九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试题4（新人教版）

1 第 28 章《锐角三角函数》单元测试题 4 一、选择题（共 9 题；共 27 分） 1.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度 AC=12m，上弦 AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求 上弦 AB 的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 2.下列三角函数值最大的是（　　） A. tan46° B. sin50° C. cos50° D. sin40° 3.如图，从位于六和塔的观测点 C 测得两建筑物底部 A，B 的俯角分别为 45°和 60°．若此 观测点离地面的高度 CD 为 30 米，A，B 两点在 CD 的两侧，且点 A，D，B 在同一水平直线上， 则 A，B 之间的距离为（　　）米． A. 30+10 B. 40 C. 45 D. 30+15 4.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（　　） A. 1： B. ：1 C. 1： D. ：1 5.轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30°方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于 南偏东 75°方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60°方向上， 则 C 处与灯塔 A 的距离是（　　）2 A. 25 海里 B. 25 海里 C. 50 海里 D. 25 海里 6.如图，客轮在海上以 30km/h 的速度由 B 向 C 航行，在 B 处测得灯塔 A 的方向角为北偏东 80°，测得 C 处的方向角为南偏东 25°，航行 1 小时后到达 C 处，在 C 处测得 A 的方向角 为北偏东 20°，则 C 到 A 的距离是（ ） A. 15 km B. 15 km C. 15（ + ）km D. 5（ +3 ）km 7.如图，为了测得电视塔的高度 EC，在 D 处用高 2 米的测角仪 AD，测得电视塔顶端 E 的仰 角为 45°，再向电视塔方向前进 100 米到达 B 处，又测得电视塔顶端 E 的仰角为 60°，则 电视塔的高度 EC 为（　　） A. （ 50 +152 ） 米 B. （ 52 +150 ） 米 C. （ 50 +150 ） 米 D. （52 +152）米3 8.小宇想测量他所就读学校的高度，他先站在点 A 处，仰视旗杆的顶端 C，此时他的视线的 仰角为 60°，他再站在点 B 处，仰视旗杆的顶端 C，此时他的视线的仰角为 45°，如图所 示，若小宇的身高为 1.5m，旗杆的高度为 10.5cm，则 AB 的距离为（ ） A. 9m B. （9﹣ ）m C. （9﹣3 ）m D. 3 m 9.如图，AC 是电线杆 AB 的一根拉线，测得 BC=6 米，∠ACB=52°，则拉线 AC 的长为( ) A. 米 B. 米 C. 6·cos52°米 D. 米 二、填空题（共 8 题；共 24 分） 10.规定 sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则 sin15°= ________． 11.在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，CD⊥AB 于 D，则 tan∠ACD=________． 12.如图所示，BD⊥AC 于点 D ，DE∥AB ，EF⊥AC 于点 F ，若 BD 平分∠ABC ，则与∠CEF 相等的角（不包括∠CEF）的个数是________. 13.计算：cot44°•cot45°•cot46°=________ 14.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度．站在教学楼的 C 处测得旗 杆底端 B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°．若旗杆与教学楼的距离为 9m，则 旗杆 AB 的高度是________ m（结果保留根号）.4 15.在△ABC 中，∠C=90°，sinA= ， BC=12，那么 AC=________． 16.一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光，航行 60 海里至 C 处时发生了侧 翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故 船在它的北偏东 30°方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船 C 处 所需的时间大约为________ 小时（用根号表示）． 17.如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，若 EF=2,BC=5,CD=3，则 tanC 等 于________ 三、解答题（共 6 题；共 36 分） 18.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数 学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭 D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若 AB=132 米，求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，5 tan65°≈2.14） 19.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大 树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的 仰 角 是 48° ， 若 坡 角 ∠FAE=30° ， 求 大 树 的 高 度 （ 结 果 保 留 整 数 ， 参 考 数 据 ： sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73） 20.如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 米的点 D（点 D 与楼底 C 在同 一水平面上）出发，沿斜面坡度为 i=1： 的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B，在点 B 处测得 楼顶 A 的仰角为 53°，求楼房 AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）． 