2020年高考数学金榜冲刺卷（五）（文、原卷版）

1 2020 年高考金榜冲刺卷（五） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ） A． B． C． D． 2．在等差数列 中，已知 ，则 （ ） A．12 B．18 C．24 D．30 3．设复数 ，定义 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点 到焦点的距离为4，则 的值为（ ） A．4 B．－2 C．4 或－4 D．12 或－2 { }| 0B x x= ≥ A B A= A { }1,2 { }| 1x x ≤ { }1,0,1− R { }na 5 10 12a a+ = 7 93a a+ = z a bi= + ( , )a b∈R z b ai= + 1 2 z i i i =+ − z = 1 3 5 5 i− + 1 3 5 5i− 3 1 5 5 i− + 3 1 5 5 i− − ( 2)P m −， m2 5．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．5 B．41 C．25 D．1 6．为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入 ， 则图中空白框应填入（ ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺， 无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的 三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ） A．40 B．43 C．46 D．47 x y 2 0 0 3 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ 2 2( 1)z x y= + + 1 15,x = 2 3 416, 18, 20x x x= = = 5 6 722, 24, 25,x x x= = = 6 7 Si S> =, 6, 7 Si S≥ = 6 7i S S> =, 6, 7i S S≥ =3 8．函数 的图象大致是（ ） A B C D 9．某校早上 6：30 开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上 6：00~6：30 之间到校，且每人在该时间段 的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为（ ） A． B． C． D． 10．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个 阳马与一个鳖臑的组合体，已知 平面 ，四边形 为正方形， ， ，若鳖牖 的体积为 l，则阳马 的外接球的表面积等于（ ） A． B． C． D． 11．已知单调函数 的定义域为 ，对于定义域内任意 ， ，则函数 的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线 的离心率为 2， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 ， ln xy x = 25 36 11 36 25 30 5 30 PA ⊥ ABCE ABCD 2AD = 1ED = P ADE− P ABCD− 20π 19π 18π 17π ( )f x (0, )+∞ x [ ]2( ) log 3f f x x− = ( ) ( ) 7g x f x x= + − (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F ( ,0)M a−4 ，点 为线段 上的动点，当 取得最小值和最大值时， 的面积分别为 ， ，则 （ ） A．4 B．8 C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 . 14．圆 C： 上的点到直线 的最短距离为_____________. 15．在 中， 为 上一点， 是 的中点，若 ， ，则 . 16．在数列 中， ， ，曲线 在点 处的切线经过点 ，下列四个结论： ① ；② ；③ ；④数列 是等比数列；其中所有正确结论的编号是 . 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点． （1）证明: 平面 ； （2）平面 将四棱锥 分成多面体 和多面体 两部分，求上述两个多面 (0, )N b P MN 1 2PF PF⋅  1 2PF F△ 1S 2S 2 1 S S = 2 3 4 3 ( )2sin 2 2 2y x π πϕ ϕ = + − < ∠ = =， ， ABC∠ AC D 1BD = sin A BCD∆ x y 10 ix ( )1,2, ,10iy i =  y a bx= + dy c x= ⋅ c d 0 x y lniu x= lni yυ =6 根据（1）的判断结果及表中数据，求 关于 的回归方程； （3）已知企业年利润 （单位：千万元）与 ， 的关系为 （其中 ），根据 （2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ． 20．（12 分）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）点 在圆 上，且 在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 , 两点，求 证：△ 的周长是定值． 21．（12 分）已知函数 在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数 的取值范围； （2）记两个极值点为 ，且 ，求证： . (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． y x z x y 27z y xe = − 2.71828e =  ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nu u uυ υ υ ˆˆ ˆ uυ α β= + ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i u u u nu u u u nu υ υ υ υ β = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆ ˆ uα υ β= − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 (1,0)F M 2 2 2x y b+ = M M 2 2 2x y b+ = ( ) ( )2lnf x x x ax a R= − ∈ a 1 2,x x 1 2x x< 1 2 1x x⋅ >7 22．【极坐标与参数方程】（10 分） 在新中国成立 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学 中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 为 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 （ ）， 为该曲线上的任意一点. （1）当 时，求 点的极坐标； （2）将射线 绕原点 逆时针旋转 与该曲线相交于点 ，求 的最大值. 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知 . （1）关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 ，求 的取值范围. 70 O x 1 sinρ θ= − 1 sin , 0p θ ρ= − > M 3 2OM = M OM O 2 π N MN ( ) | 2 | | 4 |f x x x= − − − x 2( ) 3f x a a≥ − a ( ) ( ) 4f m f n+ = m n< m n+