2020年4月普通高考数学全真模拟卷（1）（江苏卷原卷版）

1 / 5 2020 年 4 月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1） 数学 第 I 卷（必做题，共 160 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分. 1．已知集合 ， ，且 ________． 2． 是虚数单位，复数 ，则复数 =______. 3．函数 的定义域为________ 4．执行下图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 _____． 5．已知 为等比数列， ，则 _______ 6．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查， 所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在 ( )2{ }2| 1A x log x= − < { | 2 6}B x x= < < A B = i 2017 1+i iz = z 1 2 2log (1 )y x x= + − 918, 238a b= = n = { }na 2 3 5 1 , 42a a a= = q =2 / 5 [70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____． 7．如图，已知 分别是矩形 的边 的中点， 与 交于点 .若 ， 用 表示 ，则 _________. 8．函数 在点 处的切线的斜率为________ 9．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为 ________. 10．已知 ， ，则 _______. 11．设奇函数 满足对任意 都有 ，且 时， ，则 的值等于_____ 12．已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 到右焦点 的距离 为 ，则 的方程为______. 13．如图，直三棱柱 的各条棱长均为 2， 为棱 上任意一点，则三棱锥 的体 积是___． ,E F ABCD ,BC CD EF AC G ,AB a AD b= =   ,a b AG AG = ( ) cosxf x e x= (0,1) (0, )2 πα ∈ 2sin 2 cos2 1α α= + sinα = ( )( )y f x x R= ∈ t R∈ ( ) (1 )f t f t= − 1[0, ]2x∈ 2( )f x x= − 3(3) ( )2f f+ − ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 2 2y x= ± ( )1,2A F 2 2 C 1 1 1ABC A B C− D 1 1B C 1D A BC−3 / 5 14．已知 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为 ______． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 . (1)证明： ； (2)若 ，求 边上的高. 16．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点． （1）求证：PC // 平面 BDE； （2）若 PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面 BDE⊥平面 PAB． 17．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程； (2)设直线与圆 相切，与椭圆 相交于 两点，求证： 是定值. 18．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路 的一侧进行绿化，线段 长为 ， ，设 . ( ) [ ) [ ] e 1, 0,2 2, 2,6 x xf x x x  + ∈=  − ∈ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= ( )2 1x f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin cos sin cos sinb A C c A B ac B+ = bc a= 13,cos 6c C= = AC xOy ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 ( )2,1 C C 2 2: 2O x y+ = C ,P Q POQ∠ AB AB 2km 1OC OD OA OB km= = = = COB θ∠ =4 / 5 (1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形 内种满郁金香，若 ，则当 为何值时，郁 金香种植面积最大; (2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段 ， 和 组成，若 ，则当 为何 值时，栈道的总长 最长，并求 的最大值. 19．已知函数 . （1）设 ，若函数 恰有一个零点，求实数 的取值范围； （2）设 ，对任意 ，有 成立，求实数 的取值范围. 20．设数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，已知푎1 = 푎2 = 1， ，数列{푏푛}是公差为푑的等差数列，n ∈N*. （1）求푑的值； （2）求数列{푎푛}的通项公式； （3）求证： . 第 II 卷（附加题，共 40 分）理科附加题 21．设二阶矩阵 A＝ . （1） 求 A－1； （2） 若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C′：6x2－y2＝1，求曲线 C 的方程． 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求 的极坐标方程和 的直角坐标方程； ABCD 3COD π∠ = θ BC CD DA BC CD= θ l l ( ) lnm x x x= 2( ) [ ( ) 1]f x a m x x= − −′ ( 0)a ≠ ( )f x a ( ) [ ( ) 1] bg x b m x x−′= − + ( 0)b > 1 2 1, [ , ]x x ee ∈ 1 2( ) ( ) 2g x g x e− ≤ − b 1 2 3 4      xOy 1C 2 2 5 cos 4 2 5 sin x y α α  = + = + α O x 2C ( )3 θ ρπ= ∈R 1C 2C5 / 5 （Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ， 与 的交点为 ， ， 求 的面积. 23．已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染，需要通过对其化验病毒 来确定是否感染.下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将 6 只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验， 若存在病毒 ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒 ， 则在另外一组中逐个进行化验. （1）求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率. （2）首次化验化验费为 10 元，第二次化验化验费为 8 元，第三次及其以后每次化验费都是 6 元，列出方 案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 24．已知函数 ． （1）求 和 的值； （2）记 ，求 ； （3）对（2）中的 和任意 ，均有 成立，求实数 的取值范围．（直接写出答案即可， 不要求写求解过程．） 3C ( )6 R πθ ρ= ∈ 2C 1C O M 3C 1C O N OMN∆ DNA DNA DNA 3( ) 9 3xf x = + (1) (0)f f+ ( ) (1 )f x f x+ − 1 2 1 m m mS f f f fm m m m −       = + +⋅⋅⋅+ +               mS mS *m∈N 1 2 1 m m m m a a S S + + > a