21.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退，红方 在公路上的 B 处沿南偏西 60°方向前进实施拦截，红方行驶 1000 米到达 C 处后，因前方无 法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45°方向前进了相同的距离，刚好在 D 处成功拦 截蓝方，求拦截点 D 处到公路的距离（结果不取近似值）．6 22.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由 45°降为 30°,已知 原滑滑板的长为 5 米,点、、在同一水平地面上． 求:改善后滑滑板会加长多少?（精确到 0.01）（参考数据: ＝1.414, ＝1.732, ＝ 2.449） 23.如图，在坡角为 30°的山坡上有一铁塔 AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水 平线成 45°角时，测得铁塔 AB 落在斜坡上的影子 BD 的长为 6 米，落在广告牌上的影子 CD 的长为 4 米，求铁塔 AB 的高（AB，CD 均与水平面垂直，结果保留根号）． 四、综合题（共 13 分） 24.为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具．如图 1 所示是一辆自行车的实物 图，车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20cm，车轮 半径 28cm，点 A，C，E 在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图 27 （1）求车座点 E 到地面的距离；（结果精确到 1cm） （2）求车把点 D 到车架档直线 AB 的距离．（结果精确到 1cm）． 8 参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.A 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9.D 二、填空题 10. 11. 12.4 13.1 14. 15.5 16. 17. 三、解答题 18.解：过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，设 BE=x， 在 Rt△DEB 中， ， ∵∠DBC=65°， ∴DE=xtan65°． 又∵∠DAC=45°， ∴AE=DE． ∴132+x=xtan65°， ∴解得 x≈115.8， ∴DE≈248（米）． ∴观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米． 19.解：如图，过点 D 作 DG⊥BC 于 G，DH⊥CE 于 H， 则四边形 DHCG 为矩形． 故 DG=CH，CG=DH，DG∥HC，9 ∴∠DAH=∠FAE=30°， 在直角三角形 AHD 中， ∵∠DAH=30°，AD=6， ∴DH=3，AH=3 ， ∴CG=3， 设 BC 为 x， 在直角三角形 ABC 中，AC= = ， ∴DG=3 + ，BG=x﹣3， 在直角三角形 BDG 中，∵BG=DG•tan30°， ∴x﹣3=（3 + ） 解得：x≈13， ∴大树的高度为：13 米． 20.解：如图作 BN⊥CD 于 N，BM⊥AC 于 M． 在 RT△BDN 中，BD=30，BN：ND=1： ， ∴BN=15，DN=15 ， ∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°， ∴四边形 CMBN 是矩形， ∴CM=BM=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ， 在 RT△ABM 中，tan∠ABM= = ， ∴AM=27 ， ∴AC=AM+CM=15+27 ． 21.解：如图，过 B 作 AB 的垂线，过 C 作 AB 的平行线，两线交于点 E；过 C 作 AB 的垂线，10 过 D 作 AB 的平行线，两线交于点 F ，则∠E=∠F=90°，拦截点 D 处到公路的距离 DA=BE+CF． 在 Rt△BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE= BC= ×1000=500 米； 在 Rt△CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000 米， ∴CF= CD=500 米， ∴DA=BE+CF=（500+500 ）米， 故拦截点 D 处到公路的距离是（500+500 ）米． 22.解：在 Rt△ABC 中, ∵AB=5,∠ABC=45°, ∴AC=ABsin45°=5× = , 在 Rt△ADC 中,∠ADC=30°, ∴AD= =5×1.414=7.07, AD﹣AB=7.07﹣5=2.07（米）． 答:改善后滑滑板约会加长 2.07 米． 23.解：过点 C 作 CE⊥AB 于 E，过点 B 作 BF⊥CD 于 F，11 在 Rt△BFD 中， ∵∠DBF=30°，sin∠DBF= = ，cos∠DBF= = ， ∵BD=6， ∴DF=3，BF=3 ， ∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD， ∴四边形 BFCE 为矩形， ∴BF=CE=3 ，CF=BE=CD﹣DF=1， 在 Rt△ACE 中，∠ACE=45°， ∴AE=CE=3 ， ∴AB=3 +1． 答：铁塔 AB 的高为（3 +1）m． 四、综合题 24.（1）解：作 EF⊥AB 于点 F，如右图所示， ∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°， ∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm， 即车座点 E 到车架档 AB 的距离是 63cm， ∵车轮半径 28cm， ∴车座点 E 到地面的距离是 63+28=91cm （2）解：作 EF⊥AB 于点 F，如右图所示， ∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°， ∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm， 即车座点 E 到车架档 AB 的距离是 63cm．