 则 ，又 ，所以 ，于是 ， 故 . M 3 ,2 θ     1 sinρ θ= − 3 1 sin2 θ= − 1sin 2 θ = −  0 2θ π≤ < ∴ 7 6 θ π= 11 6 πθ = M 3 7,2 6 π     3 11,2 6 π     ( )1,M ρ θ 2 , 2N πρ θ +   1 sinρ θ= − 1 1 sinρ θ= − 2 1 sin 1 cos2 πρ θ θ = − + = −   2 2 1 2MN ρ ρ= + ( ) ( )2 21 sin 1 cosθ θ= − + − ( )3 2 sin cosθ θ= − + 3 2 2 sin 4 πθ = − +   5 4 πθ = MN 2 1+ ( ) | 2 | | 4 |f x x x= − − − x 2( ) 3f x a a≥ − a ( ) ( ) 4f m f n+ = m n< m n+ ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 2 6(2 4) 2 4 2 2 x x x f x x x x x x x x  − + − = ≥ = − − + = − < ≥ 8m n+ >